数学物理方程的导出

第7章数学物理定解问题1、数学物理方程简介：数学物理方程是物理问题中的物理量满足的偏微分方程或积分方程，是物理学的一个分支。偏微分方程分为线性的和非线性的三类偏微分方程：波动方程

扩散方程

泊松方程2、数学物理方法研究问题的步骤写出定解问题

定解问题把物理问题转化为数学语言(建模)求解

分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法以及变分法、差分方法、保角变换法和复变函数方法等分析解答解出答案，需分析其意义及其适定性。适定性：解是存在的，唯一的而且是稳定的。3、数理方程的特点

数理方程一般连系着物理学中的许多问题，另一方面又要运用数学中的许多研究成果（方法），所以，他是数学和物理学中的桥梁§7.1数学物理方程的导出一、弦振动方程物理模型：均匀柔软细弦，受弦中张力和重力影响。分析：研究微小横向振动规律

x,t,u=u(x,t)为弦位移取一小段弧MM’建立方程：受力情况：沿x方向oxuMM’dsxX+dxN’NT’TY方向受力情况

即在y方向：因为当时小弧段的加速度由牛顿第二定律得

OrWherethen此式称为弦的自由振动方程或一维波动方程。T=T’细绳非奇次的弦振动方程

如果弦在振动过程中，还受到一个与振动方向平行的外力，且假定在时刻t，x点处的单位长度受力为F(x,t),那么略去弦本身的重量，我们导出此式称为非齐次波动方程。类似的还有理想传输线的电报方程。二、均匀细杆的纵振动方程解决的问题：杆上各点沿杆长方向的纵向位移满足的方程AB两端位移：，，AB段伸长：相对伸长：/=相对伸长随点而变化，xB段两端的张应力分别是B段的运动方程Then为杆的纵振动方程。对于均匀杆，是常数,同理我们可得到杆的受迫纵振动方程

三、热传导方程1、物理模型：截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求热量的流动。首先，我们复习一下有关热量的几个概念：设：Q——热量，S——面积，V——体积，t——时间，ρ——密度，T——温度（u）则：（1）比热：单位质量物质温度升高一度所需的热量（2）热流密度：单位时间流过单位面积的热量

k——导热率（3）热源强度：单位时间、单位体积放出的热量2、分析：

(1)研究的问题：热量流动是由温差造成的。设u(x,t)表示温度；

(2)已知：C,ρ,k是常数，u(x,t)是一维热传导问题；

(3)方法：推导方法与弦振动方程相似3、建立方程(1)考虑任一在时间热量情况流入x面：流出面：热源产生热量：设有热源的密度F(x,t),

升温所需的热量：设杆比热为C,体密度为ρ，(2)

根据热量守恒定律

即：

(3)化简：上式两边乘以得令即其中此式即为一维热传导方程，中子扩散，高频电流分布均属于此类方程。当无热源时方程为

三、三维热传导方程

传热问题→求物体内温度的分布。取一个闭曲面St时刻M点的温度为

由Fourier实验定律式中的负号表示热量的流向与温度梯度的正向相反。热场sVMnΔs从时刻t1到t2通过曲面s流入区域v的热量为从时刻t1到t2区域V内温度从到需要的热量是

利用热量守恒定律，得到

利用奥——高公式将左面的曲面积分化成体积分同时，右边的体积分写成tnen,onehasandYields

若物体内有源，强度为F（x,y,z,t）,则Where一维热传导方程二维热传导方程对于恒定温度场（物体的温度处于平衡状态，)此时场内温度满足

四、扩散方程扩散现象：解决的问题是浓度u随空间、时间的变化浓度梯度：浓度不均匀的程度扩散流强度q：单位时间内通过单位横截面积的原子或分子数或质量扩散定律or负号表示扩散的方向，浓度减小的方向。D为扩散系数，与物质和温度的高低有关。利用扩散定律和粒子数守恒定律导出扩散方程取一小六面体如图

单位时间内x方向净流入流量同理xzy根据粒子数守恒定律，六面体内单位时间内增加的粒子数=单位时间内净流入的粒子数三维扩散方程若扩散均匀，D为常数，则当存在源或汇时，源若经过一段时间，扩散达到平衡状态，则得到五、泊松方程1、物理模型：介电常数为ε，体电荷密度为ρ(x,y,z)的区域中的静电场2、分析：静电场是一种有势场，即而是一标量场（1）研究的问题：

势函数V(x,y,z)满足的方程（2）已知：ε=1，稳恒场这里强调ε=1是因为由电动力学可知，当时，应考虑点位移矢量的情况；（3）方法：同上面3、建立方程（1）做一个封闭曲面S,

考虑曲面S内的情况(2)由电学中的高斯定理通过曲面S的电通量等于曲面内所有电荷的代数和（3）化简：由奥-高定理得

即

——〉泊松方程在泊松方程中若即为拉普拉斯方程故有源静电场满足无源静电场满足也可用静电场的微分形式来推证：高斯定理的微分形式静电场是无旋场