EMF8 cont 库仑定律及场强

第8讲电位函数授课内容静电场旋度和环路定律电位函数高斯通量定理8.1静电场旋度和环路定律

1).

静电场旋度（从物理角度）8.1.1

静电场的旋度

分析当电荷q0在电场从P点沿路径C移至Q(P0)点时所做的功。

定义P、Q两点间的电压为：

分析点电荷产生的电场中，P、Q两点间的电压：可见，UPQ只与P和Q点的位置有关，而与所取路径无关。对于任何电荷分布，该结论都成立。

2).

静电场的无旋性（从数学角度）

点电荷电场

矢量恒等式：故，静电场是无旋场。取旋度0

2’).

静电场的无旋性（从数学角度）

分布电荷电场故静电场是无旋场。利用

当取电场E沿闭合路径的线积分时，有在静电场中，沿任一闭合路径绕一周移动单位正电荷，电场力做的功为0，这意味着当所有电荷分布一定时，电场能量即为一定值，故静电场为保守场。右式表明静电场是一个无旋场。由斯托克斯定理，得

在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。

电场力作功与路径无关,静电场是保守场。

二者等价。QPmn8.1.2

静电场的环路定律8.2电位函数1)

电位的引出根据静电场的无旋性，可以定义另一个表征静电场特性的场量---标量电位。如果取Q点作为电位参考点(电位为0)，则P点电位定义为：

电位的单位与电压相同，为V(伏)。物理含义:与将电荷从一点移至另一点所做的功有关。在静电场中，将单位电荷从P1点移P2点，克服电场力所做的功为：2)

电位参考点的选择原则

场中任意两点的电位差与参考点无关。任意两点的电压就是两点间的电位差。

同一个物理问题，只能选取一个参考点。

选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。在实际工作中，常常把大地表面作为电位参考点。而在理论分析中，只要引起电场的全部电荷都在有限的空间区域内，都可取无穷远处作为电位参考点。

参考点的选取是任意的，参考点不同，各点的电位都增加(或减少)一个常数。3)

已知电荷分布，求电位：点电荷群连续分布电荷设参考点在无究远处，真空中一个位于原点的点电荷q在离它R远处的电位为：4)

电位与电场强度关系：根据静电场的无旋性微分关系：右式说明，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。是对场点的微分算符，积分是对源点进行，可提到积分号外设P0为电位参考点，即，则P点电位为电位与电场强度的积分关系线积分所以式中5)

电力线与等位线（面）

E线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若是电力线的长度元，E

矢量将与方向一致，故电力线微分方程在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线E的方程。当取不同的

C值时，可得到不同的等位线（面）。

在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线(面)方程:例:画出电偶极子的等位线和电力线。电偶极子：相距很近的两个等值异号电荷。(其与场点距离远大于其正负电荷距离)电偶极子的电矩：

(p的方向由-q指向q)采用球坐标系：电力线微分方程（球坐标系）：代入上式，得解得Ｅ线方程为将和代入上式，等位线方程（球坐标系）：

表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。图1.2.2电偶极子

当R很大，且d<<R,r1,r2和R近似平行。r1r2电力线与等位线（面）的性质：

E线不能相交;

E线起始于正电荷，终止于负电荷;

E线愈密处，场强愈大;

E线与等位线（面）正交；电偶极子的等位线和电力线点电荷与接地导体的电场点电荷与不接地导体的电场均匀场中放进了介质球的电场均匀场中放进了导体球的电场点电荷位于一块介质上方的电场点电荷位于一块导平面上方的电场例2-3：下图表示真空中平面上一半径为a的圆形线电荷，其线密度为，求轴线上离圆心z处P点的电位和电场强度。

由于电荷分布的对称性，该处的电场强度仅有z方向的分量，即应用圆柱坐标系，P点电位为解：取一线元，其上所带电荷量为，源点到场点P的距离为解：在圆盘上取一半径为r、宽为dr的圆环，由于dr

很小，源点到场点P的距离即为，圆环上的元电荷，它在轴线上P点所产生的电位为例2-4：求电荷密度为、半径为a的均匀带电圆盘（见图）轴上的电场强度。并代入a=r

，则同样可得或者利用前例中圆形线电荷在轴线上产生的电位的公式，将dr

很小形成的圆环看成是圆形线电荷，其相应的线电荷密度满足：整个圆盘上的电荷在P点的电位（z>0）可见，只要z有限，则E是均匀的，且与z无关。当时，相当与无限大带电荷平面在其一侧（z>0）附近产生的场：应用圆柱坐标系中的梯度表达式，可得到电场强度为8.3.1高斯通量定理的微分形式8.3真空中的高斯定理（静电场中场与源的关系）作散度运算高斯定理的微分形式说明静电场是有源场，电荷是电场的通量源。8.3.2高斯定理的积分形式

在无限大真空中有一点电荷，以该点电荷的在处为球心作一任意半径为r的球面，则由该球面穿出的E通量应为：

在如果包围点电荷的是一个任意形状的闭合面，则由该闭合面穿出的E能量应为：

E对任意闭合面的通量只与面内包含的电荷多少有关，而与闭合面的形状无关。高斯定理：在真空电场中，由任意闭合面穿出的E通量，应等于该闭合面所包围的电荷的代数和与真空电容率的比值

如果在无限大真空的电场中，闭合面S包围了N个点电荷，根据叠加原理，可得：真空中高斯通量定理的积分形式静电场中任一闭合面上E的通量不恒等于0，说明静电场是有通量源的场，通量源为电荷。通过计算立体角的方法8.3.3

E的通量闭合曲面的电通量闭合面外的电荷对场的影响散度定理

S面上的E是由系统中全部电荷产生的。

E的通