拉普拉斯变换

§4拉普拉斯变换以傅立叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处，傅立叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；另外在求时域响应时运用傅立叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。引言为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。引言一．拉普拉斯变换的定义则

1.从傅立叶变换到拉普拉斯变换信号f(t)乘以衰减因子(为任意实数)后容易满足绝对可积条件，依傅氏变换定义：令，具有频率的量纲，称为复频率2．拉氏逆变换对于是的傅立叶逆变换两边同乘以其中；若取常数，则积分限：对对所以一．拉普拉斯变换的定义3．拉氏变换对正变换反变换记作，称为原函数，称为象函数采用系统，相应的单边拉氏变换为考虑到实际信号都是有起因信号所以一．拉普拉斯变换的定义二．拉氏变换的收敛域

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；说明：6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。1.

满足的信号称为指数阶信号；2.

有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；3.4.5.等信号

比指数函数增长快，找不到收敛坐标，为非指数阶信号，无法进行拉氏变换；二．拉氏变换的收敛域三．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛

3.单位冲激信号4．幂函数tnu(t)三．一些常用函数的拉氏变换5．正余弦信号收敛域收敛域三．一些常用函数的拉氏变换6．衰减的正余弦信号收敛域收敛域三．一些常用函数的拉氏变换§4.2拉普拉斯变换的基本

性质一．线性性解：例：已知求的拉普拉斯变换说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。若为常数则二．延时（时域平移）证明：若则二．延时（时域平移）注意：(1)一定是的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移(3)表达式等所表示的信号不能用时移性质例：已知求因为所以解：二．延时（时域平移）解：4种信号的波形如图例：已知单位斜变信号的拉普拉斯变换为求的拉普拉斯变换二．延时（时域平移）只有信号可以用延时性质二．延时（时域平移）二．延时（时域平移）时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。

结论：单边周期信号的拉普拉斯变换等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以

例：周期冲击序列的拉氏变换为例解：已知s)F((ttu(t)f求,1)-=解：例二．延时（时域平移）三．尺度变换时移和尺度变换都有:证明：若则四．s域平移证明：若则例：求

的拉氏变换解：五．时域微分定理推广：证明：若则六．时域积分定理证明：①②①②若则因为第一项与t无关，是一个常数（a）例求三角脉冲函数f(t),如图（a）所示的象函数和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解方法三：利用微分性质求解方法四：利用卷积性质求解方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解

于是由于方法三：利用微分性质求解信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。将微分两次，所得波形如图（b）所示。图（b）显然根据微分性质由图（b）可以看出于是方法四：利用卷积性质求解

可看作是图(c）所示的矩形脉冲自身的卷积所以于是，根据卷积性质而图（c）例应用微分性质求图（a）中的象函数图（a）的导数的波形。下面说明应用微分性质应注意的问题，图（b）是（1）对于单边拉氏变换,故二者的象函数相同，即图（b）这是应用微分性质应特别注意的问题。因而由图（b）知七．s域微分定理若则取正整数证明：对拉普拉斯正变换定义式求导得即得证。七．s域微分定理例解：因为所以八．s域积分定理两边对s积分：交换积分次序:证明：若则九．初值定理和终值定理若和拉氏变换存在，且则为真分式终值存在的条件:若的拉氏变换存在，且则初值定理的所有极点有负实部终值定理证明证明初值存在的条件:当t<0时，f(t)=0，且f(t)不包含冲激信号及其各阶导数项由时域微分定理可知所以返回九．初值定理和终值定理初值定理证明：所以终值定理证明根据初值定理证明时得到的公式九．初值定理和终值定理返回例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值初值

终值

初值终值

注意应用终值定理的条件是满足的。

解：九．初值定理和终值定理初值

因为有两重极点，并不具有负实部，因此不能应用终值定理，即的终值不存在九．初值定理和终值定理例：解：

即单位阶跃信号的初始值为1。十．时域卷积若为有始信号则证明：交换积分次序§4.3拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换1定义2查表法3部分分式展开法4留数法5数值计算方法——利用计算机返回首页查表法一．部分分式展开法ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点极点通常F(s)具有如下的有理分式形式：当是真分式是的根，称为的零点是的根，称为的极点拉氏逆变换的过程一．部分分式展开法找出F(s)的极点将F(s)展开成部分分式查拉氏变换表求f(t)一．部分分式展开法(m<n)1.单阶实数极点为不同的实数根求出即可将F(s)展开成部分分式(1)找极点(2)展成部分分式(3)逆变换求系数例：求的拉氏逆变换一．部分分式展开法(m<n)2.

极点为共轭复数其中为单实根，为共轭复根，各个系数的求法和单实根一样，是共轭复数。共轭极点出现在

求f(t)例题F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得另一种方法例：求的逆变换(其他方法)解：实单根的系数求法同前面一样，这样有可以用公分母的方法，或是设定两个特殊的S值来求系数A和B，比如设得到一．部分分式展开法(m<n)用配方法求共轭复根部分的拉普拉斯反变换，即所以有：用配方法避免了复数运算，过程相对比较简单

一．部分分式展开法(m<n)3.

有重根存在一．部分分式展开法(m<n)对于非重根，系数的求法和前面一样，对于重根则需用求导的方法求系数解：展成部分分式例：求拉氏反变换一．部分分式展开法(m<n)所以有所以一．部分分式展开法(m<n)F(s)两种特殊情况非真分式——

化为真分式＋多项式——用时移性质一．部分分式展开法(m<n)1.非真分式——真分式＋多项式作长除法2.含e-s的非有理式二．留数定理法拉普拉斯反变换式一阶极点的留数k阶极点的留数例已知Re［s］＞-2。求F(s)的单边拉氏逆变换。解选σa＞-2，则F(s)est在σa左侧的极点分别为一阶极点s1=-3和二重极点s2=-2。t＞0t<0于是，得

§4.4连续时间LTI系统

的复频域分析用拉氏变换法分析系统的步骤列s

域方程（可以从两方面入手）列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。求解s域方程得到时域解答一．微分方程的拉氏变换

我们采用0-系统求解系统微分方程，只要知道起始状态，不需要求0-到0＋的跳变问题。用拉普拉斯变换法求解微分方程，主要利用拉普拉斯变换的微分性质即一．微分方程的拉氏变换

一般情况下微分方程为如果x(t)是因果信号，对应的拉普拉斯变换为即是仅由系统的起始条件产生的零输入响应是仅由激励产生的零状态响应一．微分方程的拉氏变换

（1）求完全响应，对上式进行拉普拉斯变换，得

例:求系统的零状态响应和零输入响应解：代入起始条件得完全响应为一．微分方程的拉氏变换（2）求零输入响应，代入起始条件得零输入响应为一．微分方程的拉氏变换（3）求零状态响应，得得零状态响应为可以验证例某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出一．微分方程的拉氏变换

则阶跃响应4.4连续时间系统的复频域分析时域关系复频域关系元件的S域模型1.电阻元件二．基于s

域模型的电路分析

2.电容元件电容的初始储能为零时二．基于s

域模型的电路分析复频域阻抗3.电感元件电感初始储能为零时二．基于s

域模型的电路分析复频域阻抗线性定常电路中两类约束关系的复频域形式：KCLKVL二．基于s

域模型的电路分析有了域电路元件模型，就可以得到一般电路的S域模型和S域的KVL、KCL（在形式上与相量形式的KVL和KCL相同），应用电路分析中的基本分析方法（节点法、网孔法等）和定理（如叠加定理、戴维南定理等），列出复频域的代数方程，并进行求解得到响应的象函数，对所求的响应象函数进行拉氏反变换，即得出响应的时域解。其中建立S域的模型最关键。二．基于s

域模型的电路分析例:已知如图所示各电路原已达稳态，t=0时开关K换接，试画出电路的s域模型。二．基于s

域模型的电路分析解：(a)开关K换接前电路已在直流稳态，所以容易求得画出电路S域模型为

二．基于s

域模型的电路分析(b)直流稳态时，电感短路，电容开路，所以有画出电路S域模型为

二．基于s

域模型的电路分析(c)直流稳态时，电感短路，电容开路，所以有画出电路s

域模型为

二．基于s

域模型的电路分析(d)在t<0时电路没有电源作用，所以电路处于零起始状态，故s

域模型为二．基于s域模型的电路分析

建模过程中要特别注意三点:(1)对于具体的电路,只有给出的初始状态是电感电流和电容电压时,才可方便地画出s域等效电路模型,否则就不易直接画出,这时不如先列写微分方程再取拉氏变换较为方便;(2)不同形式的等效s域模型其电源的方向是不同的,千万不要弄错;(3)在作s域模型时应画出其所有内部象电源,并特别注意其参考方向。例:已知各电路原已达稳态，t=0时开关K打开，求t>0时的解：因为所以可得到s

域电路模型二．基于s域模型的电路分析由节点法得所以有二．基于s域模型的电路分析例:求图示电路的完全响应

，已知解：根据电路的起始状态得到S域电路模型二．基于s域模型的电路分析列写网孔方程所以有即得二．基于s域模型的电路分析强调：解决问题的手段很多，这只是其中的一种，根据具体问题和个人习惯选择解法,例如下面的例子可以建S域模型解，也可以建时域模型解例：如图所示电路中,已知C=0.5F,R1=2Ω,R2=2Ω,L=2H,激励iS(t)为单位阶跃电流U(t)A,电阻R1上电压的初始状态u1(0-)=1V,u`1(0-)=2V,试求该电路的响应电压u1(t)。解先列写该电路的数学模型由KCL由KVL

代入元件值,消去中间参量iL(t)可得微分方程作为习题§4.5连续时间LTI系统

的系统函数

1.定义一．系统函数所以其中当时，系统的零状态响应则响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比冲激响应的拉氏变换策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点导纳策动点阻抗转移导纳转移阻抗电压比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口2.分类一．系统函数比较H(s)和H(p)二.系统函数的求解利用网络的s域元件模型图，列s域方程微分方程两端取拉氏变换系统函数的求解方法:例：已知描述系统的微分方程如下，求系统函数和系统的冲激响应。解：直接写出系统函数为二．系统函数的求解进行拉普拉斯反变换，得到系统的冲激响应为试求图所示电路的系统函数

(a)时域模型；(b)零状态s域模型

二．系统函数的求解

解画出零状态条件下系统的复频域等效电路,如图

(b)所示。s域模型图中,电阻R1与并联,电阻R2与串联,设复频域阻抗Z1(s)与Z2(s)分别为二．系统函数的求解所以,系统函数H(s)为二．系统函数的求解解：直接由分压、分流公式可以得到例：电路如图，响应分别为，求对应的系统函数二．系统函数的求解解：列写电路的网孔方程例：给定电路如图所示，求对应的系统函数解得二．系统函数的求解三.系统函数的应用求系统的响应：即方法一：方法二：解：根据系统函数的定义容易求得系统函数为例:设信号加到如图所示电路中，设电容上的起始电压为零，求电容电压激励信号的拉普拉斯变换为所以有三.系统函数的应用即(1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换(2)三.系统函数的应用已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。三.系统函数的应用例5―28图5.15所示ＲＬＣ串联电路,已知C=1/2/F,输入激励uＳ(t)=t·u(t),初始状态iL(0-)=0,uC(0-)=－1/3,

试求系统响应uR(t)。

图5.15例5―28图

三.系统函数的应用解首先应用拉氏变换法求解系统响应。按KVL及VAR列写时域微分方程式,可得对以上方程组取拉氏变换,可得三.系统函数的应用解此象函数方程组,得将已知数据代入,其中

(5―74)

三.系统函数的应用对上式取拉氏反变换,可得时域响应为

(5―75)

三.系统函数的应用此例中,若设初始状态为零,则系统对于输入uS(t)的系统函数H(s)为于是,式(5―74)可以表示为

实际上,上式还可表示为三.系统函数的应用

例5―29

利用s域等效模型重解例5―28。

解根据线性系统的叠加性,可以把系统的完全响应分解为零状态响应,单独由电感初始储能作用而产生的零输入响应和单独由电容初始储能而形成的零输入响应。相应的s域等效电路如图5.16所示。三.系统函数的应用图5.16s域等效电路图(a)零状态等效电路；(b)仅电感有储能的等效电路；(c)仅电容有储能的等效电路

三.系统函数的应用三个等效电路实际上是激励点不同,输出相同的三个系统。根据H(s)的定义很容易写出三个系统的系统函数H(s),HS1(s)和HS2(s)。激励为US(s)时,激励为L·iL(0-)时,

三.系统函数的应用（5―76）

因此,系统完全响应的拉氏变换为三.系统函数的应用

例5―30

电路及元件参数同例5―28。输入为

uＳ(t)=u(t),初始状态为iL(0-)=3A,

uＣ(0-)=-10V,试求输出uR(t)。

解因为与例5―28相比较,系统结构、元件参数没有变化,所以系统函数与例5―28相同,仅仅是三个激励发生变化。因此,s域的完全响应仍为式(5―76)三.系统函数的应用代入已知量得通过例5―28、5―29、5―30,可以使我们进一步理解系统函数在系统分析中的重要性。首先系统函数是对系统的一种描述,是复频域的系统特征量,从系统的输入输出端的特性或者说从系统对输入信号的处理功能上来讲,了解了系统的H(s)也就了解了该系统。三.系统函数的应用1.

系统零极点的概念四．零极点与系统时域响应的关系对系统函数分子分母多项式进行因式分解得是系统零点是系统极点在复平面上，零点用“o”表示，极点用“×”表示，标出系统的零极点的位置，称为系统的零极点图当，极点在左半平面，衰减振荡当，极点在右半平面，增幅振荡在原点在左实轴上，，指数衰减在右实轴上，指数增长在虚轴上等幅振荡共轭根单极点四．零极点与系统时域响应的关系2.极点的影响极点在原点极点在实轴上在虚轴上增幅振荡重极点四．零极点与系统时域响应的关系几种典型情况四．零极点与系统时域响应的关系系统零点分布只影响系统时域响应的幅度和相位，对时域响应模式没有影响。比如已知系统函数及相应响应两系统函数仅是零点不同，它们对应的冲激响应仅是响应幅度和相位不同，响应波形的模式均为衰减振荡模式3.零点的影响四．零极点与系统时域响应的关系

二、系统函数的极点、零点与系统频率特性的关系频率特性频率特性指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况。主要是指幅频特性和相频特性。在系统是稳定的前提下，系统频率响应和系统函数的关系为用零极点形式表示为五．零极点与系统频率响应的关系则系统的幅频特性为系统的相频特性为令有五．零极点与系统频率响应的关系所以幅频特性为相频特性为将都看作是两矢量之差，将矢量图画在复平面内五．零极点与系统频率响应的关系零点：极点:五．零极点与系统频率响应的关系定性地画系统的幅频特性时的规律：（1）在原点是否有零点，若有，则否则从某一数值开始。（2）当点沿正虚轴向上移动时，如果点离零点越来越近时，则越来越小，反之，越来越大。（3）当点沿正虚轴向上移动时，如果点离极点越来越近时，则越来越大，反之，越来越小。五．零极点与系统频率响应的关系

(4)虚轴若有零点，则当靠近零点时，

(5)虚轴若有极点，则当靠近极点时，

(6)在处主要看零点极点的个数，若零点比极点多，则若极点比零点多，则若零点和极点一样多，则为某一有限值。五．零极点与系统频率响应的关系例：已知系统的零极点图如图所示，定性画出各系统对应的幅频特性五．零极点与系统频率响应的关系解：对应系统的幅频特性为五．零极点与系统频率响应的关系五．零极点与系统频率响应的关系五．零极点与系统频率响应的关系§4.6系统方框图

和信号流图

一．系统方框图一个系统的方框图可由许多子系统的框图作适当联接组成。子系统的基本联接方式有级联、并联和反馈三种。（1）级联等效系统函数为（2）并联等效系统函数为一．系统方框图（3）反馈等效系统函数为对于负反馈，总有用基本运算器表示系统(教材P500)基本运算器的时域和S域模型(a)数乘器；(b)加法器；(c)积分器一．系统方框图

例某线性连续系统如图6所示。求系统函数H(s),写出描述系统输入输出关系的微分方程。图6一．系统方框图解Y(s)为右边加法器的输出，该加法器有两个输入，如图所示。因此有于是得

(6)(5)一．系统方框图把式(5)代入式(6)，得

系统函数为

对上式应用时域微分性质，得到系统微分方程为

一．系统方框图一．系统方框图一．系统方框图二．信号流图二．信号流图系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方向，一般称为支路，所以每一条支路相当于乘法器。信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系，而且可以有不同方向输出。三．Mason公式节点:

表示系统中的变量或信号的点称为节点。支路:

连接两节点间的有向线段称为支路。支路增益就是两节点间的增益。输入节点（源点）:

仅有输出支路的节点，一般为系统的输入。输出节点（阱点）:

仅有输入支路的节点，一般为系统的输出混合节点:

既有输入支路又有输出支路的节点通路:

从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过各相连支路到达另一节点的路径称为通路。前向通路:

从输入节点到输出节点的通路。前向通路中通过任何节点不多于一次。开通路:

如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称为开通路。闭通路:

如果通路的终点就是通路的起点，而且与其余节点相遇不多于一次，则称为闭通路、回路、环路或简称为环。不接触环路:

环路之间没有公共节点。三．Mason公式连续系统的信号流图表示信号流图的规则三．Mason公式Mason公式为其中从输入节点到输出节点之间的系统函数特征式从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益在中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后余下的部分所有不同回路增益之和所有两两互不接触回路增益乘积之和所有三个互不接触回路增益乘积之和三．Mason公式例：用Mason公式求图所示系统的系统函数解：先求环路，一共有4个环路，即其中L1、L2，L1、L3是两两不接触的回路，没有三三不接触的回路。三．Mason公式所以流图的特征式为前向通路只有一条，即所有回路都和这条前向通路接触，所以三．Mason公式系统函数为三．Mason公式例：用Mason公式求图所示系统的系统函数解：先求环路，一共有4个环路，即其中L1、L4是两两不接触的回路三．Mason公式可以求得流图的特征式三条前向通路之(1)三条前向通路之(2)三．Mason公式三条前向通路之(3)所以系统函数为四．系统模拟系统模拟指用一些标准的部件通过一定的连接方式实现同样的系统函数。对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘法器和积分器三种部件构成。系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了同样的系统函数。1.直接形式以二阶系统为例，设二阶线性连续系统的系统函数为给H(s)的分子分母乘以s-2，得到四．系统模拟图12二阶系统直接形式信号流图(a)直接形式Ⅰ;(b)直接形式Ⅰ的方框图表示；(c)直接形式Ⅱ;(d)直接形式Ⅱ的方框图表示2.级联(串联)形式如果线性连续系统由n个子系统级联组成，则系统函数H(s)为四．系统模拟例6已知线性连续系统的系统函数为求系统级联形式信号流图。解用一阶节和二阶节的级联模拟系统。H(s)又可以表示为四．系统模拟式中，H1(s)和H2(s)分别表示一阶和二阶子系统。它们的表示式为四．系统模拟图13例6图(a)子系统信号流图；(b)系统的级联形式信号流图四．系统模拟

3.并联形式若系统由n个子系统并联组成，如图3所示，则系统函数H(s)为这种情况下，先把每个子系统用直接形式信号流图模拟，然后把它们并联起来，就得到系统并联形式的信号流图。四．系统模拟例7

已知线性连续系统的系统函数H(s)为求系统并联形式信号流图。

解

用一阶节和二阶节的级联模拟系统。H(s)又可以表示为

四．系统模拟式中：四．系统模拟图14例7图四．系统模拟四．系统模拟例：用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描述的系统解：首先考虑下面的系统由线性时不变系统的性质知道存在下面关系四．系统模拟方程两边积分三次得到说明是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。四．系统模拟第一个积分器的输入信号实际是可以画出部分系统框图四．系统模拟可以画出完整的系统框图四．系统模拟对应的信号流图为其中表示积分器（拉普拉斯变换的性质）§4.7连续时间LTI

系统的稳定性一．系统稳定性的定义系统稳定定义为任何有界的输入将引起有界的输出，简称BIBO稳定（BoundedInputBoundedOutput）连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即一．系统稳定性的定义必要性：构造一有界激励，可以验证，若冲激响应绝对可积的条件不满足，则响应无界。充分性：设激励x(t)

有界，即，容易验证响应也有界，即一．系统稳定性的定义（1）当H(s)

的所有极点全部位于平面的左半平面，不包含虚轴，则系统是稳定的。（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于平面的左半平面，则系统是临界稳定的。（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上的极点时，系统是不稳定的。由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性二．系统稳定性的判断（3）三阶系统必须满足条件且系统才是稳定的（1）一阶系统，显然只要参数满足即为稳定。为临界稳定。（2）二阶系统只要参数满足即为稳定。或属于为临界稳定。假设系统函数分母多项式的最高项系数为1三阶以下系统稳定的判定二．系统稳定性的判断例：设系统方框图如图所示，求（1）系统函数H(s)（2）系统稳定，参数