第5章-分布函数

1补充题：希望了解一个村庄200个小孩的牙齿情况。

医生A在200小孩中选了20个小孩,数据如下根据以上数据估计此村庄的小孩中坏牙的总数.又有医生B调查200个小孩后发现有60小孩没有坏牙根据医生A和B的数据，重新估计坏牙的总数。

练习题坏牙数量012345678910孩子数量842211000112统计学与概率是密切相关的。很多统计中的概念要用概率表述。概率是对随机事件发生可能性大小的度量。它的取值在0～1之间。随机事件是指可能发生也可能不发生的结果。例如，某产品的寿命大于5年，就是随机事件.

产品的市场月需求量在100～500之间也是随机事件.Chapter5概率及其分布31零部件的预防性更换(涉及到零部件的寿命)2确定产品的保换期(涉及到产品的寿命)3确定原材料的库存量(涉及到产品的需求量)

概率的应用41.概率的类型古典概率P(A)=m/nn---全部样本点数

m---事件A包含的样本点数

(要求:每个样本点等可能,互斥)频率定义的概率P(A)=m/nn---试验的总次数

m---A出现的次数5

现实中的统计学

Citibankmakesavailableawiderangeoffinancialservices,includingcheckingandsavingsaccounts,loansandmortgages,insurance,andinvestmentservices,withintheframeworkofauniquestrategyfordeliveringthoseservicescalledCitibanking.概率分布的例子6

CitibankingATMs(automatictellermachines)aresomuchthatcustomerstodayusethemfor80%oftheirtransactions.

一般在每个ATM前都有顾客排队等待寻求服务。对等待时间的周期性统计调查分析，对于决定是否增加ATM是有必要的。概率分布的例子7

调查数据表明，顾客的随机到达服从

Poisson分布。

Citibank能够根据在一定时间内顾客到达数的概率，决定是否增加ATM。

X表示一分钟内到达的顾客数。假定已知每分钟平均到达2人。则，一分钟内顾客到达数的概率如下：

X=012345ormoreProbability.1353.2707.2707.1804.0902.0527概率分布的例子8

随机变量RandomVariables(R.V.)—用变量表示随机事件

性质:

①变量的取值是随机的,②变量取某些值的概率是确定的.

随机变量包括连续和离散.

常用大写字母表示随机变量.X,Y,Z等等.RandomVariablesandTheirDistributions9离散r.v.的分布

Xx1x2…...xn

PiP1P2….Pn

有时以另一种形式表示离散型分布

P(X=xi)=数学表达式

Forexample:P(X=i)=(poisson分布)随机变量的分布=1,Pi≥0(n

可以∞)10连续随机变量的分布随机变量的分布=1.

①分布函数:F（x）=P（X<x）也可以描述离散随机变量

0≤F（x）≤1，F（x）是单调递增函数

F（∞）=?，F（-∞）=?

②密度函数:f（x）

f（x）≥0，

F（x）=,

F´（x）=f（x）.11③几何意义f(x)④如果X是连续的随机变量

则P(X=a)=0,所以F(x)=P(X<x)=P(X≤x)⑤如何用F(x)计算概率?

P(X≤a)=F(a),P(X>a)=1-F(a),P(a<X<b)=F(b)-F(a)

例如:X~指数分布(=2),求P(X<5)?

下面哪个是不对的?

P(X=6)=0.8P(X=10)=1.3F(3.2)=1.6f(1.5)=0.8F1(3)=0.5F1(4)=0.4f2(3)=1.6f2(4)=1.0随机变量的分布12计算概率的几种方法古典概型频率的方法用分布函数求概率（分布函数是概率！！）

F(x)=P(X<x)f(x)与F(x)的关系，f(x)的几何意义，(连续情况下)f(x)与直方图的关系，

f(x)可以更清楚地刻画随机变量的规律。正态分布(normaldistribution)又称Gauss分布，是重要的连续型概率分布。有广泛的应用：身高、体重、满意度等一般服从正态分布。很多统计方法是建立在正态分布的基础之上。记作：X～N（μ，σ2）.例如：X～N（5，32）

正态分布的数学形式单峰分布，以均值为中心，左右对称两个参数：均值,σ2

方差，确定了曲线的形状

正态随机变量的概率由正态曲线下的面积给出。曲线下的总面积为1。由于正态分布是对称的，所以均值μ左边和右边曲线下面积均是0.5

。正态分布曲线的特点P（|X-μ|<σ）=0.6826，P（|X-μ|<2σ）=0.9544P（|X-μ|<3σ）=0.9973标准正态分布当均值为0，标准差为1时，称标准正态分布记作：X

～N（0，1），一般的正态分布转换为标准正态分布的方法：

若

X

～N（μ，σ2），则

服从

N（0，1）。-1.960.95+1.9600.0250.025标准正态曲线下的面积分布示意其中的1.96是查表得到的—340页也可以通过Excel得到18对于某公司的一种新轮胎，经理们需要知道轮胎寿命的情况（行驶里程数的概率）？

有信息显示，轮胎寿命服从正态分布，实际路面测试的均值=36500公里，标准差=5000公里。轮胎寿命大于40000公里的概率？可计算出：P(x>40000)=0.242(用Excel)结论：有24.2%的轮胎行驶里程超过40000公里。例：轮胎寿命-行驶里程的概率4000036500P(x>40000)=?19若购买的轮胎没有使用到保证的里程数k（待定）公司将以折扣价格为客户更换轮胎。公司希望符合折扣条件的轮胎不超过10%，则保证的里程k应为多少？即求保证的里程数k,使P(x<k)=0.10.可求出k=30092.24公里结论：当保证设定在30092.24公里时(取整数30000)，符合折扣条件的轮胎不超过10%例：符合折扣条件的轮胎里程保证里程数=？3650010%20例

为防止因某关键部件失效,造成重大损失,实际中常采用预防性更换的办法：确定更换部件时间t0，若部件在t0前失效，则立即更换；若部件在时刻t0未失效，则在t0更换，以保证部件在时刻t0依然正常的概率(即部件的可靠度)

为0.9。

问题：如何确定t0?（随机变量、分布函数、概率模型）

解：设X为部件的寿命，服从正态分布N(μ,σ2)=N(20,32)

应满足以下条件：

P(X>t0)＝0.9＝1-F(t0),F(t0)＝0.1,查表有t0=16.16预防性更换---分布函数的应用21例

工人完成某关键工序的时间T(分钟)～N(20,32)。现拟奖励时间用得最少的10％的工人，标准定在什么时间t0以内？解：P(T<t0)=0.1=F(t0),查表有t0=16.16正态分布的应用22例

若某公司规定该产品售出后免费换新率限制在5％以内，则保用年限t0定多长？设X－产品寿命，服从何种分布？

P(X?t0)=0.05,F(t0)=?例

门的高度的确定.例

一项工程项目能否在26天内完成？(考虑：随机变量完工时间服从某种分布).分布函数的应用23指数分布（ExponentialDistribution）F(x)=1-e-λx,x≥0f(x)=λe-λx,x≥0均值：E（X）=1/λ方差：D（X）=1/λ2背景:电子产品的寿命服务时间顾客相继到达的间隔时间一般服从指数分布连续型概率分布f(x)x24例

某加油站每周补充一次油。现在需要确定油库的最小储油量x0,以使在一周内所有油全部售完的概率小于0.1.

为解此问题,哪些因素需要考虑，如何收集数据，需要建立什么概率模型？库存量的确定-----分布函数应用25(1)设随机变量是每周油的需求量X(单位:吨),它是连续随机变量.(2)确定分布函数或分布密度函数.

如果F(x)或f(x)是未知的,则需要收集此加油站的历史数据，每周油的需求量x1

，x2，

……xn,画直方图，据此直方图可对分布类型作出判断.

现假设F（x）或f（x）已知，

F(x)=1-e-0.5x,（其中0.5的含义？）

进行下一步。

库存量求解26(3)根据例题1的要求，可得到如下概率模型:

P（X>x0）=1-F(x)=e-0.5x≤0.1,

即x0≥-2ln0.1＝4.6

因此，储油量最少应为4.6吨,它可以保证在一周内所有油全部售完的概率小于0.1.库存量求解27二项分布(BinominalDistribution)设X—事件A发生的次数数学期望：E（X）=np方差：D（X）=npq应用背景: 在n次独立重复的试验中,求事件A发生k次的概率？(p为事件A在一次实验中发生的概率)这是有放回的实验!离散型概率分布DiscreteProbabilityDistribution28有100

台机器独立工作.每台机器出故障的概率是0.01.计算概率:(1)如果有两个人负责照看这

100台机器,计算当设备发生故障但不能及时维修的概率。P(X=0)=0.366,P(X=1)=0.370,P(X=2)=0.185(0.921)(2)如果1个人负责照看50台机器,情况如何？(0.911)(3)问至少配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.02。用二项分布计算概率的例子29泊松分布（PoissonDistribution）

设X—事件A发生的次数

k=0，1，…..n,……

数学期望和方差:E（X）=D（X）=λ应用背景：在单位时间内或单位空间上事件A发生k次的概率

例如：在单位时间内电话总机接到的呼叫次数在单位面积上疵点的个数一般服从Poisson分布可以使用EXCEL求分布函数值。DiscreteProbabilityDistribution30Example(2):Inrushhour,therewilloccur2accidentsperhouronaverageinonecity.Therushhourinthemorningwilllastoneandahalfhours,intheevening,itwilllasttwohours.

TheApplicationofdistributionfunction31计算下面的概率:a.Thereisnoaccidentintherushhourinthemorning.b.Therearefourormoreaccidentsintherushhourintheevening.c.Thereisnoaccidentintherushhourinbothmorningandevening.

TheApplicationofdistributionfunction32例如

“概率衬衫”：传统方式购买衬衫，都是顾客自己选颜色、选样式，然后按价付款。假设现在网上商城给你这样一个选择：若不挑衬衫颜色，可以享受折扣价，如果挑颜色要付全款，这就是一个概率产品--“概率衬衫”。概率产品不是一个实质的产品，它是一个虚拟的产品，或者说是一个机会。对于概率产品，消费者实际是买了一个得到这些产品中之一的机会。现实中企业一般不会仅提供一种产品，不管是卖产品还是卖服务，总会给消费者多种选择，这些选择组合起来就形成概率产品。补充：概率产品33不透明机票:消费者可以享受打折，但是要在成交后才能知道机票的细节(哪个航空公司，几点钟起飞，有可能早上5点起飞，中间停3小时，10点才能到。有可能9点起飞、10点就到了)。不透明机票一般很便宜，但事先会有很多不确定性因素：

出发或返回时间不确定；航空公司不确定；航线不确定(是否中间停？)

目的地不确定(北京出发，有5个地点可以去，票价便宜。消费者否定一个地点，票价提高一级，否定的地点越多票价越高。如果只剩一个目的地了，票价就没有折扣了）。

实际上，根据消费者的不同选择，正是进行市场细分的过程，市场细分的新模式。这在过去是根本做不到的。概率产品34

还有由消费者出价的不透明机票：

根据消费者的出价，网上中介到航空公司询价，看哪家航空公司愿意接受这个价格，如果可以接受，再告知消费者是哪家航空公司，哪个航班。概率产品35传统零售商面临难题：需求不确定。无法准确估计所卖商品哪个款式、哪个颜色卖得好，但要提前订货。不论市场调查做得多好，多有经验，仍有可能会出现供求不平衡。脱销—失去了潜在的消费者；滞销—增加了库存成本，而且要降价销售，同样造成损失.服务提供商也同样，好多时候资源的时间性非常强，飞机起飞之后，座位价值就浪费了;旅馆客房当天没订出去，价值也是浪费了;剧场座位，有时候买不到票，有时候空很多.难在哪呢？难在很难做到准确预测.概率产品—盈利新模式36概率销售可以帮助我们调整这种供求关系概率销售思想主要考虑了消费者在产品偏好强度上的差异,能够达到扩大市场、细分市场、差异化定价、弱化市场不确定的影响，平衡供求，增加资源的利用效率。概率产品就像一只看不见的手把弱偏好的消费者吸引走，他觉得价格便宜，让他把强偏好的流行色产品留给强偏好的消费者。这里不要求零售商知道哪个颜色流行、哪个不流行；也不用知道哪些消费者是强偏好、哪些是弱偏好，只要提供概率产