第三章空间力系

第三章空间力系主要内容空间汇交力系的合成与平衡；力对点的矩和力对轴的矩；空间力偶；空间任意力系的简化---主矢和主矩；空间任意力系的平很问题和平衡方程；物体重心的确定§3-1空间汇交力系1、力在直角坐标轴上的投影

xyzXiZiYiFiXiZiYiFiX=FsinγcosφY=FsinγsinφZ=Fcosγβαγφxyzγ

X=FcosαY=Fcosβ

Z=FcosγConcurrentforcesysteminspace2、空间汇交力系的合成与平衡条件：合力的大小空间汇交力系的平衡方程:求：三根杆所受力。例：P=1000N,各杆重不计。nnnnhABMO(F)rhABMO(F)rhABOzxyMO(F)rhABMO(F)r|M

O(F)|=FhF矢量记作MO(F)，且MO

(F)=r×F——定位矢量§3－2力对点的矩和力对轴的矩Themomentofaforceaboutapointoranaxis一、空间力对点的矩2）矢量的方位与力矩作用面的法向同，矩心为矢起端；1）矢量的模等于力矩的大小；3）矢量的指向确定了转向，按右手法则。力对点的矩为零的条件：要使|MO(F)|=0，就有r×F=0，得：1）r=0或r与F共线，即力通过矩心；2）F=0力对点的矩采用行列式可得如下形式：由：r=xi+y

j+zk和F=X

i+Y

j+Z

k可得：=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k二、力对轴的矩度量力对绕定轴转动物体的作用效果以门为例：门上作用一个力F假定门绕z轴旋转将力F向z轴和xy面分解成两个分力Fz

和Fxy，显然力Fxy

使门绕z轴旋转。FFxyFzzxyOz力对轴的矩之定义 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩的大小。逆着坐标轴正向看，力使物体绕轴逆时针旋转为正。FFxyFzABh即Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxyh力对轴的矩等于零的情形：①力与轴相交(h=0)②力与轴平行(Fxy=0)一句话:只要力与轴在同一平面内,力对轴的矩等于零。FxyFxyFzFxyFxyFzFxy力对轴的矩之解析表达式设空间中有一个力FyxyxOzXYFxyXYZFA(x,y,z)力作用点A（

x，y，z）;

F

在三轴的投影分别为X，Y，Z;A(x,y,z)A(x,y,z)根据合力矩定理，得Mz(F)=M

O(Fxy)=MO(X)+MO(Y)=xY－yXXYZXYZ按同类方法求得其他两式：M

x

(F)=yZ－zY

My

(F)=zX－xZ三、力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩矢量可以写成：可得[MO(F)]x

=Mx(F)[MO(F)]y

=M

y

(F)[MO(F)]z

=M

z(F)MO(F)=[MO(F)]xi+[MO(F)]yj+[MO(F)]zk=(yZ－zY)i+(zX－xZ)j+(xY－yX)k

而

Mx(F)=yZ－zY

M

y(F)=zX－xZ

M

z

(F)=xY－yX

结论：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。如果力对通过O点的直角坐标轴x、y、z的矩是已知的，则力对点O的矩的大小和方向余弦为：手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若CD=a，BC∥x轴，CE∥y轴，AB=BC=l。求力F对x、y和z三轴的矩。例3-1：CDEAxzyαFB由合力矩定理可得：CDEAxzyαFB解法1将力F沿坐标轴分解为Fx和Fz。FxFzMx(F)=M

x(Fz

)=-F

z(AB+CD)=-F(l+a)cosαM

y(F)=M

y(Fz)=-F

z(BC)=-FlcosαM

z(F)=M

z(Fx)=-F

x(AB+CD)=-F(l+a)sinαFxFzFxFz解法2直接套用力对轴之矩的解析表达式：力在x、y、z轴的投影为X=FsinαY=0Z=-FcosαCDEAxzyαFBFxFzM

x(F)=yZ－zY=(l+a)(-Fcosα)-0=-F(l+a)cosαM

y

(F)=zX－xZ=0-(-l)(-Fcosα)=-FlcosαM

z

(F)=xY－yX=0-(l+a)(Fsinα)=-F(l+a)sinα图中力F的大小为10kN，求的力F在x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对O点的矩。(长度单位为m)OxyzA(4,9,5)534例3-2:Fijk解：1、先求F的三个方向余弦FF2、求力的投影（F

=10kN）例4-2（续1）OxyzA(4,9,5)534FijkFF已算得：3、求力对轴的矩例4-2（续3）OxyzA(4,9,5)534FijkFF已算得：（求力对轴的矩也完全可以先将力F分解为三个分力，再由合力矩定理分别求出力对轴的矩）例4-2（续4）4、求力F对O点的矩由

MO(F)=Mx

i+My

j+Mz

k得：也可以按如下方法求解：二、图示正立方体的边长为0.5m，沿对角线HD作用一力F1，沿棱边BC作用一力F2，在BCHE面上作用一力偶。已知：力偶矩M=10N·cm，F1=F2=100N，求力系对各轴的矩。(10分)ndFF’BAMnMM为自由矢M为自由矢M为自由矢M为自由矢O就是力偶矩的大小。可见，与矩心无关。如图力偶对O点的矩为：§3－3空间力偶Systemofforcecouplesinspace一、力偶矩以矢量表示：力偶矩矢方位与作用面法方向方位n同。指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。二、空间力偶等效定理：作用于刚体上的两力偶，若它们的力偶矩矢相等，则此二力偶等效。（2）力偶作用面可平行移动而不改变力偶对刚体的效应。只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。（1）只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。===力偶矩矢相等的力偶等效，即力偶矩矢是空间力偶作用效果的唯一量度。三、空间力偶系的合成与平衡条件：

任意个力偶可以合成为一个合力偶，这个合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。M=M1+M2+…+Mn

=∑MiM1+M2+…+M

n=rBA×F1+rBA×F2+…+rBA×Fn=rBA×(F1+F2+…+Fn

)=rBA×R=MM1MnM2rBABA证：设有n个力偶，总可得到两个汇交力系，汇交点分别为A和B。合力偶矩矢的大小和方向余弦：例：求：工件所受合力偶矩在轴上的投影.在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80N·m。有空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零，即圆盘面O1垂直于z轴，求:轴承A,B处的约束力。例F1=3N，F2=5N，圆盘面O2垂直于x轴，AB=800mm,两圆盘半径均为200mm，解：例不计正方体和直杆自重。求：正方体平衡时，力的关系和两根杆受力。正方体上作用两个力偶∥解：两杆为二力杆，取正方体，画受力图建坐标系如图b以矢量表示力偶，如图c解得设正方体边长为a,有§3-4空间任意力系向一点简化主矢和主矩

Reductionofaforcesysteminspacetoagivenpoint一空间汇交力系与一空间力偶系等效代替一空间任意力系一、空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点简化，可得一力和一个力偶。主矢作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩矢。主矢与简化中心无关；主矩一般情况下与简化中心的位置有关。—有效推进力—有效升力—侧向力—滚转力矩飞机绕x轴滚转—偏航力矩飞机转弯—俯仰力矩飞机仰头OdOdO二、空间任意力系的简化结果分析1、空间力系简化为一个合力偶主矢R’=0；主矩MO≠0主矩与简化中心无关。2、空间力系简化为一个合力合力矩定理

①主矢R’≠0；主矩MO=0合力的作用线通过简化中心。②主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO⊥

R’

MOR’R’RR”RMOMOMOR’R”R’R”R’R”

MO(R)=∑MO(F)空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。将上式向任意轴投影（如z轴）得：

Mz(R)=∑M

z(F)3、空间力系简化为力螺旋的情形主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO∥

R’OOOORRRRMOMOMOMO右螺旋左螺旋力螺旋就是由一个力和一个力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶作用面。力螺旋的力作用线称为力螺旋的中心轴。力螺旋由两个力学基本要素组成，不能进一步合成主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO与R’即不平行也不正交。M”O=MOsinα；M’O=MOcosα

M’O和R’组成力螺旋，其中心轴距O点的距离为：OOOαR’MOR’R’M”OM’OM’OdMOMOMO4、空间力系简化为平衡的情形主矢R’=0；主矩M

O=0§4-5空间力系的平衡方程空间力系平衡的充分必要条件：所有力在三个坐标轴中的每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也为零。除了上述的基本方程，还有所谓的4力矩、5力矩和6力矩式。Equilibriumequationsofaforcesysteminspaceandtheirapplications几种特殊情形平衡规律[Ⅰ] 汇交力系∵所有的力矩方程恒等于0∴汇交力系有三个平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑Z=0[Ⅱ] 平行力系（假定力的作用线平行z轴）∵∑X≡0，∑Y≡0，∑Mz≡0∴平行力系有三个平衡方程：

∑Z=0，∑M

x

=0，∑M

y

=0[Ⅲ] 平面一般力系（假定力的作用面为Oxy面）∵∑Z≡0，∑Mx

≡0，∑My

≡0∴平面一般力系有三个平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑M

z=0约束反力未知量约束类型AFAAFAzFAyA径向轴承圆柱铰链铁轨蝶铰链约束反力未知量约束类型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形铰链止推轴承导向轴承万向接头约束反力未知量约束类型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy带有销子的夹板导轨空间的固定端支座空间力系平衡问题举例：空间任意力系的平衡方程有六个，所以对于空间任意力系作用下平衡的物体，只能求解六个未知量。本节基本目的：①受力分析②平衡方程的建立③解题技巧图示三轮小车，自重P=8kN，作用于点E，载荷P1=10N，作用于点C。求小车静止时地面对车轮的反力。例P1PFBFAFD解：以小车为研究对象，受力分析如图FBFAFDFBFAFD0.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACP10.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACFBFDFBFDFBFDFBFDP例4-4(续）zxyO∑M

x

(F)=0，2FD－1.2P－0.2P1=0FD=5.8kN∑My

(F)=0，1.2FB－0.8P1－0.6P+0.6FD=0FB

=7.8kN∑Z=0，FA+FB

+FD

－P1－P=0FA=4.4kN适当地选择坐标轴对简化计算非常重要。FAFAFAFA选取坐标轴如图水平均质板重P，6根直杆用球铰将板和地面连接，结构如图。求由板重引起得各杆内力。例解：给各杆编号①②③④⑤⑥受力分析，假定各杆均受拉力S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6∑MAB=0∑MAE

=0S5=0∑MAC=0S4=0∑MBF

=0S1=0∑MEG=0S3=0∑MFG=0PaBHbADCFGE本章小结（4）简化的最终结果主矢主矩最终结果说明空间任意力系简化的最终结果§4-8重心1.重心的概念及其坐标公式重力是一个分布力系，可足够精确地视为空间平行力系。一般所谓重力，就是空间平行力系的合力。可以证明不变形的物体（刚体）在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线都通过此物体上的一个确定的点，这一点称为物体的重心Thecenterofgravityofanobject△ViMiC推导物体重心的坐标公式若将物体分割为许多小体积，每个小块体积为△Vi，所受重力为Pi，则整个物体的重量为P=∑PiPPiyizixizCxCyCxzyO根据合力矩定理，

对x轴取矩，有PyC

=-(P1y1+P2y2+…+Pnyn)=-∑Piyi对y轴取矩，有P

xC

=(P1x1+P2x2+…+Pnxn)=∑Pixi为了求坐标zC，将物体连同直角坐标系Oxyz一起绕x轴逆时针旋转90°对有x轴取矩，有PzC

=(P1z1+P2z2+…+Pnzn)=∑Pizi△ViMiCPPiyizixizCxCyCxzyOxzyO△ViMiCPiPzizC重心的坐标公式:体积的重心若物体均质，单位体积的重量为γ=常量，以△Vi表示微小体积，物体总体积为V=∑△Vi。将

Pi=γ△Vi代入重心公式，得上式的极限为体积重心与比重无关，只与物体的体积有关面积的重心工程中常采用薄壳结构，其厚度与其表面积S相比是很小的，若薄壳均质等厚的，则重心公式为PPiyizixizCxCyCxzyOCds线段的重心如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与其长度l相比是很小的，则重心公式为yizixizCxCyCxzyOPPiC2.确定重心的常用方法当物体具有对称轴、对称面或对称中心时，它的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。对于几何形状较复杂的均质物体，往往采用分割法和负面积法分割法负面积法例求：其重心坐标均质等厚Z字型薄板如图所示。解:分为三个小矩形，例等厚均质偏心块的解：用负面积法，3.确定重心的常用实验方法实验方法多种多样，但最常见的是悬挂法。CCCC称重法为了确定具有对称轴的图示连杆的重心xC，线先称出连杆重量P。然后将其一端支承于A点，另一端放在磅称B上，测得两点的水平距离l及B处的约束反力FB,假定为G,由∑MA(F)=0，PxC－FB

l=0重心公式（1）重心公式（2）重心公式（3）重心公式（4）本章小结1、力在直角坐标轴上的投影

X=FsinγcosφY=FsinβsinφZ=FcosγXiZiYiFiφxyzγxyzXiZiYiFiβαγ

X=Fcosα

Y=Fcosβ

Z=Fcosγ本章小结（2）2、力对点的矩的计算=(yZ－zY)i+(zX－xZ)j+(xY－yX)k3、力对点的矩与力对轴的矩的关系[M

O(

F)]x

=M

x

(F)[M

O(

F)]y=M

y

(F)[M

O(

F)]z

=M

z

(F)本章小结（3）4、合力矩定理Mo(R)=∑Mo(F)即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。将上式向任意轴投影（如z轴）得：

Mz(R

)=∑M

z(F)5、空间任意力系向一点简化，可得一个大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心的力和一个力偶。本章小结（5）6、空间任意力系平衡方程的基本形式几种特殊情形平衡规律[Ⅰ] 汇交力系

∑X=0，∑Y=0，∑Z=0[Ⅱ] 平行力系（假定力的作用线平行z轴）

∑Z=0，∑Mx=0，∑M

y=0[Ⅲ] 平面一般力系（假定力的作用面为Oxy面）

∑X=0，∑Y=0，∑Mz=0本章小结（6）[Ⅳ] 力偶系

∑M

x=0，∑M

y=0，∑M

z=07、不变形的物体（刚体）在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线都通过此物体上的一个确定的点，这一点称为物体的重心重心的坐标公式在图中，皮带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F=2000N。已知皮带轮的直径

D=400mm，曲柄长R=300mm，α=30º，β=60º。求皮带拉力和轴承反力。例200mm200mm200mmDRFF2βF1αAB例4-5(2)

(α=30º，β=60º)解:选坐标轴如图∑X=0，F1sin30º+F2sin60º+XA+XB=0∑Y=0，0=0∑Z=0，ZA+ZB-F-

F1cos30º-F2cos60º=0zyxzxFRDβαF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB以整个轴为对象，受力分析如图200mm200mmαβ200mmAB(α=30º，β=60º)解:选坐标轴如图∑M

x

(F)=0，400ZB-200F+200F1cos30º+200F2cos60º=0∑M

y

(F)=0，F·R-(F2-F1)·D/2=0∑M

z(F)=0，200F1sin30º+200F