43多项式方法求特征值问题

4．3多项式方法求特色值问题方法求多项式系数我们知道，求n阶方阵A的特色值就是求代数方程()|AI|0（）的根。()称为A的特色多项式。上式睁开为()np1n1p2n2.....pn（）此中p1,p2,...pn为多项式()的系数。从理论上讲，求A的特色值可分为两步：第一步直接睁开队列式|AI|求出多项式()；第二步求代数方程(x)0的根，即特色值。关于低阶矩阵，这类方法是可行的。但关于高阶矩阵，计算量则很大，这类方法是不适用的。这里我们介绍用F-L（Faddeev-Leverrier）方法求特色方程（）中多项式()的系数。因为代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特色值问题的要点是确立矩阵A的特色多项式()，所以称这类方法为多项式方法求特色值问题。记矩阵A=(aij)nn的对角线元素之和为trAa11a22...ann（）利用递归的看法定义以下n个矩阵Bk(k1,2,....,n):p1trB1B1A,p21B2A(B1p1I),trB22p31trB3B3A(B2p2I),3...............pk1trBkBkA(Bkpk1I),k1................pn1BnA(Bn1pn1I),trBnn（）能够证明,(4.3.4)式中pk,k1,2,...,n,即是所求A的特色多项式()的各系数。用（）式求矩阵的特色多项式系数的方法称为F-L方法。相应特色方程为：(1)n(np1n1p2n2.....pn)0（）并且可证矩阵A的逆矩阵可表示为A11(Bn1pn1I)pn(4.3.6)例1求矩阵324A202423的特色值与A1.解用F-L方法求得324B1A202423p1trB161124B2A(B1p1I)2824211p21trB2152800B3A(B2p2I)080008p31trB38所以A的特色方程为3(1)3(362158)0此方程的根,即特色值为18,21,31111242A11(B2p2I)171p3484111242从例1中的计算结果可知B3p3I.Faddeev以前证明:对n阶矩阵A,按(4.3.4)式计算出的Bn总有BnpnI(4.3.7)特色向量求法当矩阵A的特色向量确立此后,将这些特色值逐一代入齐次线性程组(AI)x=0中,因为系数矩阵AI的秩小于矩阵AI的阶数n,所以固然有n个方程n个未知数,但实际上是解有n个未知数的互相独立的r个方程(r<n).当矩阵A的所有特色值互不同样时,这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1个独立方程,此中含有n个特色向量重量,所以特色向量重量中最罕有一个需要随意假定其值,才能求出其余特色重量.在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-若当消去法,以便把一组n个方程简化为等价的一组n-1个方程的方程组.可是,用高斯-若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是独立的,在消去过程中系数为零的状况许多.必需互换方程中未知数的序次,以避免主元素地点上为零的状况.所以,为了提升精度和防范零元素的可能性,我们老是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素地点.比方,假定矩阵A为422A532241其特色方程为422532241=0睁开后为(1)(2)(5)0故特色值分别为11,22,35下边求特色向量，将1代入方程组(AI)x0中，得3x12x22x305x12x22x302x14x20x30（）以-5为主元素,互换上式第一与第二个方程得5x12x22x303x12x22x302x14x20x30(4.3.9)用高斯-若当消去法消去-5所在列中的x1,并把主元素所内行调到最后,得0x1164x30x2550x116x24x3055x12x22x3055(4.3.10)再以16/5为主元素,消去它所在列中的x2,并把主元素所在的行调到最后,得0x10x20x30x10x21x3020x1x21x30(4.3.11)4这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情况

.因为这个等价的方程组包括两个独立的方程,而有三个未知数，所以只需假定此中一个值

,则其余两个值就能够经过两个独立方程解出.比方,令x31,则获得矩阵A的对应于11的一个特色向量为12141对其余两个特色值的对应特色向量求法与上述对11的推导过程同样.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第3章谈论过的高斯-若当消去法的公式,方程组(4.3.9)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B为16455164B552255(4.3.12)以矩阵为方程组(4.3.10)的系数矩阵,此中省略了有0和1元素的第一列.在进行第二次消元以前,要应用完整主元素措施对前两行进行最大主元素选择,而后再进行必需的行或列互换.每达成一次消元过程,总省略只有0和1元素的第一列,并且计算机仅找寻矩阵的前n-k行中的最大主元素,此中k是消元过程应用的次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程,则获得列矩阵0B11214(4.3.13)此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵,可是省略了含0和1元素的前两列.一般来说,最后矩阵列的数量等于矩阵AI的阶数和秩的差值.因为方程组(4.3.8)有三个未知数,两个独立方程,所以计算机一定随意给定一个未知数的值,以便能够从其余两个独立方程中解出其余两个未知数.为方便，在计算机决定特色向量时,要合适地设定随意采纳的未知数的值.比方,令x31,由方程组知道,其余两个重量的值正好能从含x3的非零系数项得出.为此,从计算机所储存的最后矩阵中,令B1最上边的0元素为-1,并把它按序调到最下边第三行的地点上,就获得所求的特色向量(1,1,1)T.24在工程问题中,从特色方程所求出的特色值,少量情况也有同样的.一般地,当一个特色方程有k重根时,矩阵AI的秩可能比其阶数少1,或2,或3,,或k,自然对应于的线性没关的特色向量的个数也就是1,或2,或3,,或k,下边经过一个特色值对应两个线性没关特色向量的例子进一步说明计算机求特色向量的方法.设矩阵A为324A202423其特色方程为324220423睁开后得(1)2(8)0所以特色值为121,38为了决定1的特色向量,将1代入方程组(AI)x=0,得424x1212x20424x3(4.3.14)应用一次高斯-若当消去法,得000x1000x2011/21x3(4.3.15)写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为00B001/21(4.3.16)因为方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,所以对应于1有两个线性没关的特色向量,一定给两个未知数随意规定值,才能确立这两个线性没关的特色向量,由（）式可看出,一般老是选择x21,x30求一个特色向量;选择x20,x31求另一个特色向量;这样有两个线性没关的特色向量1/21100,1计算机中求两个线性没关的特色向量的方法是,在(4.3.16)式的B中,把第一列中第一个0元素用-1取代,第二列中第二个0元素也用-1取代,而后把第一、第二行按序调到最下边一行的地点上，第三行自然就成了第一行，这样调动后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性没关的特色向量。对应于1的所有特色向量为1/21k11k2001此中k1与k2是随意常数，且不一样时为零。为了说明列互换的必需性，防范主元素为零，再举一个例子，设矩阵A为2812A144001其特色方程为(2)(1)0特色值为12,20,31对应于2的特色向量可由解以下方程组而求得4812x1124x20001x3(4.3.17)用一次高斯-若当消去法，得001x1001x20123x3(4.3.18)若不进队列互换，则下一个消元过程只好在第一行的第二个元素与第二行的第二个元素中找最大主元素，而它们都是零，我们不得不对(4.3.17)式进队列互换，即互换未知数之间的序次，以后再进行消去过程.对(4.3.17)式进队列互换，即把绝对值最大系数放在主元素地点，明显是第一列与第三列的互换，互换后成为1284x3421x20100x1(4.3.19)此中未知数列矩阵中x1与x3也进行了互换，这样才能保证(4.3.17)式与式等价，对式进行一次高斯-若当消去法，得02/31/3x302/31/3x2012/31/3x1(4.3.20)再进行一次消去过程，得000x3100x20011/2x1(4.3.21)在计算机被骗算，剩下一个最后的列矩阵0