2020年高三数学大串讲第07讲(三次函数的导数问题)

11212121331－a－112－1a22212112221同理可得f11212121331－a－112－1a22212112221同理可得f(x＝ax－，于有ff)－－－－a＞0.a时x－－－1－1－1运用三次函数的图像研究零点问三函数的单调性问,三函数的极值与最问题。【题读例1若3

－x

＋－＝0只一个实数根求数取值范围．【析令fx＝x

－x

＋axa则fx)2x＋a∵()＝0有个实数根∴′(x)＝0的≤0或f()＜或f()＞①x＝Δ解得；②当时设为fx＝2

－x＋a＝的个根x)，x＝1－－ax＝＋－a，fx)在(－x)和(x，＋上单调递增在(x)上单调递减．1°若f()＜即f(x)0122∴(x＝x32＋ax－(2x－)－x－)＋ax－2＋a＝x－＋a－2x＝13131331

22－－＝[(ax－]，∴x＞即1－1－＞，解得(－)1a＜1即(1a＜1得＜12°若f()＞即f(x)0同理f(x＝[(ax－]0.∴＜即＋－a解得－(1－a－a＞1即(1)3

＜－1无．综上所述实取值范围(0＋．另：f)＝x

－x

＋－a则fx)＝x

－2＋a∵()＝0有个实数根∴′(x)＝0的≤0或f(x)·f)x是f(x)的极值点)．①x＝Δ解得；x1a＝＝x1－，②由x为fx)＝0的个根得2x＋＝0x＝2x－，

(＜于是f(x＝32－1

22222＝x(2x－)－(2x－)＋ax－a＝x2＋－＝(2x－a)＝－2x＝－－a11133222223a1＞0x2－(12＋＞0

112122332212273112122332212273又∵x是方程2

－2＝0根∴x＋＝2xx＝化可得a2－3＋＞0解＜＜1；综上所述实取值范围(0＋∞).＋1例2、已知数f(x)3x，gx)－kx若数f)与gx)图象有三个不同的交，求数k的值范围．【析∵(x与g()的图象有三个不同的交点，∴()＝gx)有三个不等实根．令(x)＝()－g(x＝3

－

k＋1x2＋kx－，hx＝2

－＋＋＝k－11(－)(x－1)根据题意得k且(1)·(＜，化简可得－k＋k2

－

3

＜0k－1即－－1)(22k－2)＜0，∴k－2k－20，解得k＞1＋或k＜－，∴实数k的值范围(－，1－∪＋，∞).a例3设函数()＝x－x2

＋1其a若点可作曲线y＝f(x)三条不同切线求数a的取值范围．【析∵x＝x2

－设切点为tft切方程为y＝(t2

a2－－＋t3－t2代0,2)化简可得23t3

2aa－t2＝0设gt＝t－t＋1令t＝0有tt＝0.过点可以作曲线y＝(x)的三条切＞0线∴g(t)＝0有个不同的根，

3解得＞24∴实数取值范围是24＋．例4已知函数()＝x－x

＋x(1)求曲线y＝(x)斜率为切线方程；(2)当x∈[时求：x－≤fxx；(3)设F(x＝f)(x＋a)|(a∈R)记(x)在区间[－上最大值为(a．当M)最小时求a的值．33【析(1)fx)＝x－x2x得fx＝x－2＋令f＝1即x－2＋1＝得x＝＝88又f(0)＝，f)，所以曲线＝fx)的斜率为的切线方程是y＝x与－＝x

xxx2x2xxx2x2即y＝x与＝－(2)证明：令(x＝f)－xx∈－2,4]由(x＝x－x得＝x令x)＝0得x＝或x＝.)gx的情况如表所.

－2.x

－2

－

(0，)

(，4)

)

＋

－

＋(x)

－6

－

表所以gx的最小值为6最大值为0.－≤)≤0，即－6f(x(3)由(知，当－时(a＝g(0)－＝＞；当－时(a(－＝g－2)＝＋a3当＝－3时，(a)＝综上当M()最小时a－例、已知函数＝

－x＋x，e－，

x<0，x≥0，

其中常数∈.当a，求函数f()的单调区间；若程f(－x＋()＝x－3在间，＋∞)有实数解，求实数a的值范围；【析(1)当＝时，f(x)＝

－x＋x，e－，

，x≥0.①当时f′(x)＝－3x

＋恒立，所以在－，0)上递减；分②当x≥0时，＝－2可得在0，2]递减，在[，＋∞)递增(4分)因为f(0)＝，以f(x)的调递减区间是(－，0)和[02]单调递增区间是[ln2，＋∞)．分当时f(x)＝x－，时－x<0f(－x)＝－－

＋－x)＝x

＋x2所以可化为＝x＋x＋在间(，＋上实数解(6分记g(x)x

3（x－）（2x＋x＋，x∈(0，＋，g＝＋1－＝

＋＋）.(7分)可得在(0，上减，在1＋上递增，且g(1)＝，x＋时，g(x)＋分)所以的值域是[5，∞)即实数a的值范围[，＋∞)(10分)例6已知函数

f(xbx，

R．

323222222222323222222222（1若a

，①当

a

时，求函数f()

的极值（用

表示②若x

有三个相异零点否在实数

使得这三个零点成等差数列？若存在出

的值；若不存在，请说明理由；【析（1）①由f

x

ax

及

，得f

，令f

0解得

或x由知，xf

，f(x)调递增，aa，，f)单递减，x()单递增，33因此，f()极大值为(

，f()的小值为f).27②当a时，时(x)不在三个异零点；当时与①同理可得(x)的极小值为f(

，fx)的大值为().27要使f(x)有个不同零点，则必须有27即35

)(1

527

a)，不妨设f()三个零点为x,，且xx，1313则fx)fx)f(x，1f()x，①11f()2

32

ax

22

2

x，②2f(axx③3②-①得()(x212

x)(x(x)，121121因为x，以x2

12

(x)2

2

，④同理x3

(x)，⑤32⑤-④得x(x)xx)(x)(x)，33因为x，以x，323又x，以32

a3

121212121212227所以f()，即a，a因此，存在这样实数

满足条件.例7已知函数()xaR)点是指函数取极值时对应的自变量的值）

有极值，且导函数f'()的极值点是f()的零（1求b关的数关系式，并写出定义域；（2证明：

；7（3若f(f'()这个函数的所有极值之和不小于，求a的值范围．2【析'(x)x

有零点

f''(xx

a3

，aa23根据题意，()即化简得a2以，339ab即

23a(；9a（2g(

41a4a813a281a

27)(

)

；b（3设x,为f()的个极值点，令'()得x,33

，法一：fx(x)21

x2

)x)[()x][()2xx](x)11212

4222a3aba3a()．273a记f(x),f

a2所极值之和为S()，f(f(f)，a2则(af)f(x)f)，323而(a))在(3,单调递减且(6)，6a32

．aa法二：下面证明(x)的图像关于(,f())33

中心对称，aaabf)3bx)3b)3327a2ax)b)f()，33

12x2xee12x2xee所以f

aaa)()f()，以f()f(x)，同法一．333例8已知函数＝2x3＋1)x＋，∈.曲y＝fx)＝处的切线的斜率为3求a的值；若于任意x，∞)f)＋－)恒成立，求a的值范围；若a，设函数f)在区间，2]上的最大值、小值分别为M(a)，m()，记h()＝(a)－(a，求(a的小值．【析(1)因f(x)

－3(a＋2

＋6ax所以f′(x)＝6x26(a＋1)x＋，所以曲线＝f(x)在x＝0处的切线的斜率k＝＝，所以＝，所以a＝x＋f(－＝－6(a＋1)x2lnx对意x∈(0，∞)恒立，所以(a1)≥xx（1－lnx）令g(x)，＞0，则g＝.令g＝0解得x＝.当x∈(0，)时，g＞，所以g(x)在(0)上单调递增；当x∈e，＋时g，所以g(x)在(e，＋∞)单调递减．所以＝e)＝，1所以－(a＋≥，－－，所以a的值范围为－，1.因＝3

－3(a＋2

＋所以f＝6x26(a＋1)x＋6a＝6(x1)(xa)令＝0则＝或x＝a.＝3a1，＝由f(1)f(2)到分类的节点＝①当＜≤时，当x∈(1，时，＜0所以在，上单调递减；当x∈(a时，＞0所以在(，上单调递增．又因为f(1)，以M(a)＝4m(a)＝＝－3

＋3a，所以h(a)－＝－(－

＋3a2

)＝

－3a2＋4.因为h＝3a2

－6a－＜0，所以h(a)在1上调递减，

27127128所以当∈，时的最小值为h＝.②当＜＜，当x∈(1，时，＜0所以在，上单调递减；当x∈(a时，＞0所以在(，上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，以＝＝－1＝f(a)＝a3＋，所以＝M(a)＝－1(－a32＝－3a＋3a因为h＝3a2

－6a3＝3(a2

>0.所以h(a)在，2上调递增，58所以当∈，时＞h＝.③当时当x∈(1，2)时，＜0所以在1，2)上单调递减，所以＝＝－1，m(a)＝f(2)＝4所以h(a)＝M(a)＝3a－＝－，所以h(a)在2＋上最小值为h(2)综上，h(a)最小值为【反练】1、

若函数f()＝x

－2ax2－x在(－1,1)有且只有一个极值点则数a的取值范围．【答案】－，∪，1【解析】∵)＝2x－ax∴据题意f－f′(1)解得＞或＜－a1、已知函数()＝x＋x＋x3

aR≠0)有且仅有个值则数的取值范围是_．【答案】(－，－∪(2，∞)【解析】可转化为)＝x＋ax

＋x有个不同的零从而x

＋ax＋＝0有个不等的非零实故

－4∴∈(－－∪(2＋．1、若函数(x)3(＋1)x＋x－(a0)在[0,2]上有两个零点则数a取值范围是．23【答案】0【解析】)＝ax－(x－，

af＝－(－＜0，f＝，1af＝－(－＜0，f＝，1①当＞即＜a时f＝－＜0f(1)＝－(a1)0做如：xf′(x)f)

(－∞1)＋增

极大值

1－减

极小值

，＋＋增表7-21(ⅰ)当a，即＜a时，≥，＝(2a－1)0因为(x在区间[0,1]上为增函数，在[上减函数，∴()在区间和(1,2]上各有一个零点，即在[0,2]上有个零点；(ⅱ)当2a＞，即＜＜1时，1＜2，－22＋3－1－－1－f＝＝a2

＞0f＝－1)，x∈[1,2]，fx＞∵()在[上为增函数，∴()在区间有一个零点，即[0,2]上有一个零点，不满足题设；②当＝1时fx)(x－2∴()在－，＋∞)是增函数，∴f在[上可有两个零点；1③当＜，即a，f(0)－＜03－－16做表如下

a1＜0＝(2a＞0xf′(x)f)

－，＋增

极大值

－减

极小值

，＋＋增表∴x∈[0,1]，(x)0，∵()在[上为增函数，∴(在间(1,2]有一个零，即[0,2]上有一个零点，不满足题设．综上，a取值范围是，.、设函数(x)＝32x－

1212，fa12121212，fa1212(1)对于任意实数xf)≥恒立求实数m的最大值；(2)若方程f(x)且仅有一个实求数的值范围．【答案】－；(2)(－，2)，＋【解析】(1)f)＝32

－9＋＝－x－2)∵x∈R∴fx)m即x

－9＋－≥0恒立∴－12(6－)≤，得m－，的最大值为－(2)∵当x＜1或x＞2时，fx)＞0，fx在(－，和，＋∞)递增；当＜＜时，fx)＜0fx在上递减；∴当x＝1时fx)取极大值f＝－a，当x＝2时，(x)取极小值f(2)－，故当(1)＜0f(2)，方程f)＝0仅一个实根，解得a＜a＞.(或由f(1)(2)＞0亦可解得aa2、已知函数()＝ax＋x－aa∈R.(1)若函数(x)＝x4试讨论方程f()＝(x的实数解的个数；(2)当a0，若对于任意的x∈[a＋都在x∈[＋2＋∞)使f)f＝1024求足条件的正整数的取值集合．【答案】当a时，有两个解；当－1＜a＜时有三个解；当－1时有两个；(2){1}．【解析】fx)(x)即为ax＋－a＝4∴x43xa，∴x3(x－a)－，a或{＞，x＝1

或{＜，x＝－，①当a，方程f(x)()有两个不同的解a－1②当－1＜a＜1时方程f(x＝gx有三个不同的解a，－1,1；③当a－1时方f()＝g()有两个不同的解a,(2)当a＞∈(a时fx)＋x－fx)＝2＞∴数fx)(a∞)上是增函数，且f)＞(a＝a4＞0，10241∴当x∈[a，＋2]时，f(x)∈[f，fa，∈f当x∈[＋2＋∞)时，f)∈[(＋，＋．∵对任意的x∈[，a＋，都存在x∈[a2＋，使得f(xf＝1024，[fa，＋，∴afa

，

3a3a3a3a3a3a3a3a3a3aaax2x2x2x3∴

f＋2

f(a＋，∴2a，即fa32也即a(＋3

＋232∵a0，显然a满足，而a2，均不满足．∴满足条件的正整数取值的集合为{1}、已知函数f(x)＝ax3

＋bx2

－，b∈R)．当a＝1时求(x的单调增区间；当≠0时，若函数f)恰有两个不同的零点，求的；当a，若f(x的集为()，且，n中有且仅有一个整数，求实数b取值范围．解后反思

(2)xax2g(x)x3kx2

g(x)(x2.x

)xst2x3

kx2

kt2

43.解：(1)当a＝1时＝＋x2－4f＝＋2x.令，得或－，所以f(x)单调增区间是∞－和(0＋．(2)法一：＝＋2bx，令＝0得＝0或＝－，因为函数f(x)有个不同的零点，所以f(0)＝0或f当f(0)＝0，得a，不合题意，舍去；

－＝当f

2b2－＝0时代入得－＋－－＝，b343即－＋－＝，所以＝a法二：于，所以f(，－x4由f(x)0得＝＝－≠0)．8设h(x)－，h－－1令＝0得x＝，当x∈(，－时，′(x)<0，递；当x∈(－，0)时，′(x)>0，h(x)递增，

xbln3x00xbln3x00当x∈(0，＋时，′(x)>0，h(x)调递增，当时h(x)的值域为R，b43故不论取何，方程＝＝－恰一个根－，x此时函数f()＝a(x＋2)

(－1)有两个零点－2和(3)当＝0，因为f(x，所以2，1－2设(x)＝x－bx，则gx)＝－＝(x>0)，当≤0时，因为gx，所以g()在(0＋上增，且g＝－b，所以在(1，＋∞)上，g(x＝ln－2，不合题意；当b>0时令gx)＝

－bx＝0得＝x

，2所以(x在，

递增，在

，＋递减，所以(x)＝

＝

－，b要使(x)>0有解，首先要满足ln

11－>0，得b.2

①又因为(1)＝－b<0(e)＝－b，2要使fxx的集，n)中只有一个整数，则

g），g），>0，即解≤<.≤0，

②1lnx设(x)＝，)＝，当x∈(0，e)，，(x)增；当x∈，＋时x)<0，h(x递减．所以(x)＝(e)＝(2)＝，所以，22eln3ln2所以由①和②得，≤＜.4、若函数y＝在x＝处得极大值或极小值，则称x为函数＝的值点．设函数f(x)＝－2∈R)．若数f(x)(0上无极值点，求的值范围；求：对任意实数t，函数f)图像总存在两条切线相互平行；当t＝3时函数f)的图像存在的两条平行切线之的距离为4求满足此条件的平行线共有几组．

12112221122121112112221122121121112221211122112111111规范解答(1)函数f(x)＝x

－2＋，得f＝3x2－2tx.由f′(x)＝0，得x＝，或x＝t.23因为函数f(x)在，上无极值点，所以t或，解得或≥.32(2)令f′(x)＝3x

－2tx＝，即3x2

－－＝0＝4t212p.t2当＞－时＞，此时3x

－2tx＝0存不同的两个解x，设这两条切线方程为分别为y＝(3x－2tx－＋tx2＝－2tx)x2x＋＋若两切线重合，则－3tx＋1－3tx＋，即2(x＋xx＋＝t(x＋x)，即＝t(x＋x．4t4t2而x＋x＝，化简得·x＝，时(－x)2(x＋)24x＝－＝，1231219与x≠x矛盾，所以，这两条切线不重合．综上，对任意实数，函数的图像总存在两条切线相互平行．(3)当t＝时f(x)x－2＋1，＝3x2由(2)知＋x＝，两切线平行．设，x－3x

＋，B(x，x－3x2

＋1)，不妨设＞x，则＞过点A的切线方程为y＝(3x2)x2x33x＋1.所以，两条平行线间的距离3