第九章组合变形杆件强度计算

组合变形杆件的强度计算第九章作者:黄孟生§9-1概述构件发生两种或两种以上基本变形的组合,若几种变形所对应的应力（或变形）属于同一数量级。则构件的变形称为组合变形。组合变形的实例:Feq2q1yzF1F2xTABCDF2F1F2F1在弹性、小变形范围内，几个因素共同作用所产生的结果，就等于各个因素分别作用所引起的结果的总和

——叠加原理。计算组合变形杆件的应力和变形时，材料处在弹性范围内，且在小变形情况下，可将作用在杆上的荷载分解或简化成几组（也可直接求截面各内力分量），使杆在每组荷载（内力）作用下只产生一种基本变形;然后,分别计算每一种基本变形下的应力和变形;最后,由叠加原理可得到杆在组合变形下的应力和变形。回顾杆件在基本变形时应力情况：拉伸和压缩：FFmmσ=FN/A应力均匀分布FFNσ扭转：OrρdAτρdAMx沿半径线性分布Oττmax弯曲：yzyzM＝Mz

沿y方向线性分布如果有M=My作用。应力公式如何？应力又是怎么分布？yz常见的组合变形：斜弯曲(双向弯曲）拉伸（压缩）与弯曲组合偏心压缩（拉伸）弯曲与扭转组合组合变形的一般情况为什么没有与剪切组合？§9-2斜弯曲（双向弯曲）平面弯曲：对称截面；FOyz非对称截面。OyzAF斜弯曲：zyFo1.外力通过弯曲中心（或形心）；2.外力与杆件的形心主惯性平面不重合也不平行；3.梁变形后轴线不在形心主惯性平面内。——非对称弯曲AOyzF一、内力MyzMyMzA(y，z)xeoyzfcFxlFzFyyzyz二、横截面上的正应力A(y，z)xeoyzfcFxlFzFy——横截面上任一点的应力计算公式。+yz中性轴=yzyzA(y，z)xeoyzfcFxlFzFy三、中性轴的位置、最大正应力和强度条件中性轴上任一点（y0，z0）应满足：——中性轴方程（过截面形心的直线）设中性轴与水平对称轴z的夹角为α，则：②当Iy

=Iz

时，则α=。只发生平面弯曲，而不发生斜弯曲。yzαdb中性轴F注：①当Iy≠Iz

时，则α≠。斜弯曲时，中性轴与外力作用线不垂直。yz

对无凸角截面（如椭圆形），可按作图法确定最大正应力的点。

对有凸角的截面，最大正应力必出现在角点处。zyD1D2中性轴圆截面如何处理？yzzyMzMyM强度条件为：四、变形计算自由端截面的形心c

在xy

平面和xz

平面内的挠度分别为：A(y，z)xeoyzfcFxlFzFy设总挠度与y轴成β角注：当Iz≠Iy时，wc

与F作用方向不重合，但垂直于中性轴；当Iz=Iy时，wc与F方向重合。zyα中性轴Fβwc例1屋架桁条，l=4m,q=4kN/m,h=260mm,

b=140mm,

=

25o,[σ]=10MPa,校核其强度。ABlq解：＜[σ]2

hb1zy

例2：截面为25a号工字钢的悬臂梁，受竖向均布荷载q＝5kN/m,自由端受水平集中力F＝2kN作用。已知:E＝206GPa。试求：（1）梁的最大拉应力和最大压应力；（2）固定端截面和l/2截面上的中性轴位置；（3）自由端的挠度。yz解：1、固定端A,B两点为危险点。AB25a工字钢:Iz＝5023.54cm4，Wz=401.88cm3,Iy＝280.046cm4，Wy=48.283cm3。=±107.7MPa2mxyzqFyz2、3、25a工字钢:Iz＝5023.54cm4，Wz=401.88cm3,Iy＝280.046cm4，Wy=48.283cm3。=9.57mm固定端截面:α1=82.1°l/2截面:α2=86.0°2mxyzqF§9-3拉伸（压缩）与弯曲的组合

当杆受轴向力F和横向力q共同作用时，杆将产生拉伸（压缩）和弯曲组合变形。ABqFF

对于弯曲刚度EI较大的杆，由横向力引起的弯曲变形与截面尺寸相比很小，因此，由轴向力在弯曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计。M=FAx－qx2/2－FwFSMFNABqFFFAxwqAFwFAx附加弯矩

可分别计算由轴向力和横向力引起的正应力，由叠加原理进行叠加。在F

作用下，σ′=FN/A=F/A在q

作用下，σ″=－M（x）y

/Iz

x

截面上任一点A（y，z）的正应力为：σ=σ′+σ″=F/A－M（x）y

/IzzyhbA(y,z)（a）（b）xFqolA（y，z）x在F

作用下，σ′=FN/A=F/A在q

作用下，σ″=－M（x）y

/Iz

x

截面上A（y，z）的正应力为：σ=σ′+σ″=F/A－M（x）y

/Iz中性轴方程：F/A－M（x）y0

/Iz=0zyhb（a）（b）（c）（d）（e）

危险截面为固定端截面。危险点为截面上、下边缘处各点。=F/A±

Mmax

/Wzσmaxσmin强度条件为：例3：图示托架，F=45kN，AC为22a工字钢，[σ]=170MPa，试校核其强度。ADBCF30°3m1m解：1、求AC所受反力：FBD=120

kN，BCAFFByFBxFAyFAxFAy=15

kN，FBy=60kN，FAx=FBx=104kN2、作AC内力图104FN

(kN)M

(kN.m)45FBD104FN

(kN)M

(kN.m)4522a工字钢:满足强度要求由正应力强度条件§9-4偏心压缩（拉伸）xzyeA(yF,zF)F1、将F向形心

简化F，My=FzF

，Mz=FyF

，任一横截面上的内力都相同，任一横截面均为危险截面

当杆受到与其轴线平行但不与轴线重合的外力作用时，杆将产生偏心压缩（拉伸）。xyzFMzMyB(y,z)2、横截面上的正应力及其分布yzOD1D2.zy任一点的应力都是正应力——单向应力状态。中性轴xyzFMzMyB(y,z)i——惯性半径yzOD1D2.中性轴3、中性轴位置——中性轴方程yzayaz4、强度计算yzD1D2azay中性轴

对于有凸角的截面，最大正应力必出现在角点处。

对于无凸角的截面，最大正应力必出现在离中性轴最远的点。例4图示钻床，已知：F=15kN,偏心距e=0.4m,容许拉应力[σt]＝35MPa.求立柱直径d.FdeFdeFNMFN=F=15kNM=Fe=6kNm经试算：d=122mmFdeFNM5cm10cm10cmF=10kN例5一端固定并有切槽的杆。试求最大拉应力。解：梁发生拉伸弯曲组合变形显然，切槽处的横截面为危险截面。F向该截面形心C

处简化：FN

=F=10kNMz

=10×103×5×10-2=500N.mMy=10×103×2.5×10-2=250N.mA点拉应力最大。CAzyB§9-5截面核心yzayaz截距ay，az，随压力作用点yF，zF变化。当压力作用点离截面形心越远，则中性轴离截面形心越近。

当压力作用点离截面形心越近，则中性轴离截面形心越远。(yF,zF)中性轴截距:随着压力作用点位置的变化，中性轴可能在截面以内（穿过截面）、或与截面周边相切、或在截面以外。后两种情况下，横截面上就只产生压应力。在截面形心附近可以找到一个区域，当偏心压力作用在该区域内时，杆横截面上只产生一种性质的应力（压应力），这个区域称为截面核心。yzayazzyO123②③①ay1az1注：截面周边可以是凸的、凹的、空心的。但截面核心的形状一定是突的、实心的。zyhbABCD常见截面的截面核心：例6、求图示矩形截面的截面核心.截面的对称轴y、z就是形心主轴。以AB为中性轴①，在y、z轴上的截距分别为：同理，求得中性轴②与BC重合时，①1②2中性轴③与CD重合时，中性轴④与DA重合时，∵B点是中性轴①、②的公共点，过B点可作无数多条中性轴，将B点的坐标代入中性轴方程中：∴外力作用点由1沿截面核心边界移到2点时，（yF，zF）应满足以上方程，显然这是一个直线方程。zyhbABCD12①②3③4④同理，2、3、4点之间均由直线连接，其对角线长度分别为h/3和b/3。当轴向力作用在矩形截面对称轴上，且在“中三分点”以内时，截面上只产生一种应力。如混凝土的抗压性能比抗拉性能好得多，因此以上结论得到广泛应用。zyhbABCD12①②3③4④例7、求图示圆形截面的截面核心.圆形截面关于圆心对称，所以截面核心的边界也是一个圆，因此只需定核心边界的一个点。作A点的切线作为中性轴，它在y、z

轴上的截距为：圆截面的截面核心是直径为d/4的圆。d1①AOzy大致画出图示截面的截面核心的形状思考题：大致画出图示截面的截面核心的形状zyzy§9-6弯曲与扭转的组合ylaABCzF（a）ABFMx=Fa（b）（c）FlMzC1C2Aσ（e）C1C2τ（f）τσ（g）c1τσ（h）c2（d）MxFaτσ（g）c1τσ（h）c2例8一钢质圆轴，直径d=8cm，其上装有直径D=1

m,重为5kN

的两个皮带轮。已知A

轮上皮带拉力为水平方向，C

处轮上的皮带拉力为竖直方向。设钢的[σ]=170MPa

，试按第三强度理论校核该轴的强度。xyz解：将轮上拉力及自重向轮上简化。如图（b）ABCD12kN7kN5kN1.5kN.m1.5kN.m12.59.14.52.1（b）ABCD2kN5kN2kN5kNbba1.5kN.mMx（c）Mz1.5kN.m2.25kN.m（d）1.05kN.m2.1kN.m（e）My1、作内力图：（c）、（d）、（e）2、由内力图可见：B、C两截面为危险截面。ABCD12kN7kN5kN1.5kN.m1.5kN.m12.59.14.52.1（b）xyz1.5kN.mMx（c）Mz1.5kN.m2.25kN.m（d）1.05kN.m2.1kN.m（e）My（b）ABCD12kN7kN5kN1.5kNm1.5kN.m12.59.14.52.1xyz危险点在何处？yzMzMyMabtanα=Mz/Myaτσ（g）1.5kN.mMx（c）Mz1.5kN.m2.25kN.m（d）1.05kN.m2.1kN.m（e）MyABCD12kN7kN5kN1.5kN.m1.5kN.m12.59.14.52.1xyzα(f)＊组合变形的一般情况ABCFi`FnF1F2F1F2ABxzyoMyMxMzFyFzFxFx—轴向力（拉或压）Fy、Fz—剪力（忽略不计）Mx—扭矩My、Mz——弯矩（圆截面：My,Mz合成为M）yzF1F2xlTF3l例9图示圆杆，已知F1=200kN,F2=5kN,F3=5kN,T=8kN.m,l=1m,d=100mm,材料的容许应力[σ]=170MPa,试用第四强度理论校核强度。解：FN=F1=200kN,Mx=T=8kN.mMymax=F2×2l=10kN.m,Mzmax=F3×l=5kN.m＜[σ]yz