第三节典型环节的频率特性(第17,18,19讲)

04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering1自动控制原理

（第17讲）

§5.线性系统的频域分析与校正

§5.1频率特性的基本概念

§5.2幅相频率特性（Nyquist图）

§5.3对数频率特性（Bode图）

§5.4频域稳定判据

§5.5稳定裕度

§5.6利用开环频率特性分析系统的性能

§5.7闭环频率特性

04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering204二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering3频率特性小结频率特性与传递函数：幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering4典型环节G(s)=k比例环节G(s)=s微分环节积分环节一阶微分二阶微分惯性环节振荡环节G(s)=Ts+104二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering5§5.2幅相频率特性(Nyquist)（1）

§5.2幅相频率特性（Nyquist图）§5.2.1典型环节的幅相频率特性⑴比例环节⑵微分环节⑶积分环节⑷惯性环节04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering620854210.50惯性环节G(jω)G(s)=0.5s+11j01Im[G(jω)]Re[G(jω)]0°1-14.5°0.97-26.6°0.89-45°0.710.45 0.37 0.24 0.1-63.4°-68.2°-76°-84°04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering7§5.2幅相频率特性(Nyquist)（2）

§5.2.1典型环节的幅相频率特性证明：惯性环节的幅相特性为半圆（下半圆）04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering8§5.2幅相频率特性(Nyquist)（3）

幅相特性例3系统的幅相曲线如图半圆线，求系统的传递函数。由曲线形状有由起点：由j0：由j1：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering9§5.2幅相频率特性(Nyquist)（4）

⑸一阶复合微分不稳定惯性环节04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering10§5.2幅相频率特性(Nyquist)（5）

⑹振荡环节§5.2.1典型环节的幅相频率特性04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering11振荡环节G(jω)曲线（Nyquist曲线）0j104二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering12§5.2幅相频率特性(Nyquist)（6）

谐振频率wr

和谐振峰值Mr

例4:当，时04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering13§5.2幅相频率特性(Nyquist)（7）

幅相特性例5系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。由曲线形状有由起点：由j(w0)：由|G(w0)|：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering14§5.2幅相频率特性(Nyquist)（8）

不稳定振荡环节04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering15§5.2幅相频率特性(Nyquist)（10）

⑺二阶复合微分04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering16开环系统的幅相频率特性（1）

例6起点

终点低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering17[具有积分环节的系统的频率特性的特点]：频率特性可表示为：其相角为：当时，当时，

显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering18下图为0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统在低频和高频段频率特性示意图：（0型）（Ⅰ型）（Ⅱ型）低频段频率特性n-m=3n-m=1n-m=2高频段频率特性至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering19开环系统的幅相频率特性（2）

例704二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering20开环系统的幅相频率特性（3）

例8，画G(jw)曲线。解渐近线：与实轴交点：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering21典型环节相角小结(补充)G(s)=s微分环节积分环节一阶微分二阶微分惯性环节振荡环节G(s)=Ts+1G(s)=s1G(s)=Ts+11恒定正90o恒定负90o0o~+90o0o~-90o0o~90o~180o0o~-90o~-180o04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering22非最小相角环节相角小结G(s)=k(k<0)G(s)=-Ts+1G(s)=-Ts+11不稳定的不稳定的不稳定的不稳定的比例环节一阶微分惯性环节二阶微分振荡环节名称G(s)恒定-180o0o~-90o0o~+90o0o~-180o0o~+180o04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering23延迟环节（Nyquist图）10-104二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering24

可见，其幅频特性与惯性环节相同，而相频特性则大不一样，随着ω的增大，相角滞后越来越大。系统开环幅相曲线为一螺旋线。图中蓝色线所示是时滞的5阶pade近似。-1.5-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5延迟环节（TransportLag）

（Nyquist图）04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering25延迟环节取不同的k

[a,b]=pade(5,k),n=conv(8,a);d=conv([143],b);nyquist(n,d)04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering26开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图）

开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。

使用MATLAB工具绘制。

将开环系统的频率特性写成或 的形式，根据不同的算出或可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。（手工画法）。[绘制方法]：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering27[例5-1]设开环系统的频率特性为：试列出实频和虚频特性的表达式。当绘制奈氏图。解：当时，

找出几个特殊点（比如，与实、虚轴的交点等），可大致勾勒出奈氏图。为了相对准确，可以再算几个点。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering280-1.72-5.7700-0.7903.8510.80.20相角：-180-114.62-90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering29下图是用Matlab工具绘制的奈氏图。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering30[例5-2]设开环系统的频率特性为：试绘制极坐标特性曲线。[解]：[分析]1、当时，显然，当时，的渐近线是一条通过实轴点，且平行于虚轴的直线。2、与实轴的交点。令：，解得：，这时：3、当时，，渐近线方向向下。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering31本次课程作业5—1,2，4自动控制原理04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering32自动控制原理

（第18讲）

§5.线性系统的频域分析与校正

§5.1频率特性的基本概念

§5.2幅相频率特性（Nyquist图）

§5.3对数频率特性（Bode图）

§5.4频域稳定判据

§5.5稳定裕度

§5.6利用开环频率特性分析系统的性能

§5.7闭环频率特性曲线的绘制

§5.8利用闭环频率特性分析系统的性能

§5.9频率法串联校正

04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering330型、Ⅰ型和Ⅱ型系统在低频和高频段频率特性示意图：（0型）（Ⅰ型）（Ⅱ型）低频段频率特性n-m=3n-m=1n-m=2高频段频率特性至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。回顾04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering3404二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering35§5.2对数频率特性(Bode)（1)Bode图介绍04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering36§5.2对数频率特性(Bode)（2）Bode图介绍⑴幅值相乘=对数相加，便于叠加作图；纵轴横轴坐标特点特点按lgw刻度，dec“十倍频程”按w标定，等距等比“分贝”⑵可在大范围内表示频率特性；（低、中、高频）⑶利用实验数据容易确定L(w),进而确定G(s)。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering37更详细的刻度如下图所示ω１2345678910lgω0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.00004二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering38幅频特性：；相频特性：⒈比例环节：;对数幅频特性：相频特性：比例环节的bode图04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering39⒉积分环节的频率特性：频率特性：积分环节的Bode图可见斜率为－20/dec当有两个积分环节时可见斜率为－40/dec04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering40纯微分环节的波德图纯微分：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering41惯性环节的Bode图⒊惯性环节的频率特性：①对数幅频特性：，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：低频段：当时，，称为低频渐近线。高频段：当时，，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线(表示每增加10倍频程下降20分贝）。

当时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当时，趋近于高频渐近线。低频高频渐近线的交点为：，得： ，称为转折频率或交换频率。可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering42惯性环节的Bode图图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering43惯性环节的Bode图波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当时，误差为：当时，误差为：最大误差发生在处，为wT0.10.20.512510L(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04渐近线,dB0000-6-14-20误差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.0404二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering44

②相频特性：

作图时先用计算器计算几个特殊点：由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,-45°)点是旋转对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。惯性环节的波德图wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.404二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering45

对数频率特性(Bode)（3）

典型环节的Bode图与Nyquist图⑴比例环节⑵微分环节⑶积分环节⑷惯性环节04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering46⒋振荡环节的频率特性：讨论时的情况。当K=1时，频率特性为：振荡环节的频率特性幅频特性为：相频特性为：对数幅频特性为：低频段渐近线：高频段渐近线：两渐进线的交点称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering47相频特性：几个特征点：由图可见：对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,-90°)点是斜对称的。对数幅频特性曲线有峰值。振荡环节的波德图04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering48对求导并令等于零，可解得的极值对应的频率。该频率称为谐振频率。可见，当时，。当时，无谐振峰值。当时，有谐振峰值。谐振频率，谐振峰值当，，。因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering49振荡环节L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering50振荡环节再分析0dB20lgk[-40]?峰值-渐近线值04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering51振荡环节0dB[-40]0dB[-40]0dB[-40]0dB[-40]04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering52仿真(补充)04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering53振荡环节的波德图左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering54⒌微分环节的频率特性：

微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：微分环节的频率特性04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering55②一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为相频特性：几个特殊点如下相角的变化范围从0到。低频段渐进线：高频段渐进线：对数幅频特性（用渐近线近似）：一阶微分环节的波德图04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering56一阶微分环节的波德图04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering57幅频和相频特性为：③二阶微分环节：低频渐进线：高频渐进线：转折频率为：，高频段的斜率+40dB/Dec。相角：可见，相角的变化范围从0~180度。二阶微分环节的频率特性04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering58二阶微分环节的波德图04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering59⒍延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：延迟环节的奈氏图04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering60最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传递函数。

在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小，并且最小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具有内在的关系。

对最小相位系统：w=0时j

(w)=-90°×积分环节个数

；

w=∞时j

(w)=-90°×(n-m)

。

不满足上述条件一定不是最小相位系统。满足上述条件却不一定是最小相位系统。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering61最小相位系统和非最小相位系统例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering62最小相位系统和非最小相位系统设，可计算出下表，其中为对数坐标中与的几何中点。w1/10T11/T11/T210/T2j1(w)-5.1°-39.3°-54.9°-39.3°-5.1°j2(w)-6.3°-50.7°-90°-129.3°-173.7°j3(w)6.3°50.7°90°129.3°173.7°j4(w)5.1°39.3°54.9°39.3°5.1°j5(w)-5.7°-45°-73°-96.6°-578.1°04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering63由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中，当w从0变化至∞时，系统的相角变化范围最小，且变化的规律与幅频特性的斜率有关系(如j1(w)

)。而非最小相位系统的相角变化范围通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势不一致(如j4(w))。最小相位系统和非最小相位系统在最小相位系统中，对数幅频特性的变化趋势和相频特性的变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性的角度也随之增加或者减少），因而由对数幅频特性即可唯一地确定其相频特性。非最小相位系统则不然，在进行分析或综合时，必须同时考虑其幅频特性与相频特性。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering64非最小相位系统（Non-minimumPhaseSystem）-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1.5-1-0.500.511.5-1-0.500.5104二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering65最小相位系统非最小相位系统

两个系统的波德图比较04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering66奈氏图比较最小相位系统非最小相位系统04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering67⑴⑵⑶⑷最小相位系统和非最小相位系统04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering68

对于最小相位系统，幅值特性和相频特性之间具有唯一对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然；但是这个结论对于非最小相位系统不成立。

非最小相位系统情况可能发生在两种不同的条件下。一是当系统中包含一个或多个非最小相位环节；另一种情况可能发生在系统存在不稳定的内部小回路。

一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相位环节。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering69小结

比例环节和积分环节的频率特性惯性环节的频率特性—低频、高频渐进线，斜率-20，转折频率振荡环节的频率特性—波德图：低频、高频渐进线，斜率-40，转折频率微分环节的频率特性—有三种形式：纯微分、一阶微分和二阶微分。分别对应积分、一阶惯性和振荡环节延迟环节的频率特性04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering70绘制bode图开环系统频率特性为：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering71幅频特性：相频特性：且有：

由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。绘制bode图04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering72[例]：开环系统传递函数为：，试画出该系统的波德图。[解]：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。然后，在图上相加。绘制bode图04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering73

实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。

确定和各转折频率，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；

确定低频渐进线：

，就是第一条折线，其斜率为，过点（1，20logk）。实际上是k和积分的曲线。具体步骤如下：绘制bode图04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering74

高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。

相频特性还是需要点点相加，才可画出。遇到（一阶惯性）时，斜率下降-20dB/Dec;遇到（二阶惯性）时，斜率下降-40dB/Dec;

画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：遇到（一阶微分）时，斜率增加+20dB/Dec;遇到（二阶微分）时，斜率增加+40dB/Dec;绘制bode图04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering75100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]绘制的L(ω)曲线转折频率：0.5230斜率：-40-20-40[-20][-40]开环的L曲线绘制(P202)04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering76最小相位系统和非最小相位系统

例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec所以有一个积分环节；⒉在w=1处，L(w)=15dB，可得

20lgK=15，K=5.6⒊在w=2处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1)⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1)04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering77课程小结绘制开环系统Bode图的步骤⑴化G(jw)为尾1标准型⑵顺序列出转折频率⑶确定基准线⑷叠加作图基准点斜率一阶惯性环节-20dB/dec复合微分+20dB/dec二阶振荡环节-40dB/dec复合微分-40dB/dec第一转折频率之左的特性及其延长线⑸修正⑹检查①两惯性环节转折频率很接近时②振荡环节x(0.38,0.8)

时①L(w)最右端曲线斜率=-20(n-m)dB/dec②转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)③j(w)-90°(n-m)04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering78本次课程作业5—1,2,45（1，2），13自动控制原理04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering79自动控制原理

（第19讲）

§5.线性系统的频域分析与校正

§5.1频率特性的基本概念

§5.2幅相频率特性（Nyquist图）

§5.3对数频率特性（Bode图）

§5.4频域稳定判据

§5.5稳定裕度

§5.6利用开环频率特性分析系统的性能

§5.7闭环频率特性

04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering80回顾Bode图的特点低频渐进线、高频渐近线转折频率典型环节bode图二阶振荡环节的谐振频率谐振峰值最小相位系统定义及特点bode图绘制04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering81例04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering82[例]具有延迟环节的开环频率特性为：，试画出波德图。[解]：

可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering83系统类型与对数幅频特性的关系04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering84DeterminationofMinimum-PhaseTransferFunctionfromBodeDiagrams04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering85解：对数相频：相频特性的画法为：起始角，终止角，转折频率处的角。例：-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o对数幅频：低频段：20/s[-20]转折频率：