《概率论与数理统计》习题三答案-设二维随机变量(x,y)之欧阳引擎创编

227欧阳引擎创编227《概率论与数理统计》习题及答案

（2021.01.01习题三1将一硬币抛掷三次，以表在三次中出现正面的次数，以表示三次中出现正面次数出现反面次数之差的绝对值试写出Y的合分布律【解】Y的联合分布律如表：

C3

12

23

13/2

1222盒子里装有3只球、2只球、2只白球，在其中任取4球，以表取到黑球只数，以表取到红的只数求XY的联合分布律【解】Y的联合分布律如表：

P黑2红2白=1C2/435

C1C6322C7CC322C7

C33C7C3C47C33C7

C123C47C123C473.二维随机变量（X）的联合分布函数为欧阳引擎创编

F（xy=欧阳引擎创编F（xy=

ππxsiny0,0y其他求二维随机变量（XY）长方形域的概率πππP{0}公式3.2)46【解】图题说明：也可先求出密度函，再求概率。4.随机变量（X）的分布密度

πππxy43

内fxy=求：（1数A

)

y0,他（2机变量（，）的分布函数；（3{0，≤【解】）由

f(x)dxy

00

e

xy)

dxdy

A12

得（2由定义，有(3)

P{05.随机变量（X）的概率密度为fxy=

k(6),2,2y他（1定常数k（2{＜1Y3}欧阳引擎创编

欧阳引擎创编（3{<1.5}（4{+Y【解】）由性质有

故

18（2

P{X3}

f(yxP{

f(xd如图

f(xxd(3)

x

DP{4}

f(xd如图b

f(x,y)dx(4)

X

D题6.X和Y是个相互独立的随机变量，X在0，0.2上从均匀分布，的度函数为f（y=

y0,

y其他求：（1与Y联合分布密度；（）{≤}.题图【解】）因在，0.2上从匀布所X的度函数为而所以

f(x)dxy图

25e

xdy(2)

y

D7.二维随机变量（X）的联合分布函数为欧阳引擎创编

F（xy=0,F（xy=0,

x)(1),0,y0,他求（X）联分布密度.【解】

(x,))f(x,y)0,

x0,y他8.二维随机变量（X）的概率密度为fxy=求边缘概率密度.

4.8(20xy,0,他.【解】

f()f(yX题

题9.二维随机变量（X）的概率密度为efxy求边缘概率密度.

0其他【解】

f()X

f(y)dy题10.二随机变量（X）的概率密度为fxy=（1确定常数c（2边缘概率密度.

2y,2y0,其【解】）c得

214.

f(,y)dx如D

f(yxy欧阳引擎创编

(2)XYXY欧阳引擎创编(2)XYXY

f()

f(yy11.随变量（，）的概率密度为fxy=

y,x其求条件概率密度f

（yx，f（｜y.｜｜题11图【解】

f()X

f(y)dy所以12袋有个号码，2，4，中任取三个，记这三个号码中最小的号码为，最大的号码为（1与Y联合概率分布；（2Y是否互独立？【解】）XY的合布如下表X

Y

P{}iP}i

15

2511C3105

3522C3105C25

610110(2)因

P{{

61{Y3},101010010故X与Y独立13.设二维随机变量（，）联分律Y0.4

X

50.30欧阳引擎创编

iY欧阳引擎创编iY0.80.120.03（1求关于关于的缘分布；（2Y是相互独立？【解】）X和的边缘分布如下表

0.40.8P{X}i

20.2

5

8

{}0.80.2(2)因

{P{Y0.4}0.20.80.15Y0.4),故X与Y独立14.X和是个互立随变量，（，1上服从均匀分布，Y概率密度为f（y=

e/

,

0,其他（1求Y的合概率密度；（2设有的次方程为a2+2，求a实根的概率【解】）因

0f(x)X0,其他

yeyf(y)0,他.故

f(,yY立f)f()

/

x0,其(2)方a

题14图有实根的条件是故

X

2从而方程有实根的概率为欧阳引擎创编

Zii欧阳引擎创编Zii

15.X和Y分表两个不同子器件的寿命（以小时计），并设Y相独立，且服从同一分布，其概率密度1000,x1000,x20,其他.fx=求ZX/Y的率密度.XF(){}{}Y【解】图Z的分函数(z)(1)当z≤0时Z（20<<1，（这时当x=1000y题15图

1000z

）(图a)(3)当z≥1时（这时当=103

时，x=10z（如图）即

1,zf(z),0他2f(z)其故

16.设种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服

N（，20

2分布.机地选取4只，求其中有一只寿命小于180的概【解】这只寿命为X(i，~（160，2，欧阳引擎创编

1n12n12n1n11n12n12n1n12nn

17.X是互独立的随机变量，其布律分别为P{=}=pk，k，1，，…，P{=r}=qr，r，2，….证明随机变量=+Y的布律为P{=i}=

ik

p)(i

，i，，2….【证明】XY所可能值都是非负整数，所以于是18.X是互立的随机变量，它们都服从参数为np的二项分布.明Z=X+Y服参数为2np的项分布.【证明】法一：+Y可取值为0，，…，n方法二：设μμ,…,;′,，′均服从两点分布（参数为p，则Xμ++…+，μ′+μ′+μ′,Xμ+…++μμ′,所以，X+Y服参数为（n,)二项分布19.随变量（，）的分布律为

5X0.010.030.070.090.020.040.060.080.030.050.050.050.020.04(1)求{｜，{=3=0}；欧阳引擎创编

欧阳引擎创编（2=maxX，）的分布律；（3U（XY的分布律；（4WX+Y分布

【解】）

P{Y

P{2}P{Y（2

P{}{max()}{Y}{X}所以分布律为VX)0P0

(3)

PU},Y}于是U=min(,)P

类上过，0P0

雷的圆形屏幕半径为，目出现点（，Y在幕服从均匀分布.（1{＞0＞X}（2）=max{XY}求{M0}.题20【解】（，）的联合概率密度为（1

P{Y|YX}

P{Y}P{YX}(2)

P{M{max(X)0}{max(X)21.平面区域D由线y=1/及线y=0x=1,x=e2

所围成，二维随机变量（X，）区D上从均匀分布，求欧阳引擎创编

123i12j1111111,3欧阳引擎创编123i12j1111111,3

（X）关于的缘概率密度在x处值为多少？题21【解】域D的面积为

0

e1

1

dxlnx

e1

（X,Y的合密度函数为（X）于X的缘密度函数为所以

1f(2)4随机变量X和Y互独立，下表列出了二维随机变量（X）合布及关于X和的缘分布律中的部分数值试将其余数值填表中的空白X

y

P{=}=

ixxP{y}=p

j

1/81/6

1/8

【解】因

2P{y}PP{xY}jjiji

故

P{Yy}{xYy}{X,},11从而

111P{xY}624而Y独，故

{Xx}P{}P{x,Yy}ijii

从而即：

11P{x}P{xY}6111P{x}/244又

P{x}{Xx}{Xxy}{X,Y},11111{Y},即48欧阳引擎创编

2222欧阳引擎创编222213P{x,Y}从而

112

.

同理

1Py}P{xY}2又

j

P{y}j

故

1P{Y}6同理从而故

3P{x}.4

y1

y

2

y3

{X}ii

124

18

112

14x

2

14

34{Y}pj

j

16

12

13

23.某车起点站上客数从参数为λ(λ>0)松分布，每位乘客在中途下车的概为p（0<<1，且中途车与否相互独立，以Y示在中途下车的人数，求：1在车时有个客的条件下，中途有人车的率；（2二维随机变量（，）的概率分布【解】(1)

P{m|}

p(1)

,0,

{Y}{}P{mX}(2)24.随变量独，其中X概率分布为X

0.7

，而Y的率度为f)求随机变量UX+Y的率度g(u欧阳引擎创编

欧阳引擎创编

【解】Fy是的布函数，则由全概率式，知U=的分布函数为由于独立，可见由此，得U的率度为设随机变量X与Y相独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求{max{X,Y}1}.解因随变服[03]上均匀分布，于是有因为XY相独立，所以推得

P{max{,}

19二随机变量（，Y的率分布为

X

01

0.20.10.20.1其

ab,c

为常数，且

X

的数学期望EX

P{≤0|X，X+Y求：（1）abc值；（2）的率布（3）{Z}.解由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=1

即a+b+c0.4.由

(X)

，可得

欧阳引擎创编

欧阳引擎创编

再由

PY