第三章 参数估计-4

周圣武数理统计Tel-mail:zswcumt@163.com中国矿业大学理学院记为定义

设X1,X2,…,Xn

相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量所服从的分布为自由度为

n

的分布.分布1.抽样分布复习记作T～t(n)。所服从的分布为自由度为n的t分布.设X～N(0,1),Y～则称变量,且X与Y相互独立，2.t分布设X与Y相互独立，则称服从自由度为3.F

分布n1及n2的F分布，记作F~F(n1,n2)。

定理1设X1,X2,…,Xn

是取自正态总体的样本，分别为样本均值和样本方差，则有⑴⑵⑶相互独立定理2

设总体X

服从正态分布是X的样本，分别为样本均值和样本方差，则有⑴⑵

定理3设X1,X2,…,Xn1与Y1,Y2,…,Yn2分别是来自正态总体的样本，并且这两个样本相互独立，记则有⑴⑵当时其中估计湖中鱼数的问题，若根据一个实际样本，得到鱼数N的最大似然估计值为1000条。Question:

这个数是湖中鱼数的真值吗？湖中鱼数的真值[]=>希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.§3.4区间估计这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的习惯上把置信水平记作，这里

是一个很小的正数.的，称为置信概率、置信水平或置信度。定义

设θ是总体X的一个未知参数，X1,X2,…,Xn

为X的样本，若对于事先给定的一个数α，0<α<1,存在两个统计量使得则称是一个随机区间；给出该区间含真值θ的可靠度；注意：α表示该区间不包含真值θ的可能性。为θ的置信区间，1－α为置信水平。通常,

采用95%置信水平,有时也取99%或90%.即置信水平为这时重复抽样100次,则在得到的100个区间中包含真值的有95个左右,不包含真值的有5个左右。例

若例1设x1,x2

,

…,x10是来自N(,

2)的样本，则的置信水平为1-的置信区间为

其中，s分别为样本均值和样本标准差。这个置信区间的由来将在后面说明，这里用它来说明置信区间的含义。若取

=0.10，则t0..95(9)=1.8331，上式化为

现假定=15,

2=4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：

14.8513.0113.5014.9316.9713.8017.9513.3716.2912.38

由该样本可以算得从而得到的一个区间估计为该区间包含的真值15。现重复这样的方法100次，可以得到100个样本，也就得到100个区间，我们将这100个区间画在图上。由图上可以看出，这100个区间中有91个包含参数真值15，另外9个不包含参数真值。取=0.50，我们给出100个这样的区间。可以看出，这100个区间中有50个包含参数真值15，另外50个不包含参数真值。

计算置信区间的一般步骤：⑴由样本X1,X2,…,Xn构造一个样本函数

其中只含有未知参数θ⑵对于给定的置信水平1－α，找a,b,使得(3)解不等式由此可得θ的置信水平为1－α的置信区间§3.5

正态总体均值与方差的区间估计设X1,X2,…,Xn为总体N(μ,σ2)的一个样本，在置信水平1－α下，确定μ和σ2的置信区间。设已知方差且是的一个无偏估计量；⑴已知方差，估计均值μ又1.单正态总体均值与方差的区间估计对于给定的置信度查正态分布表，找出临界值使得由此可找出无穷多组通常我们取对称区间使得由上分位点的定义

对于给定的有所以μ的置信水平为1-α的置信区间为简记为例

若取查表得值算得样本均值的观察值则得到一个置信度为0.95的μ的置信区间，若由一个样本注：

μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。

上例中同样给定,可以取标准正态分布上α分位点-Z0.04和Z0.01，则也有则μ的置信度为0.95的置信区间为但对称时的区间长度最短。像N(0,1)分布那样概率密度的图形是单峰且对称的情况。当n固定时,以的区间长度为最短，若L为区间长度，则可见L随n

的增大而减少（α给定）.例1已知幼儿身高（cm）服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120，131,115,109,115,115,105,110假设总体的标准差为7，置信度为95%;试求总体均值μ的置信区间。解已知由样本值算得：查正态分布表得，由此得置信区间设总体问需要抽取容量为多大的样本,才能使的置信水平为0.95的置信区间的长度不大于0.49?解

设需要抽取容量为n的样本,其样本均值为查表得于是μ的置信水平为0.95的置信区间为该区间长度例2解得取⑵方差未知，估计均值μ因为的无偏估计。而选取样本函数对于给定的查t分布表，得临界值使我们取对称区间可用样本方差：所以μ的置信区间为简记为用仪器测量温度,重复测量7次,测得温度分别为:115,120,131,115,109,115,115;设温度在置信度为95%时,试求温度的真值所在范围。例3查表得已知由样本值算得解设μ是温度的真值，X是测量值所以置信区间为例4对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验,测得最大飞行速度(单位:米/秒)为422.2,417.2,425.6，420.3,425.8,423.1,418.7,438.3,434.0,412.3,431.5，413.5,441.3,423.0,428.2根据长期经验,可以认为最大飞行速度服从正态分布.求飞机最大飞行速度的期望值的置信水平为0.95的置信区间。解

以X表示该飞机的最大飞行速度,则查表得由于总体方差未知,因此的置信水平为0.95的置信区间为:由⑶方差的置信区间（均值μ未知）X1,X2,…,Xn为总体的一个样本我们知道是的无偏估计并且样本函数：找使概率对称的区间由于分布不对称性，即由分布表的构造置信区间即标准差σ的一个置信水平为的置信区间注意：在密度函数不对称时，如习惯上仍取对称的分位点，但其置信区间的长度并不最短。例6

某自动车床加工零件，抽查16个测得长加工零件长度的方差。解

先求σ2的估计值度（毫米），怎样估计该车床查表所求σ2的置信度为0.95的置信区间例7

假设总体信区间。的样本为，求未知，X的置信度为95%的置解⑴μ的置信区间为⑵σ2的置信区间为所以σ2的置信区间为2.双正态总体参数的区间估计设X1,X2,…,Xn1为总体的一个样本，Y1,Y2,…,Yn2为总体X与Y相互独立。的一个样本,（1）的置信区间①均为已知,且是的一个无偏估计，因为X与Y相互独立,所以所以的置信水平为1-α的置信区间为②未知所以的置信水平为1-α的置信区间为（2）的置信区间所以的置信水平为1-α的置信区间为3.非正态总体参数的区间估计（1）指数分布参数的区间估计（2）二项分布参数的区间估计（3）一般分布参数的区间估计（应用中心极限定理进行转换）在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。一个典型的例子是关于(0-1)分布中比例p的置信区间。(0-1)分布参数的区间估计设x1,…,xn是来自b(1,p)的样本,有其中=z2/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为对给定

，1.对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p的0.95置信区间。答案（0.218，0.382）2.某传媒公司欲调查电视台某综艺节目收视率p，为使得p的1-置信区间长度不超过d0，问应调查多少用户？

答案练习P69：15~20练习题1.设总体X的概率密度为X1,X2,…,Xn为X的样本。（1）求参数θ的矩估计量和最大似然估计量；（2）判断θ的最大似然估计量是否是θ的无偏估计；（3）判断θ的最大似