第七章弯曲变形

§7-1

工程中的弯曲变形问题§7-2

梁的挠曲线近似微分方程§7-3

用积分法求弯曲变形§7-6

简单静不定梁§7-5

梁的刚度校核

§7-4

用叠加法求弯曲变形第七章弯曲变形7.1工程中的弯曲变形问题

梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。一、梁的变形二、工程实例实例一：起重机大梁实例二、机床摇臂7.2梁的挠曲线近似微分方程

梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿x轴方向的直线变成一条在xy平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。

某截面的竖向位移，称为该截面的挠度。

某截面的法线方向与x轴的夹角称为该截面的转角。

挠度和转角的大小和截面所处的x方向的位置有关，可以表示为关于x的函数。挠度方程（挠曲线方程）转角方程一、挠度和转角挠曲线挠度转角挠度和转角的正负号规定在图示的坐标系中，挠度w

向上为正，向下为负。转角规定截面法线与x

轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角q为正。挠度和转角的关系在小变形假设条件下挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角二、挠曲线近似微分方程

横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。高等数学公式在梁小变形情况下，7.3用积分法求梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁EI为常数）再进行一次积分,可得到挠度方程其中，C和D是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。一、边界条件在约束处的转角或挠度可以确定二、连续条件在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n段积分，则要出现2n个待定常数，总可找到2n个相应的边界条件或连续条件将其确定。例题7-1

如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角和挠度。

解：（1）按照图示坐标系建立弯矩方程

（2）挠曲线近似微分方程（3）积分（4）确定积分常数由边界条件代入上面两式（5）列出转角方程和挠曲线方程，将C、D的值代入方程（6）求B点的挠度和转角在自由端，x

=l例题7-2

如图所示，简支梁受集中力F作用，已知EI为常量。试求B

端转角和跨中挠度。解：（1）求约束力FAFB（2）列出弯矩方程AC段CB段（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算AC段CB段利用边界条件和连续条件确定四个积分常数AC段CB段边界条件:连续条件:由于挠曲线在C点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角和挠度应相等。即得：得到转角方程和挠度方程AC段CB段（5）求指定截面处的挠度和转角若7.4用叠加法求梁的弯曲变形

在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。例题7-3

求图中所示梁跨中点的挠度及A点的转角。已知，梁的抗弯刚度EI为常数。

用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查表。查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一对应。解：=+例题7-4

如图，梁的左半段受到均布载荷q的作用，求B

端的挠度和转角。梁的抗弯刚度EI

为常数。考虑其变形:

由于CB段梁上没有载荷，各截面的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生变形，即C’B’仍为直线。根据几何关系可知：由于在小变形的假设前提下查表:代入上面的计算式解：例题7-5求图所示外伸梁的C截面的挠度转角。EI为常数。怎样应用表7-1中已有的结果？

对梁进行分段刚化，利用受力与变形等效的原则来处理

首先刚化AB段，这样BC段就可以作为一个悬臂梁来研究，

再刚化BC段，由于BC段被刚化，可将作用于BC段的均布载荷简化到B支座，得到一个力和一个力偶

力F直接作用于支座，对梁的变形没有影响，力偶M引起简支梁AB的变形，同样，段上的均布载荷也将引起AB段变形，一、梁的刚度条件

对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(stiffnesscondition)：式中，l为跨长，为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，[q]为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。7.5梁的刚度校核二提高梁的刚度的措施(1)增大梁的弯曲刚度EI

由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E≈210GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。

跨长为l的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为(2)

调整跨长和改变结构的体系

如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为(a)而此时外伸端D和E的挠度也仅为

所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。7-6

简单静不定梁一、基本概念超静定梁：梁的约束力数大于有效平衡方程数。多余约束：多余维持平衡所必须的约束。超静定次数：等于多余约束或多余约束力的数目。二、求解方法1.解除多余约束，选取静定基，建立相当系统。2.比较变形，列变形协调条件。3.由物理关系建立补充方程。4.利用静力平衡条件求其它约束力。静定基：将超静定结构变成静定结构时的相当系统。解求梁的约束力，梁的抗弯刚度为EI。1）判定超静定次数，选取静定基

在梁的A和B处各有3个和1个约束力，独立平衡方程数等于3，所以是一次超静定问题。选取静定基如图(b)