气体分子运动分布规律

分子动理学理论的平衡态理论第二章

目录§2.1概率论基础知识§2.2麦克斯韦速率分布§2.3玻尔兹曼分布律§2.4能量均分定理一、统计规律伽尔顿板实验小钉等宽狭槽小球落在哪个槽是偶然事件大量小球一个一个投入或一次投入，分布情况大致相同§2.1概率论基础知识说明：某次测量值与统计平均值之间总有偏离----涨落(起伏)现象构成整体偶然事件数量越大，涨落现象就越不明显在一定的条件下，大量的偶然事件存在着一种必然规律性----统计规律

二、概率简写为概率:在一定条件下，某偶然事件出现的可能性的大小设N为实验总次数，Ni为事件i出现的次数，则

对n件事件：----归一化条件任一事件的几率满足三、概率的运算性质1.加法法则N个相互排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。2.乘法法则相互独立事件同时或依次发生的概率是各独立事件发生概率之积。

四、统计平均值随机变量u的值为ui的概率为Pi，则u的平均值为f(u)

为随机变量u的函数，则f(u)和g(v)分别为互相独立的随机变量u和v的函数，u取ui的概率为Pi，v取vj的概率为Pj，则五、概率分布函数平均值归一化条件多个变量？随机变量在值x附近单位区间的概率。一、气体分子速率及速度分布函数速率分布函数：速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比即§2.2麦克斯韦速率分布归一化条件速度分布函数：速度在（vx,vy,vz）附近单位速度区间内的分子数占总分子数的百分比即归一化条件速度分量分布函数：a方向速度分量在va附近单位区间内的分子数占总分子数的百分比即归一化条件二、麦克斯韦速度分布定律假设1：平衡态下，气体分子速度三个方向分量彼此独立假设2：速度分布各向同性，与速度方向无关两边对vx求导：两边同时除以f2(v2)：得到：C为积分常数。C的确定：利用归一化条件求得到b的确定：利用理想气体平均动能理想气体分子平均动能：根据速度分布求得：麦克斯韦速度分布函数：速度分量的分布函数：

三、麦克斯韦速率分布定律----麦克斯韦速率分布函数1859年麦克斯韦从理论上导出平衡状态下气体分子速率分布函数麦克斯韦速率分布曲线说明：麦克斯韦速率分布适用于平衡态气体；f(v)只受温度T和分子质量m的影响；f(v)取极大值时对应单位速率称为最概然速率；麦克斯韦分布律是统计规律，存在涨落。

四、气体分子的三种速率1.最概然速率vp：与f(v)的极大值对应的速率令

2.平均速率3.方均根速率f(v)vT1T2[例]图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？解：(1)T1<

T2(2)绿：氧黄：氢[例]比较下列各气体在大气中(290K)的逃逸能力：H2,

He,

H2O,N2,O2,Ar,CO2.解：得:H2,

He,

H2O,N2,O2,Ar,CO2.km/s:1.901.340.630.510.480.420.41所以，脱离地球的逃逸速度11.2km/s.分别计算各气体的均方根速度：将各气体的均方根速度与逃逸速度11.2km/s比较，大者容易逃逸。[例]有N个粒子，其速率分布函数为:C(vo>v>0)0(v>vo

)1、作速率分布曲线。2、由N和vo求常数C。3、求粒子的平均速率。4、求粒子的方均根速率。Cvovo解：1、处于v~v+dv速率区间的分子数dNdN=[例]有N个分子，其速率分布函数为:2、处于0~vP速率区间的分子数NN=3、求0~vP速率区间的分子平均速率：[例]有0oC平衡状态下的氧气，计算速率在300--310m/s区间内氧分子数的百分率解：速率区间较小，可用[例]利用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面积上器壁上的分子数。解：设有面元dS垂直于x轴，则速度处于v到v+dv区间，且在单位时间内能够碰撞到dS面的分子必然处于以dS为底，以v为棱的六面体中，其高为vx，体积为设单位体积内分子数为n，则单位体积内速度处于v到v+dv区间的分子数为取dS=1，则单位时间碰撞到单位壁面的速度处于v到v+dv区间分子数为每秒碰撞到单位面积上分子总数为五、分子速率分布的测定金属蒸汽胶片屏斯特恩实验（1920）----可通过两缝一.等温大气中分子数按高度的分布§2.3玻尔兹曼分布律z到z+dz高度单位面积上的气体受力平衡：z+dzz代入上式，得：n—分子数密度，m—单个分子质量分子数密度按高度的分布压强按高度的分布分子数按速度分布二.玻尔兹曼分布律分子数按空间分布同时考虑分子数按速度和空间的分布，将麦克斯韦分布做以下替换得到玻尔兹曼分布律波尔兹曼因子反映了平衡态系统中处于不同能量的粒子数的比例关系。说明：波尔兹曼分布对于处于任何保守立场中的任何物质微粒都成立。1908，佩兰三.举例：悬浮微粒按高度分布

分子动能§2.4能量均分定理平动动能=转动动能+振动动能+

一、自由度自由度：确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标的数目。火车：被限制在轨道上运动，自由度为1飞机：在空中飞行，自由度为3轮船：在一水平面上运动，自由度为2刚体的自由度刚体有6个自由度：3个转动自由度3个平动自由度刚体绕CA轴转动CA的方位其中两个是独立的确定C的位置问题：两个质点由刚性管连接，自由度为多少？2.两个质点由弹簧连接，自由度为多少？气体分子的自由度自由度平动转动振动总自由度单原子分子3003双原子分子3216多原子分子333N-13N能量均分定理：物质分子任一自由度的平均动能都相等，等于kT/2。自由度为

i

的分子，其平均动能为分子总动能=质心平动动能+转动动能+振动动能二、能量按自由度均分原理分子总能量=（质心平动动能+转动动能+振动动能）+振动势能单原子分子：双原子分子：

三、理想气体的内能对理想气体，可忽略分子间的相互作用力，则1mol理想气体的内能内能：组成物体的所有分子的能量和分子之间势能的总和。

----理想气体内能是温度的单值函数Mkg理想气体的内能[例]当刚性双原子分子理想气体处于平衡态时，一个分子的平均平动动能（）A．大于一个分子的平均转动动能B．小于一个分子的平均转动动能C．等于一个分子的平均转动动能D．与一个分子平均转动动能谁大谁小是随机变化的[例]两容积相同的容器中，分别装有氦气和氢气，其内能分别用E1和E2表示，若压强相同，则：AE1=E2；BE1>E2；CE1<E2；D无法确定解：（1）四、理想气体的热容热容：温度升高（降低）1℃，物体吸收（放出）的能量。比热容、摩尔热容说明：热容与过程有关。定容摩尔热容不同气体定容摩尔热容只与分子自由度有关。