第2章过程控制装置及系统设计期末

第2章被控对象动态特性

及实验测定李臻峰过程控制装置及系统设计22023/2/4教学目标（复习）

本章中需要了解认识过程控制调节对象特性的三个步骤： 对象特性的描述和建模以及各种特性的实验测定。 掌握机理建模法、系统辨识建模法、单容对象动态特性以及双容对象特性等内容。 实验测定方法中需要了解时域法、频域法的有关基础知识。

（复习拉氏变换：定义、单位脉冲、单位阶跃、单位斜坡函数；微分性质、积分性质）过程控制装置及系统设计32023/2/42.1调节对象动态特性定义（举例）一阶系统动态特性与基本参数

用一阶微分方程表述过程的输出(状态)变量的系统，称为一阶系统。设c(t)为输出变量，常见形式:

如果上式中c(t)和r(t)是相对于稳态值的偏差变量，则可得c(0)=0，r(0)=0，则一阶过程的传递函数为 如果输出变量的零阶导数项系数为零，则获得纯容量或者纯积分过程的传递函数为过程控制装置及系统设计42023/2/42.1调节对象动态特性定义纯容量过程的动态响应 在分析某一过程的动态响应时，通常是研究当过程输入变量发生阶跃变化时输出变量的响应。当输入变量发生单位阶跃变化时，输入变量的拉普拉斯变换容易求得为 从而可得

输出变量变化关系为

（拉氏逆变换） 上式表明，纯容量过程不具有自平衡性。过程控制装置及系统设计52023/2/42.1调节对象动态特性定义一阶系统的动态响应

当输入变量发生幅值为A的阶跃变化时，有 输出响应的拉普拉斯变换可求得为 输出变量变化关系为过程控制装置及系统设计62023/2/42.1调节对象动态特性定义

一阶系统动态响应的如下性质:(1)经过一定时间之后，一阶滞后系统可以达到一个新的稳态，即一阶滞后系统具有自平衡性。(2)在t=0时，响应曲线的斜率/p

假设过程状态的变化保持最初的变化速率，经过数值等于时间常数的时间后，过程状态可达到新的稳态值。系统的时间常数越小，过程达到新稳态所需时间越短。(3)输出变量的新稳态值在经过无穷的时间后等于对于同样的输入阶跃变化量，稳态增益越小，所引起的输出稳态值变化量也越小。(4)当输入发生阶跃变化后，需要经过一定时间输出才能达到其新稳态值，该系统具有滞后的特性。

过程控制装置及系统设计72023/2/42.1调节对象动态特性定义二阶系统动态特性与基本参数

类似于一阶系统定义，过程的输出(状态)变量用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其标准形式如下式所示： 如果有

经拉普拉斯变换，可求得二阶系统的传递函数为过程控制装置及系统设计82023/2/42.1调节对象动态特性定义

和一阶系统一样，仍以输入单位阶跃变化来研究二阶系统动态响应。输入单位阶跃时，系统的拉普拉斯变换为 该系统输出动态响应的情况较复杂，分为三种情况讨论。1. 过阻尼响应 当时，二阶系统响应为过阻尼，系统响应呈S形，动态响应结果为（cosh、sinh去掉h）过程控制装置及系统设计92023/2/42.1调节对象动态特性定义（各项意义）2. 临界阻尼响应 当时，二阶系统响应为临界阻尼，动态响应结果为 临界阻尼响应的速度比二阶过阻尼系统要快，达到新稳态值需要的时间比过阻尼系统要短。3. 欠阻尼响应 当时，二阶系统响应为欠阻尼响应，动态响应为 其中过程控制装置及系统设计102023/2/42.1调节对象动态特性定义(复杂，时域转频域必要)高阶系统动态特性 过程传递函数分母多项式是关于s的N(N>2)次多项式的系统是N阶系统，又称为高阶系统。典型的无逆向影响的N个贮槽串联系统总传递函数为 (L改为…)该多容量串联系统，有如下响应特性。(1)系统都有过阻尼响应特性，响应曲线呈s形。(2)同为无逆向影响或有逆向影响的串联系统，串联的容量数越多，阻尼越大，响应越缓慢。(3)相同容量数的串联系统，由于逆向影响会使系统响应的阻尼增大，所以响应相对迟缓。过程控制装置及系统设计112023/2/42.2调节对象的数学描述

控制系统的数学描述在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学描述，然后才可以对系统进行模拟。 同样，只有在了解系统的描述的前提下，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，实现实际工程目标。 系统描述一般采用微分方程、传递函数和状态方程等数学描述形式。过程控制装置及系统设计122023/2/42.2调节对象的数学描述微分方程描述 一般来讲，利用机械学、电学、力学、热学等物理规律，可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言通常是一种常系数的线性微分方程。 从输入端开始，依次写出控制系统中各元件的微分方程，选定系统的输入量输出量，将各元件的微分方程联立起来，得到的输入量和输出量之间的关系，就是控制系统的微分方程。过程控制装置及系统设计132023/2/42.2调节对象的数学描述传递函数描述

传递函数定义为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 传递函数描述是调节对象描述中比较通用的方法，又称为系统的外部描述，假设线性定常系统由n阶线性微分方程描述，则在零初始条件下，对微分方程进行拉氏变换，则由定义可得线性定常系统传递函数为过程控制装置及系统设计142023/2/42.2调节对象的数学描述状态方程描述 与传递函数相对的描述方法为系统内部描述的状态方程形式 其中A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵，D为前馈矩阵。过程控制装置及系统设计152023/2/42.2调节对象的数学描述零、极点增益描述 零极点描述实际上是传递函数描述的另一种表现形式。对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，然后获得系统的零点和极点的表示形式即可实现该描述。其描述形式为 其中K为零极点增益。过程控制装置及系统设计162023/2/42.2调节对象的数学描述部分分式描述 最后一种形式为部分分式形式过程控制装置及系统设计172023/2/42.3数学描述的转换数学描述转化函数 各种数学描述之间并不是独立的，而是相互关联的。MATLAB可以方便快捷的实现过程数学描述的相互转换：residue：传递函数描述与部分分式描述互换ss2tf：状态空间描述转换为传递函数描述ss2zp：状态空间描述转换为零极点增益描述tf2ss：传递函数描述转换为状态空间描述tf2zp：传递函数描述转换为零极点增益描述zp2ss：零极点增益描述转换为状态空间描述zp2tf：零极点增益描述转换为传递函数描述过程控制装置及系统设计182023/2/4过程控制装置及系统设计192023/2/42.4建立数学模型的方法数学模型特点模型的逼真性和可行性模型的渐近性模型的可转移性模型的强健性模型的条理性模型的非预制性过程控制装置及系统设计202023/2/42.4建立数学模型的方法模型的局限性由于模型是现实对象简化、理想化的产物，建模所获得的结论的通用性和精确性只是相对的和近似的不少实际问题由于人们认识能力和科学技术包括数学本身发展水平的限制很难得到有实用价值的数学模型，还必须借助于其他手段才能认识这些问题（炼铁专家系统）还有些领域问题今天尚未发展到用建模方法寻求数量规律的阶段过程控制装置及系统设计212023/2/42.4建立数学模型的方法为了深入地了解建立数学模型的途径，需要考虑一下建模活动的信息源目标和目的：同一个实际系统往往存在多个研究对象，不同的研究对象有不同的建模过程的方向。研究过程中通过将现实系统分成被作用部分和作用部分(用输入变量或边界条件来表示)。先验知识：相同的或相关的过程可能已经被建模者为了类似的目的而进行过分析，所以建模通常是基于已有的相似模型进行开发，以往的研究结果可以成为后来研究者为解决某个问题而进行研究的起点。试验数据：必要的定量观测是解决建模的另一个途径，因为可以获得一定的试验数据，为建模提供数据支持。过程控制装置及系统设计222023/2/42.4建立数学模型的方法

获得了建模的信息源，通过一定的方法就可以建立过程的数学模型。建立数学模型的方法主要有机理演绎法系统辨识法混合建模法过程控制装置及系统设计232023/2/42.4建立数学模型的方法机理建模法 研究对象物理化学性质和运动规律可以较为真实的反映对象特性，所以以它们为基础进行的建模是比较可行的方法，这种方法统称为机理演绎法。

能量平衡关系物料平衡关系动量平衡关系化学反应规律电路电子原理

另外，该方法对于不允许进行实验的场合而言是一种可取的建模方法。 该方法的不足之处在于对系统进行的集中参数和线性假设，所以建立的模型具有一定的局限性。过程控制装置及系统设计242023/2/42.4建立数学模型的方法系统辨识法 系统辨识法以黑箱模型为研究对象，在输入不同信号时，研究对象的输出响应信号与输入激励信号之间的关系，从而建立研究对象的数学模型。阶跃扰动法矩形脉冲法周期扰动法在线辨识过程控制装置及系统设计252023/2/42.4建立数学模型的方法混合建模法 在实际应用时，两种方法是交替混合使用的。 着手建立针对新的问题的模型时，一般的步骤是先建立一个比较简化的机理模型，对它进行初步的了解和研究。然后再建立一个比较完善的数学模型，进行比较全面和精确的研究。 一般经验告诉我们，最好是机理建模与系统辨识建模相互补充和完善。过程控制装置及系统设计262023/2/42.5单容水位对象的动态特性和数学描述

以单容水槽水位调节对象为例，分析其动态特性和数学模型。（假设调节阀2不动）

图中各个参数定义如下：Q1为输入水流量；Q10为输入稳态水流量；Δ表示某物理量的增量；Q2为输出水流量，Q20为输出稳态水流量，h为稳态水位；V水槽中储存水的体积；A为水槽的横截面积。过程控制装置及系统设计272023/2/42.5单容水位对象的动态特性和数学描述

由物料平衡关系知，正常工作状态下的稳态方程式为： 动态方程为

是流体储存量的变化率，与被调水位h间的关系是 整理得

其中，Q1只决定于调节阀1的开度。过程控制装置及系统设计282023/2/42.5单容水位对象的动态特性和数学描述

假定Q1的变化量ΔQ1是调节阀1的开度的变化量Δμ1的Ku倍，即 输出水流量Q2随水位变化，二者的变化量之间的关系为 其中，Rs为液阻，近似为常数。 变量用额定值和增量的形式表示得（第二个为+号）过程控制装置及系统设计292023/2/42.5单容水位对象的动态特性和数学描述(ΔA)

得到增量表示的微分方程式（F=A） 进一步合并整理得 化为标准表达式为 进行拉普拉斯变换得单容水槽水位调节对象的数学模型为过程控制装置及系统设计302023/2/42.5单容水位对象的动态特性和数学描述有自衡能力的对象 有自衡能力对象的动态特性满足以下条件。稳态时Q1=Q2，Q1突然增大时液位上升，Q2也逐渐增大；当Q1=Q2时，新平衡建立在新的液面高度上，在这个过程中液位高度为被调量。 自衡特性有利于控制，在某些情况下，使用简单的控制系统就能得到良好的控制质量，甚至有时可以不用设置控制系统。过程控制装置及系统设计312023/2/42.5单容水位对象的动态特性和数学描述无自衡能力的对象 实际生产过程中无自衡特性被控对象也广泛存在 泵出口流量Q2不随液位而变化，动态描述方程为 若水槽的流入量突然有一个阶跃变化，液位将随时间的推移上升，直至水槽顶部溢出，这就是无自衡特性。过程控制装置及系统设计322023/2/42.6多容对象的特性、容量滞后、纯滞后双容对象的特性 双容对象中被调量为第二个水箱水位，数学描述微分方程过程控制装置及系统设计332023/2/42.6多容对象的特性、容量滞后、纯滞后双容对象的有自衡响应 输入变量q1，输出变量q2，双容对象动态特性为 根据物料平衡关系，分别对水箱1和水箱2有： 此双容对象的动态特性为过程控制装置及系统设计342023/2/42.6多容对象的特性、容量滞后、纯滞后双容对象的无自衡响应（仅水箱2无自衡） 对于水箱1和水箱2分别有： 根据水箱1和水箱2特性，容易获得双容对象特性过程控制装置及系统设计352023/2/42.6多容对象的特性、容量滞后、纯滞后双容对象的扰动特性 平衡时 当输入出现扰动后，对于水箱1和水箱2： 整理得出现扰动后的特性为过程控制装置及系统设计362023/2/42.6多容对象的特性、容量滞后、纯滞后纯滞后

工业生产过程中最普遍而又最难控制的一类对象当属纯滞后。 为了解决纯滞后对象控制问题，工业上常用Smith预估器和PID调节器及其改进算法来控制纯滞后对象。Smith预估器具有控制精度高的特点，但由于只利用了被控对象时域中的输出信息，而没有充分利用滞后环节中的状态信息，所以其鲁棒性和抗干扰性差。 PID调节器鲁棒性较好，通常用于对控制精度要求不高的场合。过程控制装置及系统设计372023/2/42.6多容对象的特性、容量滞后、纯滞后容量滞后 容量滞后指被调量的变化速度并不是一开始就最大，而是要经过一段滞后时间，多容对象对于扰动响应在时间上存在滞后。 一般由于物料或能量的传递过程中受到一定的阻力而引起的，或者说由于容量数目多而产生的。 一般用容量滞后时间来表示其滞后的程度，其主要特征是当输入阶跃作用后，被控对象的输出变量开始变化缓慢，然后逐渐加快，接着又变慢，直至逐渐接近稳定值。

过程控制装置及系统设计382023/2/42.7调节对象特性的实验测定实验测定方法概述

由于工业对象内部的工艺过程往往比较复杂，机理分析等方法寻求对象的数学模型有一定困难，即使能得到对象的数学模型，仍需要通过实验方法来验证。 因此，实验法也是获得调节对象特性一种选择，特别是对于运行中的对象，用实验法测定其动态特性，是了解该类对象的比较简单可行的方法。过程控制装置及系统设计392023/2/42.7调节对象特性的实验测定实验测定的时域法

时域法的关键是求取对象飞升曲线或方波响应曲线。飞升曲线是在输入量作阶跃变化时测绘输出量随时间变化曲线得到的；同理，方波响应曲线是在输入量作一个脉冲方波变化时测绘输出量随时间变化曲线得到的。基于获得的特性曲线，可以分析获得相应的对象特性。 这种特性测定方法简单、应用广泛、测试工作量较小，缺点是测量精度不高。过程控制装置及系统设计402023/2/42.7调节对象特性的实验测定（计算）e=2.7182一阶系统的单位阶跃响应

当单位阶跃函数r(t)＝1(t)作为输入信号作用于一阶系统时，可得一阶系统的单位阶跃响应为(*1/T) 一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零，以指数规律上升到终值＝1的曲线。 非周期响应是一阶系统的单位阶跃作用的结果，具备如下两个重要特点1) 可用时间常数T去度量系统输出量的63.2％数值。根据这一特点，可用实验方法测定一阶系统的时间常数，或测定所测系统是否属于一阶系统。2) 响应曲线斜率初始值为1/T，随时间推移而下降。过程控制装置及系统设计412023/2/42.7调节对象特性的实验测定一阶系统的单位脉冲响应

当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于R(s)＝1，所以系统输出量的拉氏变换式与系统的传递函数相同，即

这时获得系统的脉冲响应，其表达式为过程控制装置及系统设计422023/2/42.7调节对象特性的实验测定一阶系统的单位斜坡响应

当输入信号为单位斜坡函数，可以求得一阶系统的单位斜坡响应(*1/T) 上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同。减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。由于系统存在惯性，c从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。过程控制装置及系统设计432023/2/42.7调节对象特性的实验测定一阶系统的单位加速度响应

当系统的输入信号为单位加速度函数t*t，可以求得一阶系统的单位加速度响应为 上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。过程控制装置及系统设计442023/2/42.7调节对象特性的实验测定实验测定的频域法

1.频域分析方法 这种分析方法通过给对象输入一种正弦波或近似正弦波，测出输入量和输出量的幅度比和相位差，从而确定其频率特性。 频域法在原理上和数据处理上比较简单，但测试需专门超低频测试设备和大量时间，工作量大。 2.频率特性基本概念 频率特性是频域分析法分析和设计控制系统时所用的数学模型，它的建立有三种方法：（基于系统的工作原理）应用机理分析法建立、通过系统的数学模型转换获得、用实验法确定。过程控制装置及系统设计452023/2/42.7调节对象特性的实验测定

下面讨论正弦函数作为输入信号对系统的作用（图中应为TS）。 对于上图所示的典型一阶系统，系统的闭环传递函数为 若输入为一正弦信号，即：r(t)=R0sinωt，则经拉氏反变换，得 系统的输出c(t)由两项组成：瞬态分量和稳态分量。过程控制装置及系统设计462023/2/42.7调节对象特性的实验测定

对于一个稳定的线性定常系统，在其输入端施加一个正弦信号时，当动态过程结束后，在其输出端必然得到一个与输入信号同频率的正弦信号，其幅值和初始相位为输入信号频率的函数。 对于一般线性定常系统，可列出描述输出量c(t)和输入量r(t)关系的微分方程： 传递函数过程控制装置及系统设计472023/2/42.7调节对象特性的实验测定

如果在系统输入端加一个幅值为R0，频率为ω的正弦信号，即 由于 可得 上式si为系统闭环极点，Ci、B、D为常数，对其进行拉氏反变换，可求得系统的输出稳态分量为过程控制装置及系统设计482023/2/42.7调节对象特性的实验测定

故稳态分量为

对于稳定系统，与典型一阶系统规律相同。瞬态分量随着时间的增长而趋于零，稳态分量CS(t)即为系统的稳态响应，可见系统的稳态响应为与输入信号同频率的正弦信号，定义该正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比为幅频特性A(ω)，相位之差为相频特性φ(ω)，则有: 过程控制装置及系统设计492023/2/42.7调节对象特性的实验测定

由频率特性定义，系统幅频特性和相频特性用复数表示 从上式中可以看出只要在传递函数中令s=jω即可得到频率特性。稳定系统的频率特性等于输出量傅氏变换与输入量傅氏变换之比。过程控制装置及系统设计502023/2/42.7调节对象特性的实验测定

对于不稳定的线性定常系统而言，正弦信号作用时，输出信号的瞬态分量和稳态分量始终存在，其瞬态分量不可能消逝，稳态分量无法观察到，但稳态分量是与输入信号同频率的正弦信号，可定义该正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比为幅频特性A(ω)，相位之差为相频特性φ(ω)。 据此可定义不稳定线性定常系统的频率特性。 由于系统不稳定时，瞬态分量不可能消逝，瞬态分量和稳态分量始终存在，所以不稳定系统的频率特性是观察不到的。过程控制装置及系统设计512023/2/42.7调节对象特性的实验测定

频率特性和传递函数、微分方程三种描述可以相互转化过程控制装置及系统设计522023/2/42.7调节对象特性的实验测定例2-1单位负反馈系统的开环传递函数为 若输入信号 试求系统的稳态输出和稳态误差。解： 正弦信号作用下，稳定的线性定常系统稳态输出和稳态误差也是正弦信号，利用频率特性求解。 控制系统的闭环传递函数为 对应的频率特性为过程控制装置及系统设计532023/2/42.7调节对象特性的实验测定

输入正弦信号的频率为=2，可算得： 即，，因此稳态输出为 在计算稳态误差时，可把误差作为系统的输出量，利用误差传递函数来计算，即：过程控制装置及系统设计542023/2/42.7调节对象特性的实验测定3.频率特性与时域响应的关系

要了解频域分析和设计方法需要首先了解系统的频率特性与时域响应之间存在的关系，因为这种关系是频域分析和设计方法的依据。 假定线性定常系统输入和输出均绝对可积，而且满足狄里赫利条件，则可求得其傅里叶变换为 当系统频率特性为，由频率特性定义可知 对上式进行傅里叶反变换，即可求得系统的时域响应。过程控制装置及系统设计552023/2/42.7调节对象特性的实验测定4.典型环节的频率特性

了解典型环节的特性对于线性定常系统非常重要。一般线性定常系统开环传递函数可看作是由典型环节串联而成的。这些典型环节包括：比例环节K；惯性环节1/(1+Ts)，T>0；一阶微分环节1+Ts，T>0；积分环节1/s； 本节着重研究这些典型环节的幅相曲线(极坐标图)和对数频率特性曲线(bode图)的绘制方法及其特点。过程控制装置及系统设计562023/2/42.7调节对象特性的实验测定1)比例环节 比例环节的传递函数为常数K，其频率特性为： 比例环节的幅频特性和相频特性的表达式为： 对数幅频特性和相频特性为：过程控制装置及系统设计572023/2/42.7调节对象特性的实验测定

比例环节幅相曲线和对数频率特性曲线如图所示幅相频率特性对数幅频相频特性曲线过程控制装置及系统设计582023/2/42.7调节对象特性的实验测定2) 惯性环节 惯性环节的传递函数为1/(1+Ts)，其频率特性为： 惯性环节的幅频特性和相频特性的表达式为： 惯性环节的对数幅频特性和相频特性为： 可以通过计算若干点的数值来绘制惯性环节的对数幅频特性和相频特性的精确曲线。过程控制装置及系统设计592023/2/42.7调节对象特性的实验测定

工程上，此环节的对数幅频特性可以采用渐近线来表示。定义ω1=1/T为交接频率，渐近线表示如下： 从渐近线的表达式可以看出，在时为一条0db的水平线；在时，与成线性关系，由于在伯德图中，横坐标是以线性分度的，故渐近线为一条斜率为-20db/(十倍频程)(记为-20db/dec)的直线(即ω每增加十倍，对数幅频特性下降20db)。过程控制装置及系统设计602023/2/42.7调节对象特性的实验测定

为方便起见，在的区段，以水平线作为惯性环节对数幅频特性曲线的渐近线（或近似曲线）；在的区段,以倾斜直线作为惯性环节对数幅频特性曲线的渐近线（或称近似曲线），两段渐近线在交接频率处相交。过程控制装置及系统设计612023/2/42.7调节对象特性的实验测定幅相频