平面问题的解法

平面问题的解法第一页，共二十页，2022年，8月28日(1)

位移法(DisplacementMethod):

将位移分量作为基本的未知量，从方程和边界条件中消去应力分量和应变分量,导出只包含位移分量的方程和边界条件,解这些方程得位移分量,然后再解应力分量和应变分量,这样的方法就称为位移法。(2)

应力法(StressMethod):将应力分量作为基本的未知量,从方程和边界条件中消去位移分量和应变分量,导出只包含应力分量的方程和边界条件,解这些方程得应力分量,然后再解应变分量和位移分量,这样的方法就称为应力法。(3)

混合法(MixedMethod):将一些位移分量和一些应力分量作为未知量,导出只包含这些分量的方程和边界条件,解这些方程得这些未知量,然后再求其它的未知量，这样的方法就称为混合法。求解弹性力学问题，就是寻求满足基本方程，同时又满足具体边界条件的应力、应变和位移。3.1弹性力学的求解方法第二页，共二十页，2022年，8月28日3.2位移法从物理方程(1.12)应力分量(2.16)(2.17)第三页，共二十页，2022年，8月28日将上式代入平衡方程(2.2):这就是按位移求解平面问题的基本方程。(2.18)第四页，共二十页，2022年，8月28日

边界条件：（1）用位移表示的应力边界条件：将Eqs.(2.17)代入Eqs.(2.15),可得（2）位移边界条件还用Eqs.(2.14):对于平面应变问题,要将上面公式中的E用代替,而μ用来代替.第五页，共二十页，2022年，8月28日假设有一个杆件如图所示,它的上端固定，下端自由,受重力fx

=0,fy=ρg作用,为了简化,将问题作为一维问题来处理,即令u=0,v=v(y),μ=0.这样(2.18)的第二式变为

解这个方程得

例题第六页，共二十页，2022年，8月28日(a)根据边界条件(b)(c)将(b)代入(a),得B=0,将(a)代入(2.17)的第二式,得A=ρgh/E.这样我们得到问题的解:第七页，共二十页，2022年，8月28日对于图b中的问题,可类似求出,这时,边界条件为:将边界条件代入(a)，得：将这个式代入(2.17)的第二式得：第八页，共二十页，2022年，8月28日3.3应力解法(2.20)第九页，共二十页，2022年，8月28日

将平衡方程写成将两式分别对

x和y求导联立第十页，共二十页，2022年，8月28日就得到用应力表示的相容方程

或

这里,▽2

代表Laplace算子对平面应变问题,将(2.21)中的μ变成

或(2.21)

(2.22)第十一页，共二十页，2022年，8月28日这样,按应力求解平面问题时,应力分量必须满足下列条件:（1）平衡方程（2）相容方程（3）边界条件第十二页，共二十页，2022年，8月28日

在很多工程问题中,体力是常量,也就是说,体力分量fx

和fy

不随坐标而改变.例如均匀物体的重力就是常量体力.在这种情况下,方程(2.21)and(2.22)的右边都为零,因此都变成:

可以看出,在常体力情况下,平衡方程(2.2)、应力边界条件（2.15),还有相容方程(2.23)都不包含任何材料常数，从而对两种平面问题都是一样的。因此,当体力为常量时,如果两个弹性体具有相同的边界形状,并受到相同分布的外力,那么,不管这两个弹性体的材料是否相同,也不管是平面应力还是平面应变,应力分量σx,σyandτxy

的分布是相同的(但应力分量σz、位移和应变不一定相同)。3.4应力函数(2.23)第十三页，共二十页，2022年，8月28日在体力为常量的情况下,应力分量σx,σy

和τxy

应该满足平衡方程和相容方程

(b)以及边界条件(a)第十四页，共二十页，2022年，8月28日首先考虑平衡方程。这是一个非齐次微分方程组，它的解包含两部分,一是任意一个特解;另外一部分是下列齐次微分方程的通解:其特解可以取为

(d)(c)第十五页，共二十页，2022年，8月28日问题是如何求通解,若设有函数

f=f(x,y),则有若函数CandD满足下列关系:那么,对照上式,一定存在函数f,使得第十六页，共二十页，2022年，8月28日将方程(c)的第一式重写为根据上述的微分理论,就一定存在着函数A(x,y),使得

(e)(f)同样,将方程(a)的第二个方程改写为:可见也一定存在某一函数B(x,y),使得

(g)(h)第十七页，共二十页，2022年，8月28日根据(f)和(h),我们得到因而又一定存在某一函数Ф(x,y),使得

(i)(j)将Eq.(i)代入Eq.(e),Eq.(j)代入Eq.(g)和Eq.(i)代入Eq.(f),即得通解:

(k)第十八页，共二十页，2022年，8月28日将通解与任何一个特解叠加,如(d),就得到平衡微分方程的全解:(2.24)这里Ф(x,y)称为平面问题的应力函数,或艾里应力函数为了求解应力函数,将(2.24)代进(2.23),即得:由于fxandfy

是常量,于是上式简化为:(2.25)第十九页，共二十页，2022年，8月28日

这就是用应力