平面问题的极坐标解答

平面问题的极坐标解答第一页，共五十八页，2022年，8月28日圆形、楔形、扇形等，边界条件用直角坐标可能十分复杂，而用极坐标却十分简单。第六章极坐标第一节平衡微分方程

和直角坐标系类似，在仅考虑微分体时，微分体相对面上的应力可看成是大小相等，方向相反。

考虑平面上的一个微分体，沿ρ方向的正应力称为径向正应力，用σρ表示，沿φ方向的正应力称为切向正应力，用σφ

表示，切应力用τρφ表示，各应力分量的正负号的规定和直角坐标中一样。在考虑整体时，微分体各面上的差异就必须加以考虑，我们从ρ方向和与之垂直的φ方向加以考虑。第二页，共五十八页，2022年，8月28日第一节平衡微分方程考虑图示单元体半径ρ方向的平衡，在ρ面处，正应力记为σρ,ρ+dρ处应力为:在φ面处,切应力记为,φ+dφ处切应力为:在φ面处，正应力记为σφ,φ+dφ处正应力为:以上各应力和相应的面的面积相乘，就得到该面上的内力，以上各量加上体力分量总和得到：σφτφρ第三页，共五十八页，2022年，8月28日第一节平衡微分方程同理考虑与ρ垂直的

φ方向的平衡可得到:第四页，共五十八页，2022年，8月28日上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同，直角坐标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中，由于微元体垂直于半径的两面面积不等，而且半径愈小差值愈大，这些反映在方程里带下划线的项中。最后得到ρ与

φ两个方向的平衡方程:这里应力分量仍然为三个，平衡方程二个。第一节平衡微分方程第五页，共五十八页，2022年，8月28日第二节位移与应变我们从物体中取出ρ方向上长dρ的线段PA，变形后为P'A'，P'点的位移为(u,0)，A'点ρ方向的位移为:先假定只有径向位移而无环向位移：因此PA正应变为:

φ方向上的位移为零。dφφdρ第六页，共五十八页，2022年，8月28日因此PB正应变为:角APB的变化为PB的转角：第二节位移与应变dφφdρ从物体中取出φ方向上长ρd

φ的线段PB，变形后为P'B'，B'点ρ方向的位移为:第七页，共五十八页，2022年，8月28日再假定只有环向位移而无径向位移：线段PA，变形后为P‘A’，P‘点的位移为(0,v)，A'点φ方向的位移为:ρ方向的位移为零，因此PA正应变为第六章极坐标第二节位移与应变ddφvφ第八页，共五十八页，2022年，8月28日因此PB正应变为第六章极坐标第二节位移与应变ddφvφB'点φ方向的位移为:

φ方向上长ρdφ的线段PB，变形后为P'B'，B'点ρ方向上的位移为零。12PB的方向用射线1表示，PB的方向用射线2表示，PB的转角为角POP‘：（向角外转为负）第九页，共五十八页，2022年，8月28日线段PA的转角是线段PB的转角是于是，直角APB的改变量为:前面只有径向位移而无环向位移,角APB的变化为:第六章极坐标第二节位移与应变ddφvφ第十页，共五十八页，2022年，8月28日这就是极坐标中的应变分量的表达式。对于相同的位移，应变的大小和与极点的距离有关。总和上述两个方向的应变，得到：第六章极坐标第二节位移与应变ddφvφ第十一页，共五十八页，2022年，8月28日第三节基本方程

极坐标问题的解法和平面问题类似，通常采用应力函数法，为此需要将应力函数的直角坐标表达式化为极坐标，将相容方程化为极坐标。物理方程极坐标也是正交坐标，因此物理方程与直角坐标相同：平衡方程几何方程第十二页，共五十八页，2022年，8月28日为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利用极坐标和直角坐标的关系：得到第三节基本方程第十三页，共五十八页，2022年，8月28日第三节基本方程第十四页，共五十八页，2022年，8月28日在φ=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）得到第三节基本方程第十五页，共五十八页，2022年，8月28日上式是极坐标中的重调和函数。现在的问题是求解上述方程的边值问题。代入直角坐标应力函数在常体力情况下的表达式和直角坐标系中类似，它的解答一般都不可能直接求出，在解决具体问题时，只能采用逆解法、半逆解法。第三节基本方程得到极坐标中应力函数φf应满足的相容方程第十六页，共五十八页，2022年，8月28日第四节轴对称问题

这是一个四阶常微分方程，它的通解为:相容方程简化为:如果应力分量仅是半径的函数，如受内外压的圆环，称为轴对称问题。采用半逆解法，假定应力函数仅是径向坐标的函数:φf

=φf(ρ)第十七页，共五十八页，2022年，8月28日正应力分量仅是ρ的函数，与φ无关，并且切应力为零，应力分量对称于通过z轴的任一平面，称为轴对称应力。这时，应力的表达式为:

第四节轴对称问题轴对称时第十八页，共五十八页，2022年，8月28日将上述应力的表达式代入应力应变关系式中，可以得到应变的表达式,再代入位移与应变的几何方程，积分后,得到位移的积分形式:第四节轴对称问题第十九页，共五十八页，2022年，8月28日第五节受均布压力的圆环由边界条件得到:内半径为a，外半径为b的圆环受内压力qa，外压力为qb的圆环，为轴对称问题，根据上节其解为:边界条件为:第二十页，共五十八页，2022年，8月28日第五节受均布压力的圆环在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体的位移单值条件补充一个方程。在环向表达式中，第一项是多值的，在同一ρ处，φ=φ0和φ

=φ0+2π时，环向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有B=0。第二十一页，共五十八页，2022年，8月28日这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，得到拉密解答：第六章极坐标第五节受均布压力的圆环于是:第二十二页，共五十八页，2022年，8月28日1.单受内压时，径向受压，环向受拉，与半径的平方成反比，衰减快。2.单受外压时，径向、环向均受压，与半径的平方成反比，衰减快。第二十三页，共五十八页，2022年，8月28日第六节曲梁的纯弯曲内半径为a，外半径为b的狭矩形截面的圆轴曲梁，在两端受大小相等方向相反的弯矩，为轴对称问题。边界切应力都为零。上述解满足该边界条件。在梁的内外两面，正应力要求:φ第二十四页，共五十八页，2022年，8月28日在梁端的边界条件要求:第六章极坐标第六节曲梁的纯弯曲由边界条件得到:φ第二十五页，共五十八页，2022年，8月28日将φf的表达式第六章极坐标第六节曲梁的纯弯曲φ代入，并由边界条件第二十六页，共五十八页，2022年，8月28日在这里有三个方程和三个待定常数，解出A、B和C，代入应力分量表达式，得到郭洛文解答:第六章极坐标第六节曲梁的纯弯曲其中：φ第二十七页，共五十八页，2022年，8月28日第七节楔形体在楔顶或楔面受力1设在顶部受集中力F

楔形体内一点的应力分量决定于α、β、F、ρ、φ，因此，应力分量的表达式中只包含这几个量。其中α、β、φ是无量纲的量，因此根据应力分量的量纲，应力分量的表达式应取FN/ρ的形式，其中N是α、β、φ、组成的无量纲的量。由应力函数的表达式可以看出应力函数中ρ的幂次应当比各应力分量的幂次高出两次，因此可设第二十八页，共五十八页，2022年，8月28日代入相容方程后得：求解这一微分方程，得：不影响应力，其中第六章极坐标第七节楔形体在楔顶或楔面受力取:（按应力的表达式计算为零）第二十九页，共五十八页，2022年，8月28日于是得：边界条件楔形体左右两面：第六章极坐标第七节楔形体在楔顶或楔面受力第三十页，共五十八页，2022年，8月28日上述应力分量满足该边界条件。集中力F按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和F成平衡力系：第六章极坐标第七节楔形体在楔顶或楔面受力将σρ的表达式代入，可求出C、D，最后得到解答：第三十一页，共五十八页，2022年，8月28日当时成为弹性半平面受垂直集中力的问题，该问题在建筑工程中有十分重要的意义。第三十二页，共五十八页，2022年，8月28日hρφF1沿极线方向是主方向，也就是主应力迹线，与之垂直的半园也是主应力迹线。2如图，该园上各处的应力值相同，也就是成应力等值线（压力泡），并随h的大小成反比。3应力值不仅随深度衰减，并且也向两侧减少。弹性半平面受垂直集中力第三十三页，共五十八页，2022年，8月28日根据坐标变换公式和极坐标应力分量可得到直角坐标分量第三十四页，共五十八页，2022年，8月28日Fxy从而得到第三十五页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第七节楔形体在楔顶或楔面受力2设在顶部受有力偶M作用根据和前面相似的分析，应力分量应为MN/ρ2的形式，而应力函数应与ρ无关代入相容方程后得求解这一微分方程，得第三十六页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第七节楔形体在楔顶或楔面受力以上应力函数的设定方法都是量纲分析，这是应力函数半逆解法的主要方法之一。2设在顶部受有力偶M作用力偶可看成反对称力，正应力和应力函数应当是φ的奇函数，从而A=D=0,于是第三十七页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第七节楔形体在楔顶或楔面受力于是：边界条件楔形体左右两面上述应力分量自动满足第一式，根据第二式，可得第三十八页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第七节楔形体在楔顶或楔面受力集中力偶M按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力M成平衡力系：最后得到解答：第三十九页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第七节楔形体在楔顶或楔面受力求解这一微分方程，得:3一面受均布压力q应力分量应为qN的形式，而应力函数应为qNρ2的形式代入相容方程后得ρ第四十页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第七节楔形体在楔顶或楔面受力3一面受均布压力q边界条件为:求解常数，最后的解答为：ρ第四十一页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第八节圆孔的孔边应力集中板中开有小孔，孔边的应力远大于无孔时的应力，也大于距孔稍远处的应力，称为孔边应力集中。应力集中的程度与孔的形状有关，一般说来，圆孔孔边的集中程度最低。孔边应力集中圆孔在板边受力简单时，在这里进行分析，较为复杂的情况一般用复变函数方法。第四十二页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第八节圆孔的孔边应力集中1矩形板四边受q的均布拉力矩形板在离边界较远处有半径为a的小孔。直边的边界条件，宜用直角坐标，圆孔边界宜用极坐标，因此需要将直边的边界条件变为圆边的边界条件。为此，以远大于a的半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，大圆边界上的应力为:可见，问题与受外压力的圆环相同，其解可由拉密解答得出，第四十三页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第八节圆孔的孔边应力集中以远大于a的半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件2矩形板一对边受集度为q的均布拉力该边界条件比较复杂，难于找到合适的应力函数。设其为cosφ或cos2φ都不行。第四十四页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第八节圆孔的孔边应力集中根据观察，如果y方向有集度为q的压力，则边界上的应力将大大简化，于是我们转而考虑一对边受集度为q的均布拉力，一对边受集度为q的均布压力的问题，这时的边界条件为：3一对边受集度为q的均布拉力，一对边受集度为q的均布压力因此可以假设应力函数为：σρτρφφ第四十五页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第八节圆孔的孔边应力集中代入相容方程得到于是:求解这一方程,得到第四十六页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第八节圆孔的孔边应力集中根据边界条件可确定待定的常数，最后得到应力分量为第四十七页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标第八节圆孔的孔边应力集中矩形板一对边受集度为q的均布拉力的解答可由矩形板四边受集度为q/2的均布拉力与一对边受集度为q/2的均布拉力，一对边受集度为q/2的均布压力的解答叠加而得。=+第四十八页，共五十八页，2022年，8月28日习题6.1试用斜截面应力公式其中l,m为斜截面法线的方向余弦，导出应力分量的坐标变换式：第四十九页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标习题参看图(a)假设为已知,方向余弦为:代入(*)式得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换公式:6.1提示:φφφφφ第五十页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标习题参看图(b)假设为已知,方向余弦为:代入(*)式得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换公式:6.1提示:(续）φφφφ第五十一页，共五十八页，2022年，8月28日提示：如图所示,第六章极坐标习题6.2试导出直角坐标的位移分量u,v与极坐标的位移分量uρ,uφ,之间的坐标变换式。它们在u，v方向的投影为：它们在ρ，φ方向的投影为：φφρ第五十二页，共五十八页，2022年，8月28日第六章极坐标习题提示：1.检验相容条件:满足相容条件:2.应力分量:6.3图示的圆环,试证应力函数能满足相容条件，并求出对应的应力分量。设在内半径为a，外半径为b的圆环中发生上述应力，试求出边界上的面力，并求出每一边界上的主矢量与主矩。φ第五十三页，共五十八页，2022年，8月28