平面问题的基本理论

平面问题的基本理论第一页，共七十二页，2022年，8月28日2.1平面应力与平面应变平面应力第二页，共七十二页，2022年，8月28日要点：第三页，共七十二页，2022年，8月28日平面应变问题纵向轴压力管道纵向轴水坝第四页，共七十二页，2022年，8月28日第五页，共七十二页，2022年，8月28日第六页，共七十二页，2022年，8月28日第七页，共七十二页，2022年，8月28日2.2平衡微分方程1.微元体介绍2.受力介绍3.力矩平衡4.第八页，共七十二页，2022年，8月28日剪应力互等第九页，共七十二页，2022年，8月28日第十页，共七十二页，2022年，8月28日第十一页，共七十二页，2022年，8月28日1.三个未知数、两个方程，仍是超静定问题，还需从几何、物理方面着手2.以微元体考虑的静力学条件，严格精确3.完全适用于平面应变问题第十二页，共七十二页，2022年，8月28日2.3平面中任意一点的应力状态问题：求经过P点、平行于z轴、倾斜于x、y轴的任何斜面上的力条件：任意点p点的应力分量已知第十三页，共七十二页，2022年，8月28日1.方向余弦的概念2.力的分解:坐标轴方向、法切方向3.微元PAB：单位厚度AB=ds,则PA=mds,PB=lds,第十四页，共七十二页，2022年，8月28日第十五页，共七十二页，2022年，8月28日若过P点某一个斜面切向应力为零，则正应力称为主应力，该面为应力主面链接18第十六页，共七十二页，2022年，8月28日应力主面上，切应力为零。即建立主面上主应力与应力分量的关系第十七页，共七十二页，2022年，8月28日得到两个主应力第一应力不变量第十八页，共七十二页，2022年，8月28日第十九页，共七十二页，2022年，8月28日第二十页，共七十二页，2022年，8月28日第二十一页，共七十二页，2022年，8月28日2.4几何方程1.介绍微线段PA、PB及其变化PA=dx,PB=dy,2.线应变ε的求法3.剪应变γ的求法第二十二页，共七十二页，2022年，8月28日位移分量形变分量第二十三页，共七十二页，2022年，8月28日2.5物理方程1.平面应力推导2.平面应变推导第二十四页，共七十二页，2022年，8月28日平面应力第二十五页，共七十二页，2022年，8月28日3个应力分量、3个形变分量、2个位移分量，8个未知量，8个方程，还需要边界条件才能求出第二十六页，共七十二页，2022年，8月28日§2.6

边界条件弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。边界面力已知——面力边界Ss

确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。边界条件─表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系。第二十七页，共七十二页，2022年，8月28日边界面应力分量和外力分量作用在不同的面上，且有不同的正负号规定。必须把边界s的坐标表达式代入到左边的应力分量中，上式才成立。第二十八页，共七十二页，2022年，8月28日在坐标正面上，应力分量与面力分量同号；在坐标负面上，应力分量与面力分量异号。第二十九页，共七十二页，2022年，8月28日平面问题中，每边都有表示x向和y向的两个边界条件。在边界面为正负x面时，应力边界条件中并没有；在边界面为正负y面时，应力边界条件中并没有；即，平行于边界面的正应力，它的边界值与面力分量并不直接相关。第三十页，共七十二页，2022年，8月28日面力边界条件描述弹性体表面的平衡，平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。这种平衡只是静力学可能的平衡。真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件。第三十一页，共七十二页，2022年，8月28日位移边界条件边界位移已知——位移边界Su

位移边界条件就是弹性体表面的变形协调弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等

第三十二页，共七十二页，2022年，8月28日混合边界条件弹性体边界

S＝Ss＋Su部分边界位移已知——位移边界Su

部分边界面力已知——面力边界Ss不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，任意边界的边界条件数必须等于3个。第三十三页，共七十二页，2022年，8月28日

第三十四页，共七十二页，2022年，8月28日显然，边界条件要求在x=±a上，σx也成抛物线分布。第三十五页，共七十二页，2022年，8月28日第三十六页，共七十二页，2022年，8月28日2.7圣维南原理圣维南原理又称为局部效应原理，它可以用于简化小边界上的应力边界条件。重点难点

注意圣维南原理只能应用于小边界上。应用圣维南原理于应力边界条件的表达方式。第三十七页，共七十二页，2022年，8月28日概述弹力问题是微分方程的边值问题。应力、位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件，主要的困难在于难以满足边界条件。圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。第三十八页，共七十二页，2022年，8月28日圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。说明：1.圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；2.静力等效─指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；3.近处─指面力变换范围的一、二倍的局部区域；4.远处─指“近处”之外。第三十九页，共七十二页，2022年，8月28日圣维南原理推广：

如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。第四十页，共七十二页，2022年，8月28日圣维南原理的应用：

1．推广解答的应用；

2．简化小边界上的边界条件。圣维南原理在小边界上的应用：

如图，考虑x=l小边界，第四十一页，共七十二页，2022年，8月28日第四十二页，共七十二页，2022年，8月28日第四十三页，共七十二页，2022年，8月28日第四十四页，共七十二页，2022年，8月28日作业：2-8、2-9、2-15第四十五页，共七十二页，2022年，8月28日2.8按位移求解平面问题位移法（按位移求解的方法）——是取位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力和形变分量，导出只含位移分量的方程和边界条件；并由此解出位移分量，再求出形变分量和应力分量。学习目标掌握按位移求解的概念，方程的导出和求解方法。重点难点掌握基本未知函数——位移所应满足的全部条件。第四十六页，共七十二页，2022年，8月28日1.平面问题的基本方程及边界条件第四十七页，共七十二页，2022年，8月28日第四十八页，共七十二页，2022年，8月28日2.解法─消元法

第四十九页，共七十二页，2022年，8月28日上式是用

u,v表示的平衡微分方程

第五十页，共七十二页，2022年，8月28日第五十一页，共七十二页，2022年，8月28日第五十二页，共七十二页，2022年，8月28日第五十三页，共七十二页，2022年，8月28日第五十四页，共七十二页，2022年，8月28日第九节按应力求解平面问题

相容方程以应力分量为基本未知函数，导出求解应力的基本方程和边界条件掌握按应力求解的概念，方程的导出。

按应力求解的方程的导出，应力分量必须满足的全部条件。第五十五页，共七十二页，2022年，8月28日第五十六页，共七十二页，2022年，8月28日第五十七页，共七十二页，2022年，8月28日连续体的形变分量不是相互独立的教材上的例子第五十八页，共七十二页，2022年，8月28日对x求导对y求导+第五十九页，共七十二页，2022年，8月28日平面应力平面应变第六十页，共七十二页，2022年，8月28日第六十一页，共七十二页，2022年，8月28日第六十二页，共七十二页，2022年，8月28日第六十三页，共七十二页，2022年，8月28日本节介绍在常体力情况下，按应力求解方法的进一步简化。学习目标

1.在单连体、体力为常量，且全部均为应力边界条件下，平面应力分量与弹性常数无关。

2.在常体力情况下，按应力求解简化为求解应力函数的问题。2-10常体力情况下的简化/应力函数第六十四页，共七十二页，2022年，8月28日重点难点

平面应力分量与弹性常数无关的条件。

按应力函数求解平面问题的方法。第六十五页，共七十二页