平面与平面垂直

平面与平面垂直第一页，共三十九页，2022年，8月28日1.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？

直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。

2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

问题:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？结论:它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。

复习回顾两异面直线所成角的取值范围：直线和平面所成角的取值范围：(0o,90o]．[0o,90o]．第二页，共三十九页，2022年，8月28日空间两个平面有平行、相交两种位置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.问题提出第三页，共三十九页，2022年，8月28日

两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.洪坝水平面为此引入二面角的概念，研究两个平面所成的角第四页，共三十九页，2022年，8月28日1．半平面的定义

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．半平面半平面探究新知第五页，共三十九页，2022年，8月28日2．二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．

棱为l，两个面分别为、的二面角记为

-l-

，lQP或P-l-Q第六页，共三十九页，2022年，8月28日AB⑴平卧式：⑵直立式：ABllABl3．画二面角第七页，共三十九页，2022年，8月28日αβABl4.二面角的平面角O注意二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内第八页，共三十九页，2022年，8月28日AOlBA’B’O’二面角的大小用它的平面角来度量思考:∠AOB的大小与点O在上的位置有关吗?∠AOB？∠A1O1B1第九页，共三十九页，2022年，8月28日平面角是直角的二面角叫做直二面角.当二面角的两个面合成一个平面时，规定为180o,当二面角的两个面重合时，规定为0o.因此,二面角大小的范围为［0o,180o］二面角的取值范围第十页，共三十九页，2022年，8月28日

如图，点A在二面角α-l-β的半平面α上一点，过点A如何确定二面角α-l-β的平面角？OBBlAlAO----“定义法”由定义知：过A作AO⊥

交于O，在面β内作OB⊥则∠ＡＯＢ为所求的角。二面角的平面角的作法：----“垂线法”过A作AB⊥β交于B

，再过A作AO⊥交于O,连结OB，则∠AOB为所求的角。第十一页，共三十九页，2022年，8月28日

第三种画法:

点P在二面角的两个面外时,经过P点分别作两个面的垂线,这两条垂线确定的平面与二面角的两个面的两条交线就组成了二面角的平面角垂面法二面角的平面角的作法：lAOBP第十二页，共三十九页，2022年，8月28日寻找平面角D端点中点第十三页，共三十九页，2022年，8月28日中点EGF第十四页，共三十九页，2022年，8月28日

练习1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，找二面角A-VC-B的平面角。VABC第十五页，共三十九页，2022年，8月28日

ABP

M

N

C

DO解：在AB上取不同于P

的一点O，在内过O作OC⊥AB交PM于C，在内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：设PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa又∵∠MPN=60º

∴CD=PCa∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90º

例1.如图,已知P是二面角棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，∠BPM=∠BPN=450，求此二面角的度数。∠COD是二面角的平面角一“作”二“证”三“计算”例题分析第十六页，共三十九页，2022年，8月28日AOlD

例2、已知锐二面角－l－

，A为面内一点，A到的距离为，到

l的距离为4，求二面角

－l－的大小。解：过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD∴AO=2，AD=4∵AO为

A到的距离，AD为

A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∴∠ADO=60°∴二面角

－l－的大小为60°在Rt△AOD中，∵sin∠ADO=第十七页，共三十九页，2022年，8月28日1、找到或作出二面角的平面角2、证明找到或作出的角就是二面角的平面角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”二面角的有关计算:步骤:第十八页，共三十九页，2022年，8月28日

练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B大小的正切值.AA1BCDB1C1D1O解：连结BD，交AC于点O，连结B1O。∵BD1是正方体∴BB1⊥面BD∴BB1⊥AC又∵AC⊥BD∴AC⊥面BB1O∴∠BOB是二面角的平面角。⊿BB1O中OB=BB1.第十九页，共三十九页，2022年，8月28日第二十页，共三十九页，2022年，8月28日第二十一页，共三十九页，2022年，8月28日观察:教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。第二十二页，共三十九页，2022年，8月28日

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.面面垂直的定义：(2)日常生活中平面与平面垂直的例子?(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢?αβaAb第二十三页，共三十九页，2022年，8月28日

建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？第二十四页，共三十九页，2022年，8月28日如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：下面我们来验证这个定理第二十五页，共三十九页，2022年，8月28日证明：设α∩β=CD，则B∈CD，在平面β内过B点作BE⊥CD。∵AB⊥CD，AB⊥BE。∴∠ABE=90。是二面角α—CD—β的平面角，∴二面角α—CD—β是直二面角，即α⊥β。αβABCDE已知：直线AB⊥平面β于B点，AB平面α，求证:α⊥β第二十六页，共三十九页，2022年，8月28日平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.αβaA简记：线面垂直，则面面垂直

面面垂直线面垂直线线垂直符号:第二十七页，共三十九页，2022年，8月28日

例1如图,AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBCABCPO

证明:由AB是圆O的直径,可得AC⊥BC平面PAC⊥平面PBC第二十八页，共三十九页，2022年，8月28日2.正方体ABCD-A1B1C1D1中求证:证明:ACBDA1C1B1D1第二十九页，共三十九页，2022年，8月28日第三十页，共三