《弧度制》教学设计

弧度制教学设计一、内容与内容解析1．内容引入弧度制的必要性，弧度制的概念，弧度与角度的互化．2．内容解析（1为什么引入弧度制？引入不同的单位制使用单位时过选择恰当的单位给我们解决问题带来方便度制的本质是用线段长度度量角的大小样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位数的概念中强调函数必须是实数集合与实数集合之间的对应只有这样才能进行基本初等函数的运则运算、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性．此外度制的引入能为后续学习微积分的运算提供方便中最著名的就是当自变量为实数时，使得重要极限

成立．特别是，利用三角函数能够较好地描述钟摆汐等周期现象时的自变量不一定是角度以是时间或其他的量．总之论从满足函数定义的要求是简化运算的需要或是从三角函数的可用性等方面来看，引入弧度制都是必要的．因此，随着学生学习的深入，会对弧度制引入的必要性的体会越来越深．

（2弧度制的定义．我们规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位？在半径不同但圆心角相同的的扇形中中所学的扇形的弧长公式能够得出弧长与半径之比不变，该比值与圆半径的大小无关，因此，用该比值度量角的大小是合理的然角的弧度与扇形所在圆的半径大小无关可以在单位圆中直观地认识到，在单位圆中可以用长度为1弧所对圆心角作为角的度量单位．弧长与半径度之间的简单正比关系成为弧度制定义的来源种通过比值来定义一个量的方法，在物理学有广泛的应用，比如加速度、压强，密度等概念．从数学史中有关两种角的度量制度的发展过程来看与弧度制的产生有一个共同的特点是如何划分圆周长度的出现源于对圆周运动的观察巴比伦人经过长时间的观察发现球围绕太阳公转现公转的周期是360（实际是365），所以圆被分为360等份，其中的1份为．而弧度制划分圆周长的方式，统一了角度和长度单位，在不同半径的圆中周长是不同的，但周角是不变的们需要一个定值来刻画这个不变的量过观察发现周长与半径的比值是一个定值2，因此用2来刻画周角的大小是合理、科学和自然的．事实上，角的度量在历史上还有很多其它进制，比如法国把直角分为100等分的百分度，苏联的密位制等等．（3弧度与角度的换算．同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定存在内在联系识其中的联系性是数学研究的重要内容之一度制度制都是角的度量制之间一定可以换算事物之间的联系性

度与角度在本质上没有差别是角度的单位进行了变换而已两种角度制之间的关系是：生在进行弧度与角度的换算时紧紧抓住这

一

关

键，

即，，直观感受，从角度到弧度，角度的量数放大了57多在熟悉角度制与弧度制的互化后直接用计算器完成换算外科书中列出特殊角的度数与弧度数的对应值生不仅要会换算而且要记住．最后，例3利用角度与弧度的转换公式完成了弧度制下扇形的面积公式的证明，利用

证明了，弧度制下的扇形面积公式相比角度制形式更加简单，进一步体会引入弧度制的必要性．根据上述分析定本节课的教学重点是了解弧度制引入的背景下解弧度制的概念，能进行角度制与弧度制的互化．二、目标与目标解析1．目标（1初步体会弧度制引入的背景及必要性，明白同一个量可以用不同的单位制来度量．（2在半径不同但圆心角相同的的扇形中，利用初中所学的扇形的弧长公式能够发现弧长与半径之比不变，从而体会用该比值作为弧度制定义的合理性，

加深弧度制概念的理解此过程中生可以感悟数学抽象的层次性及逻辑推理的严谨性．（3体会弧度制是度量角的一种方式，并能利用

进行弧度制与角度制的互化用单位圆中弧长等于半径的圆心角观感受用长度度量1弧度的大小明并灵活运用一些关于扇形的公式能理解角与实数之间的一一对应关系；2．目标解析（1通过比较扇形弧长公式和面积公式的两种角度制的不同表达形式，发现弧度制可以简化公式，初步达成体会引入弧度制的必要性的目标；通过问达到体会同一个量的度量可以有不同的单位制的目标．（2在探求如何科学合理地定义弧度制这一新概念的过程中，学生经历从特殊到一般的探求过程不同半径的圆周中提炼出不变的量是周角的大小和周长与半径的比值推广到更为一般的圆心角为所对的弧长与半径的比值不变，通过认识、理解、把握弧度制的本质，学生经历概念形成的全过程，能描述1弧度角的概念理解弧度制这一目标过程不仅有利于学生逐渐养成一般性思考问题的习惯和在学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，而且可以逐步培养培养学生直观想象和数学抽象的核心素养．（3弧度制概念的应用过程中生认识到角度制和弧度制之间的关系，体写特殊角的弧度数来熟练角度与弧度的换算运用

有关知识解决问题的能力角度与弧度的互化的目标例明弧度制下扇形的弧长和面积公式养实事求是和扎实严谨的数学态度成进一步体会弧度制的优越性这一目标．三、问题诊断分析生硬地记忆弧度制的概念及形式化地运用公式进行计算是容易的理解为什么引入弧度制定义1弧度有一定难度的很多学生习惯用角度制的转换来代替1弧度角的定义就是说多学生在学习了弧度制部分内容后最深刻的印象是弧度制与角度制的转化略了弧度角定义的核心和依据应该是与学生接触的练习题的类型有关系论是练习册中的习题还是各类测试考试只是不断地对角度与弧度的转换进行着一遍又一遍的运算种单一形式的练习致了一些学生把数学看作就是运算过程把定义及定义的学习过程看作是细枝末节甚至是无意义的符号游戏．一些学生由习惯角度制得角度制可以用量角器度量很直观而拒绝用弧度制有部分学生在后续学习中经常把角度制与弧度制混用及一些学生认为π就是弧度制中角的单位，另外，还有少数学生混淆了弧长与弧度的概念等等是学生理解弧度制的背景和形成弧度制的概念不够深刻的原因导致的。基于此，本节课教学难点是：弧度制概念的理解．四、教学支持条件

本课时需要可改变半径的圆及扇形的信息技如GeoGebra示会周角及扇形的圆心角不会因为其所在圆的半径的改变而改变用到计算器进行弧度制与角度制的互化．五、教学过程设计1．创设情境，引发思考问题1我们知道：篮球明星姚明的身高是2.26米，但在NBA官方数据中却是7.5尺，为什么？你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明.师生活动：生针对老师提出的问题进行思考与回答要的原因是为用了不同的单位．再如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制，度量体积可以用立方米、升等不同的单位制．设计意图：过生活中的发现长度可以用米不同的单位制，让学生体会度量一样东西可以有多种度量制．2．分析归纳，形成定义问题2量角除了角度制，还有什么单位制呢？追问1如图1射线OA端点O转到形成角α．在旋转过程中，射线的点点一条圆弧对应于圆心角α点所形成的圆弧的长为l．回忆初中所学知识，弧长如何用圆心角α来表示？师生活动：学生经过观察、讨论得出结论：．

追问2如图线任取一点同于点OP1旋转过程中，点Q形成的的圆弧的长为l，那么l11比值是多少？你能得出什么结论？师生活动：生经过观察、讨论得出结论：；圆心角所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角．设计意图：过复习初中所学知识可知学生得到弧长与半径的比只与角的大小有关广到一般也成立此我们可以利用这个比值来度量角出新概念,使学生明白新概念的由来和定义的合理性．追问3结合上面的探索过程，你能试着说一说什么是弧度角吗？师生活动：生用自己的语言表述清楚即可师在学生表述的基础上进行完善们规定度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1度的角度单位用符号rad示，读作弧度．设计意图：引导学生得出定义，体会定义产生的背景、原由及过程．

追问4（1我们把半径1的圆叫做单位圆．既然角的大小与半径无关，那么在单位圆中如何确定1rad的角呢？（2在半径为r的圆中，弧长为的弧所对的圆心角α的弧度数是多少？（3角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？师生活动：生思考后回答单位圆中长度为1弧所对的圆心角就是1rad如图3；在半径为的圆中；类比角度制，的正负由角的终边的旋转方向决定．设计意图：深化理解弧度的定义位圆中感受1rad的角的大小，体会1角的几何表示一步能在一般圆中求得角的弧度数学生通过图形获取对新概念的直观印象，培养学生数形结合的能力．追问5请你说说弧度制与角度制有哪些不同？师生活动：生展开讨论之后总结提炼．预设答案：第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；

第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而的角是周角的；第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，等等．设计意图：概念辨析，深化理解．3初步应用深化理解问题3既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间如何换算？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？师生活动：生思考后回答，得出答案．预设答案：这两种角度度量制之间的关是．为关的，即，．设计意图：过思考学生掌握弧度和角度换算的方法会同一个数学对象用不同方式表示时们之间的内在联系识这种联系性是数学研究的重要内容之一．例1照下列要求，把67°30′化成弧度：（1精确值；（2）精确到0.001近似值．

师生活动生自行完成并回答问题为，所以(2)用计算器有

．因此，≈1.178rad设计意图：在换算中学会根据要求的精度不同，选择不同的计算方式．例23.14rad算成角度（用度数表示，精确到0.001）．师生活动：使用计算器完成．预设答案：利用计算器有

设计意图：学会利用计算器完成这种繁杂的计算问题．追问′能直接化成弧度吗？你是怎么做的？应该注意什么问题？（2相互交流一下，如何使用计算器完成弧度制与角度制的换算？师生活动：生独立完成角度制与弧度制的换算的精确值后交流展示用计算器完成弧度制与角度制换算的近似值．设计意图：通过简单应用，熟悉弧度制、熟悉弧度制与角度制的换算．学生可能出现的问题：第一，进行角度制与弧度制的换算不够熟练；第二，角度转化弧度时需要把含分或秒的角度统一为度的单位三算机完成弧度制与角度制换算的近似值时，操作需要一个熟悉的过程．练习填写特殊角的角度数与弧度数的对应表（课本174页）．师生活动：快问快答，进行训练，预设答案：

设计意图：些角是今后常用的特殊角仅要求学生会换算且要让学生记住这些特殊角的度数与弧度数的对应值外练角度和弧度的换算一步加深对πrad的理解和掌握．同时进一步体会角的概念推广后，无论用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一一对应关系．例3用弧度制证明下列关于扇形的公式：其中R圆的半径，α＜为圆心角l是扇形的弧长s扇形的面积．师生活动：生利用弧度制证明关于扇形的公式师进行点评及板书设答案：下面证明（2）．

为为°是设计意图：会弧度制下的扇形弧长积公式的简洁美是引入弧度制的一个优点．4．梳理小结问题4通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？追问你觉得这样定义弧度制合理吗？在度量角的时候你觉得需要注意哪些问题？你现在觉得用弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？师生活动：由学生独立思考、交流讨论，再由教师帮助学生总结．预设答案：圆心角α所对的弧长与半径的比值随α的确定而唯一确定，因此，利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角的是合理的度量角的时候需要注意系两种度量制的桥梁是πrad注意防止出现角的两种度量制混用的现象等；用弧度制度量角的好处：弧度制下的扇形弧长、面积公式非常简单，这是引入弧度制带来的一个便利．实际上，角度制下角的度量制是六十进制，与长度、面积的度量进位制不一样，于是在公式中要有