第二章1-插值法1~3

1第2章

插值法22.1引言

2.2Lagrange插值2.3均差与Newton插值多项式2.4Hermite插值2.5分段低次插值2.6三次样条插值3§2.0为什么要研究插值法

插值法是广泛应用于理论和实践的重要数值方法,它是用简单函数(特别是多项式或分段多项式)为离散数组建立连续模型；为非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映自然规律数量关系的函数大致有三种表示方法：

解析表达式

图象法

表格法2023/2/534§2.0为什么要研究插值法

许多函数关系数据是用表格法给出(如观测和实验得到的数据)。但用离散的函数值进行理论分析和设计，是不方便或是不可能的。因此需要寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函数(或近似函数)。另外一情况是，函数表达式给定，但其形式不适宜计算机使用，一些涉及连续变量问题的计算需经过离散化后才能进行。如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。2023/2/5452.1引言

设函数在区间上有定义，且已知在点

上的值，函数，（1.1）成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含节点的区间称为插值区间，求插值函数若存在一简单使的方法称为插值法.2.1.1插值问题的提出6

插值函数p(x)作为f(x)的近似，可以选自不同类型的函数,如p(x)为代数多项式、三角多项式、有理分式；其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其中，代数多项式类的插值函数占有重要地位：

(a)

结构简单、计算机容易处理、任何多项式的导数和积分也易确定。(b)

著名的Weierstrass逼近定理(定义在闭区间上的任何连续函数f(x),存在代数多项式p(x)一致逼近f(x),并达到所要求的精度)。因此，我们主要考虑代数多项式的插值问题。2023/2/567（1.2）

若是次数不超过n的代数多项式，即其中为实数，就称为插值多项式，本章只讨论多项式插值与分段插值.

若为分段的多项式，就称为分段插值.

若为三角多项式，就称为三角插值.相应的插值法称为多项式插值.8x0

,

x1,…,xn插值节点,

函数P(x)称为函数y=f(x)的插值函数，区间[a,b]称为插值区间。

2023/2/589

插值的几何意义

从几何上看，插值就是求一条曲线使其通过给定的个点，并且与已知曲线有一定的近似度。从几何上看x

0y

y=p(x)a=x0x1x2x3xn=b

•(xi,yi)y=f(x)曲线P

(

x)

近似f

(

x)910插值问题是否可解.若有解,是否唯一.如何求插值函数P(x).P(x)与f(x)的误差如何估计.当插值节点无限加密时,P(x)是否收敛于f(x).插值法的研究内容11【问题】设函数在区间上有定义，且已知在点

上的值，的多项式，使得（1.3）求次数不超过n2.1.2插值多项式的存在唯一性12

在次数不超过的多项式集合中，满足条件(1.3)的插值多项式是存在唯一的.由（1.3）式得到关于系数的线性方程组因此，线性方程组（1.3）的解存在唯一，证毕.定理1证明其系数矩阵的行列式(是Vandermande行列式)（1.4）（1.5）13插值余项与误差估计

若在上用近似，

设在上连续，在内存在，节点是满足条件(2.6)的插值多项式，则对任何，插值余项这里且依赖于，则其截断误差为也称为插值多项式的余项.定理214

余项表达式只有在的高阶导数存在时才能应用.

但在内的具体位置通常不可能给出，如果可以求出那么插值多项式逼近的截断误差限是15

2.2.1线性插值与抛物插值

对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式.

先讨论的简单情形.【问题】给定区间及端点函数值，要求线性插值多项式，2.2Lagrange插值使它满足16

其几何意义就是通过两点的直线.图2-2如图2-2.17由的几何意义可得到表达式（点斜式），（两点式），（2.1）

由两点式看出，是由两个线性函数（2.2）的线性组合得到，其系数分别为及，即（2.3）18显然，及也是线性插值多项式，在节点及称及为线性插值基函数，上满足条件图形见图2-3.19图2-320下面讨论的情形.

假定插值节点为，，，要求二次插值多项式

几何上是通过三点的抛物线.

可以用基函数的方法求的表达式，此时基函数（2.4）使它满足是二次函数，且在节点上满足条件21

接下来讨论满足（2.4）的插值基函数的求法，以求为例，由插值条件，它应有两个零点及，可由插值条件定出其中为待定系数，于是可表示为22同理

二次插值基函数，，在区间上的图形见图2-4.23图2-424

利用，，，（2.5）显然，将,，代入(2.5),立即得到二次插值多项式它满足条件得252.2.2拉格朗日插值多项式

将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.（2.6）

根据插值的定义应满足先定义次插值基函数.

为构造，26

定义1

若次多项式在个节点（2.7）就称这个次多项式为节点上的次插值基函数.上满足条件27显然它满足条件（2.7）.

于是，满足条件（2.6）的插值多项式可表示为（2.9）（2.8）

与前面的推导类似，次插值基函数为28由的定义，知形如（2.9）的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，而(2.3)与(2.5)是和的特殊情形.容易求得（2.10）

若引入记号29于是公式（2.9）可改写成（2.11）

注意:

次插值多项式通常是次数为的多项式，特殊情况下次数可能小于.30若取，则（2.18）（2.17）可得若令它可用来检验函数组的正确性.31当时，线性插值余项为（2.17）当时，抛物插值余项为（2.18）32由题意,取（1）用线性插值计算，的值并估计截断误差.例1已知用线性插值及抛物插值计算解取由公式（2.1）3334

由（2.17）,其截断误差其中于是35（2）

用抛物插值计算，由公式（2.5）得36

由（2.18）,截断误差限其中于是这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了.37382.3均差与牛顿插值公式

2.3.1插值多项式的逐次生成

利用插值基函数很容易得到Lagrange插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要重新计算.【Lagrange插值多项式的缺陷】39利用点斜式直线方程得

为了克服这一缺点，我们设计一种逐次生成插值多项式的方法：对n=1,插值多项式满足它可看成零次插值的修正：其中是函数的差商.40其中

对n=2，插值多项式可表示为这里是函数的“差分的差分”，称为“二阶差分”，也称“均差”.

41（3.1）其中为待定系数，确定.

一般地，插值多项式表示为如下便于计算的形式可由个插值条件（3.2）42

称为函数关于点的一阶均差.称为的二阶均差.定义2

2.3.2均差及其性质43（3.3）

一般地，称为的阶均差（均差也称为差商）.44

均差有如下的基本性质：（3.4）这个性质可用归纳法证明.1°阶均差可表为函数值的线性组合，

这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性.即453°若在上存在阶导数，且节点（3.5）这公式可直接用罗尔定理证明.(3.3’)2°由性质1°及（3.3）可得即则阶均差与导数关系如下：46

均差计算可列均差表如下（表2-1）.472.3.3Newton插值多项式

根据均差定义，把看成上一点，可得48只要把后一式代入前一式，就得到其中（3.6）49（3.7）

是由（2.10）定义的.

显然，由（3.6）确定的多项式满足插值条件，且次数不超过，称为牛顿（Newton）均差插值多项式.

系数就是均差表2-1中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.其系数为它就是形如（3.1）的多项式，50

但（3.7）更有一般性，它在是由离散点给出的情形或导数不存在时也是适用的.

（3.7）为插值余项，由插值多项式唯一性知，它与拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的.

事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点.

牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项即可.51

首先根据给定函数表造出均差表.

给出的函数表（见表2-2），求4次牛顿插值多项式，并由此计算的近似值.例452

从均差表看到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0.

故取4次插值多项式做近似即可.于是

按牛顿插值公式，将数据代入53截断误差这说明截断误差很小，可忽略不计.542.3.4差分与等距节点的Newton插值

实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多.

2.3.4.1差分及其性质

设函数在等距节点上的值为已知，这里为常数，称为步长.

为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.55记号（4.1）（4.2）（4.3）分别称为在处以为步长的向前差分，向后差分

符号，，分别称为向前差分算子，向后差分算子定义3及中心差分.及中心差分算子.56

利用一阶差分可定义二阶差分为一般地可定义阶差分为

中心差分用到了及这两个值，但它们并不是函数表上的值.

如果用函数表上的值，一阶中心差分应写成57这样，二阶中心差分为

除了已引入的差分算子外，常用算子符号还有不变算子及移位算子，于是，由定义如下：可得58同理可得59

差分基本性质.

性质1其中为二项式展开系数.例如各阶差分均可用函数值表示.（3.9a）（3.9b）60

性质2

例如，可用向前差分表示，所以（3.10）可用各阶差分表示函数值.因为61

性质3

例如，对向前差分，均差与差分有密切关系.由定义62同理，对向后差分有

利用（4.7）及均差与导数的关系又可得到（3.12）其中，

一般地有这就是差分与导数的关系.（3.11a）（3.11b）63

计算差分可列差分表（见表2-3），表中为向前差分，为向后差分.642.3.4.2等距节点的Newton插值公式

将牛顿均差插值多项式（3.6）中各阶均差用相应差分代替，就可得到各种形式的等距节点插值公式.

如果节点，要计算附近点的函数的值，

这里