第六章 无限冲击响应(IIR)数字滤波器设计

第6章IIR数字滤波器的设计模拟滤波器的技术要求巴特沃兹（Butterworth）模拟低通滤波器切比雪夫II型模拟低通滤波器椭圆低通滤波器6.1由模拟滤波器设计IIR数字滤波器模拟滤波器的技术要求pw:通带截止频率ws:阻带截止频率dp:

通带波动ds:

阻带波动通带衰减(db)(passbandAttenuation)阻带衰减(db)(stopbandAttenuation)1|H(jw)|10通带过渡带阻带pwswsdpd-wG(w)=20log10|H(jw)|dB滤波器的Gain函数wc10N=1N=3N=50.7076.1巴特沃斯低通滤波器N:滤波器阶数性质：2)幅度响应单调下降(monotonicallydecreasing),当阶数N增加时，通带幅频特性变平，阻带衰减更快，逐渐趋近于理想滤波器的幅频特性。1)|H(j0)|=1,|H(j¥)|=0,-20log10|H(jwc)|3dbwc:

3db截频,当wc=1时，称其为归一化的BWF3)|H(jw)|2在w=0点1到2N-1阶导数零。称为最大平坦性。(maximallyflatmagnitudefilter)在w=0点做Taylorseries展开归一化的Butterworth滤波器(BWF)任意的BWF和归一化BWF的关系归一化Butterworth滤波器的极点条件：h(t)是实的H(jw)=H*(-jw)极点：共有2N个极点，为了保证系统的稳定，选左半平面的N个极点。为左半平面的N个极点当N为偶数时例：N=2,=p/4;k=1例：N=4,=p/8,3p/8;k=1,2当N为奇数时例：N=1N=3例：设计一个满足下列指标BW型模拟滤波器p1.0=wp，p4.0=ws，dBAp1=，dBAs10=取N=2，将N=2带入通带满足的方程通带满足指标，阻带超过指标验证：Ap=0.9999db;As=18.2795db模拟Butterworth低通滤波器设计步骤:(1)由滤波器的设计指标wp、ws、Ap、As和式确定滤波器的阶数N(2)确定wc(3)确定滤波器的系统函数H(s)切比雪夫滤波器w))((wjH1cwN=2N=3N=7e:通带波纹

cw：通带截频N：阶数(由阻带指标确定)性质1)在cww££0时，2)(wjH在1和211e+间振荡(equiripplefilter)2)cww³时，2)(wjH单调下降（N增大，下降加速）3)2211)(ew+=cjH

e控制了通带衰减N为奇时

1)0(2=jHN为偶时

2211)0(e+=jHw))((wjH1cwN=2N=3N=7CBI型AF设计步骤1)通带截频确定pcww=2)通带指标确定e3)阻带指标确定N基本原理冲击响应不变法设计DF的步骤H(z)的确定6.2冲击响应不变法H(ejW)和H(jw)的关系：无混叠时：数字滤波器在W点的频响特性和模拟滤波器w=W/T频响特性只差一个常数因子基本原理例:设H

(s)是一个3dB截频为wc的一阶低通滤波器，1)用冲击响应不变法求出H(z)2)如果用下图所示系统取代H

(s)，比较两系统的幅度响应。A/D离散系统D/Ax(t)x[k]Hr(jw)y[k]Tys(t)yr(t)T冲击响应不变法设计模拟滤波器的步骤1.将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}

kkT/W=w2.设计模拟滤波器的H(s)。3.由h[k]=Th(t)|t=kT从而得出H(z)。冲激不变法设计IIRDF的优缺点（1）冲激不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。（2）模拟频率w和数字频率Ω之间呈线性关系：Ω=wT（3）缺点：由于有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器。冲激不变法应用的局限性

由于具有频率的混叠效应，所以高通和带阻滤波器不宜采用冲激不变法。因为它们高频部分不衰减，将完全混淆在低频中，从而使整个频响面目全非。若要对高通和带阻实行冲激不变法，则必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系或保持网络瞬态响应不变时才使用。对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。基本思想:利用数值积分将模拟系统变换为数字系统。设模拟系统的微分方程为用梯形面积近似计算等式右边的积分得6.3双线性变换法所以近似描述离散系统的差分方程为离散系统的系统函数为：和模拟系统的系统函数比较可得稳定性1)s<0,|z|<1左半平面映射到单位元内。稳定数字滤波器系统映射为稳定模拟滤波器系统。2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1虚轴映射到单位圆上右半平面映射到单位圆外结论：因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统W和w

的关系令s=jw)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真优点：无混叠双线性法设计模拟滤波器的步骤：2)由模拟滤波器的指标设计H

(s)3)H

(s)转换为H(z)1)将数字滤波器的频率指标{Wk}由wk=(2/T)tan(Wk/2)转换为模拟滤波器的频率指标{wk}二、性能分析1.解决了冲激不变法的混叠失真问题。2.它是一种简单的代数关系。

即模拟角频率与数字角频率存在非线性关系。所以双线性变换避免了混叠失真，却又带来了非线性的频率失真。3.由于双线性变换中，4.同时，看出双线性变换：(1)在零频附近，模拟角频率与数字角频率变换关系接近线性关系。(2)又要求AF的幅频响应是分段常数型，即幅度变换是线性的所以称之为双线性变换。频率升高时，非线性失真严重。5.对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。解：设双线性变换中的参数为T1)模拟低通滤波器的3dB截率为2)3dB截率为wp的一阶模拟BWLP滤波器为3)由双线性变换得例：用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字低通滤波器。例：用1阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字高通滤波器解：取T=2，则AFHP的3dB截频为AFLP的3dB截频为满足条件的LPAF为满足条件的HPAF为6.4从原型低通滤波器到其他形式IIR数字滤波器的频带变换法各种模拟滤波器的理想幅频特性（低通）|H(ejΩ)||H(ejΩ)||H(ejΩ)||H(ejΩ)|（高通）（带通）（带阻）模拟高通、带通和带阻滤波器的设计方法：（1）是先将要设计的滤波器的技术指标（主要是ω

P、ωs），通过某种频率转变关系转换成模拟低通滤波器的技术指标。（2）依据这些技术指标设计出低通滤波器的转移函数。（3）再依据频率转换关系变成所要设计的滤波器的转移函数。6.4.1模拟域频带变换法设计各型数字滤波器给定模拟高通带通或带阻的技术指标模拟低通技术指标频率转换设计模拟低通频率转换得到模拟高通带通或带阻滤波器H(s)模拟频率变换法的原理框图先模拟频率变换，再数字化求出模拟低通原型的指标频率归一化，并求出相对应的（模拟低通、高通、带通、带阻）的性能指标设计出所需的数字低通、高通、带通、带阻滤波器频带变换求模拟指标双线性变换法或冲激不变法确定所需设计的数字滤波器（数字低通、高通、带通或带阻）的性能指标设计模拟归一化低通原型频带变换并求出相对应的（模拟低通、高通、带通、带阻）的性能指标模拟频域带变换法设计方案和步骤（1）频率变换（2）去归一化（模拟归一化-->模拟滤波）（3）频率预扩展（4）数字化数字频率变换法的原理框图先数字化，再频