《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题

2023/2/41最优控制1第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题2第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题一：概述实二次型：1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：其中，x(t)是n维状态向量，u(t)是p维控制向量，y(t)是q维输出向量，u(t)不受约束。A(t),B(t),C(t)是分段的时间连续函数3Yr(t)表示预期输出，e(t)为广义误差。寻求最优控制u*(t)，使下面二次型性能指标最小。其中，F是q×q半正定常数矩阵

Q(t)是q×q半正定矩阵

R(t)是p×p正定矩阵。2.性能指标J第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题4第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题53.分类<1>调节器问题.yr(t)=0①状态调节器以零状态为平衡状态②输出调节器<输出调节器可转化为状态调节器>第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题6<2>伺服系统（随动系统）以不大的能量是系统输出跟随给定的输出而变化。二.状态调节器1.已知寻求u*(t),使J最小。<X(tf)自由，tf有限>第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题7求解：①构造哈密顿函数：②协调方程：③横截条件则第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题8④控制方程：⑤状态方程第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题9的状态转移矩阵都可作为初始时刻<分块>又由横截条件：则②=③第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题10可以证明存在因此，呈线性关系，可表示为则<实际中不用上式来求P(t)，过于复杂，采用如下方法;>2.黎卡提矩阵微分方程考察两边对t求导第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题11将状态方程带去上式，则又协态方程:最后可得黎卡提矩阵微分方程如下：又横截条件则——黎卡提微分方程边界条件第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题12说明：<1>黎氏方程的解存在且唯一(常微分方程解的存在性唯一性定理)<2>P(t)是对称阵<3>P(t)≥0J≥0第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题133.结构——反馈增益矩阵上式确定最优轨线第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题144.说明①求J*考察二次型将状态方程与黎卡提方程带入上式，之后两边对t作t0→tf积分，移项，配方法则第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题15②本问题最优控制的解是存在的且唯一的a.存在性P唯一存在b.唯一性（微分方程解的存在性和唯一性定理）第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题165.总结状态调节器控制规律其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件最优状态x*(t)则是下列线性微分方程解在最优控制情况下，系统性能指标具有最小值第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题17例：设有一阶系统性能指标求最优控制u*(t)解：③带入黎氏方程得第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题18④状态方程的解双曲余切（将定常系统变为了时变系统）此时tf有限6.定常情况下，tf→∞时的状态调节器①结论：设有定常线性可控系统。二次型性能指标第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题19u(t)不受约束，Q、R都是正定常数矩阵则，最优控制存在。且可唯一的表示为其中是n×n正定常数矩阵，满足下列的非线性黎卡提矩阵代数方程此时最优轨线x*(t)是下列线性是不变齐次方程的解第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题20采用最优控制规律时，系统的性能指标J取最小值J*说明：<1>系统是可控的<2>系统是定常的（前提条件）②无限时间状态调节器是大范围渐进稳定的考察二次型第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题21将状态方程带入三.输出调节器1.问题。设有线性系统第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题22其中x(t)为n维状态向量，y(t)为q维输出向量，u(t)为p维控制矩阵，u(t)不受约束。假定系统完全能观，寻找最优控制u*(t),使性能指标最小，其中F和Q(t)是半是正定对称矩阵，R(t)正定对称阵2.分析第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题23将代入则<1>对称阵<2>半正定阵对所有q维向量y(t)都成立第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题24由对所有q维向量C(t)x(t)都成立由于系统完全能观对所有x(t)都成立3.输出调节器控制规律其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题25最优轨线满足方程最优性能指标为结构图第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题26最优控制输出调节器仍然是状态反馈，不是输出反馈，需要所有的状态变量4.线性定常系统当tf→∞时的输出调节器设有线性系统系统完全能控完全能观，性能指标第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题27其中u(t)不受约束，Q、R都是正定常数矩阵则，最优控制存在。且可唯一的表示为其中是n×n正定常数矩阵，满足下列的非线性