第五章 立体表面交线投影

第五章立体的表面交线

工学院机械系王鸿钧第一节平面立体的截切截切：

用平面与立体相交，截去立体的一部分。截平面

:用以截切物体的平面。截交线

:截平面与物体表面的交线。

截断面:因截平面的截切，在物体上形成的平面。

讨论的问题：截交线的分析和作图

。工学院机械系王鸿钧一、平面截切的基本形式截交线与截断面截平面截交线截断面工学院机械系王鸿钧截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截切位置。平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每条边是截平面与棱面的交线。求截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。工学院机械系王鸿钧二、平面立体截交线的画图⒈求截交线的两种方法：棱线法:求各棱线与截平面的交点棱面法:求各棱面与截平面的交线⒉求截交线的步骤：截平面与立体的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性１）空间及投影分析２）画出截交线的投影确定截交线的形状123456工学院机械系王鸿钧3.截交线的形状（1）分析截平面与立体的相对位置以确定截交线形状。

（2）分析截平面与投影面的相对位置以确定截交线的投影形状。截交线的形状是怎样的？怎样确定截交线的投影形状？截交线多边形的边数=截平面截到的棱面数工学院机械系王鸿钧例1求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。平面与三棱锥相交s’a’b’c’c”a”b”sPvs”(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。1’2’3’(2)根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3)连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。(4)补全棱线的投影。3”具体步骤如下：工学院机械系王鸿钧例2求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。

321(4)1●2●4●3●1●2●4●交线的形状？3●★投影分析★求截交线★分析棱线的投影★检查

类似性截平面与立体的几个棱面相交?截交线与投影面的位置关系?

工学院机械系王鸿钧工学院机械系王鸿钧例3求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。6´2´≡5´1´3´4´1234561″2″3″4″5″≡6″工学院机械系王鸿钧工学院机械系王鸿钧例4求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影

作图方法:1求棱线与截平面的共有点2连线3根据可见性处理轮廓线1״2״(1)׳2׳2׳2׳2׳7׳7״(5)׳6׳5״6״1234567(3)׳4׳3״4״工学院机械系王鸿钧工学院机械系王鸿钧121(2)Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个面上。三面共点：2●1●

注意：

要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。例5：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。工学院机械系王鸿钧工学院机械系王鸿钧第二节回转体的截切

一、回转体截切的基本形式截交线截平面截平面截交线工学院机械系王鸿钧截交线的性质：截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及

截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是封闭的平面图形。(特殊情况为平面折线)工学院机械系王鸿钧二、平面与回转体的截交线如何求截交线？⑴空间及投影分析

①确定截交线的形状②明确截交线的投影特性(积聚性、类似性等)

⑵画截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：☆顺次光滑地连接各点，并判断可见性。☆先取特殊点，后取中间点。分析截平面与回转体轴线的相对位置明确回转体的形状关键在分析截平面与投影面的相对位置

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1234工学院机械系王鸿钧截交线的求法

方法：工学院机械系王鸿钧㈠圆柱体的截切

截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置垂直圆椭圆平行两平行直线倾斜PVPPVPPVP工学院机械系王鸿钧例1如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。

平面与圆柱相交由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。（2）再作出适当数量的一般点。（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。1’15’5373’(7)’1”5”3”7”22’2”4684’4”（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。8”6”ⅠⅢⅤⅦⅡⅣⅥⅧ工学院机械系王鸿钧例2求左视图★空间及投影分析★利用积聚性求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置●●解题步骤：

同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。●●工学院机械系王鸿钧工学院机械系王鸿钧例3补画出立体的左视图2.作左切面上的投影

1.作圆柱的左视图3.作下部通槽的投影4.判别可见性工学院机械系王鸿钧5.整理并擦除多余的线,完成作图.工学院机械系王鸿钧例4补画被挖切后立体的投影。

分析：该立体是在圆柱筒的上部开出一个方槽后形成的。构成方槽的平面为垂直于轴线的水平P和两个平行于轴线的侧平面Q。它们与圆柱体和孔的表面都有交线，平面P与圆柱的交线为圆弧，平面Q与圆柱的交线为直线，平面Ｐ和Q彼此相交于直线段。平面与圆柱相交工学院机械系王鸿钧作图步骤如下：（1）先作出完整基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交（2）然后作出槽口三面投影图。(3)作出穿孔的三面投影图。QP工学院机械系王鸿钧例5求左视图截交线的已知投影呢？截交线的侧面投影是什么形状？截交线的空间形状是怎样的?工学院机械系王鸿钧椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变而改变。45°什么情况下投影为圆呢?截平面与轴线成45°夹角时工学院机械系王鸿钧●●●●●●●●●●●●★找特殊点★补充中间点★光滑连接各点★分析轮廓素线的投影工学院机械系王鸿钧工学院机械系王鸿钧㈡圆锥体的截切平面截切圆锥有四种情况，如图所示。平面与圆锥相交平面与圆锥相交所产生的截交线形状，取决于平面与圆锥轴线的位置。工学院机械系王鸿钧例1如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。平面与圆柱相交此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线——正平线，椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线。ⅠⅡⅢⅣ正平线正垂线工学院机械系王鸿钧ⅠⅡⅢⅣ正平线正垂线平面与圆锥相交具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。1’2’121”2”3’4’345’6’65（2）再作一般点。（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。（4）补全侧面转向轮廓线。3”4”5”6”7’8’787”8”工学院机械系王鸿钧例2圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。截交线的空间形状?截交线的投影特性？★找特殊点如何找椭圆另一根轴的端点？★补充中间点★光滑连接各点★分析轮廓线的投影工学院机械系王鸿钧工学院机械系王鸿钧分析:截交线的正面投影为双曲线.作图:1、求特殊点。最高点最低点2、求一般点。3、连线。例3:求圆锥被截切后的正面投影.工学院机械系王鸿钧平面与圆锥相交342153’2’(4’)1’(5’)4”3”2”1”（1）先求特殊点。（2）再求一般点。（3）依次光滑连接各点。5”具体步骤如下：例4:圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。工学院机械系王鸿钧例5已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影

1’(2)’(4)’3’(6)’5’(8)’7’9’(10)’2”1”433”4”655”6”(12)’11’11”12”787”8”91010”9”1112工学院机械系王鸿钧工学院机械系王鸿钧㈢球体的截切平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。平面与球相交工学院机械系王鸿钧具体步骤如下：（1）先求特殊点。（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。（3）依次连接各点的水平投影。平面与球相交11’23’(4’)432’655’6’1234例1、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。工学院机械系王鸿钧例2：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。工学院机械系王鸿钧工学院机械系王鸿钧例3求圆球被截切后的水平投影和侧面投影

分析:球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。轮廓线要不要?轮廓线怎样处理?工学院机械系王鸿钧分析:球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。工学院机械系王鸿钧(四)复合回转体的截切●●●●●●●●1.分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系.例：求作顶尖的俯视图2.分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。●●●●●●●●工学院机械系王鸿钧小结一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与棱面的交线。求截交线的方法：棱线法棱面法二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截平面与被截立体轴线的相对位置。截交线是截平面与回转体表面的共有线。工学院机械系王鸿钧当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。⑵分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确定截交线的投影特性。⒉求截交线三、解题方法与步骤⒈空间及投影分析⑴分析截平面与被截立体的相对位置，以

确定截交线的形状。工学院机械系王鸿钧⒊当单体被多个截平面截切时，要逐个截平面进行截交线的分析与作图。当只有

局部被截切时，先按整体被截切求出截

交线，然后再取局部。

⒋求复合回转体的截交线，应首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本

回转体的截交线，并依次将其连接。工学院机械系王鸿钧第三节回转体与回转体相贯

一、相贯线的性质相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。二、作图方法表面取点法利用投影的积聚性直接找点。用辅助平面法。一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、大小极其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影的特点，从而选择适当的方法作图。工学院机械系王鸿钧三、作图过程先找特殊点。补充中间点。确定交线的弯曲趋势确定交线的范围工学院机械系王鸿钧四.面上取点法⒈交线分析⑴

空间分析：相交两立体的表面形状，形体大小及相对位置，预见交线的形状。⑵投影分析：是否有积聚性投影？找出相贯线的已知投影，预见未知投影，选择解题方法。⒉作图最上点、最下点、最左点、最右点、最前点、最后点、轮廓线上的点等。⑴找点⑵连线⑶检查、加深尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。☆找特殊点☆补中间点工学院机械系王鸿钧例1圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。

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空间及投影分析：小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。求相贯线的投影：利用积聚性，采用表面取点法。☆找特殊点☆补充中间点☆光滑连接工学院机械系王鸿钧完成后的三视图：工学院机械系王鸿钧当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势：交线为两条平面曲线（椭圆）交线总向大圆柱的轴线弯曲工学院机械系王鸿钧例2补全主视图45说明：外轮廓与内轮廓的相贯线用简化画法画出★外形交线◆

两外表面相贯◆一内表面和一外表面相贯★内形交线◆

两内表面相贯工学院机械系王鸿钧完成后的三视图：工学院机械系王鸿钧例3补全主视图●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交线◆两外表面相贯◆一内表面和一外表面相贯★内形交线◆两内表面相贯工学院机械系王鸿钧无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是一样的。小结：工学院机械系王鸿钧(1)先画出圆柱筒未穿孔时的另二投影(2)利用圆柱的积聚性投影求与方孔相贯线上各特殊位置点的投影。(3)判别可见性后依次连接各点的投影,擦去被相贯掉的轮廓线。(4)利用圆柱的积聚性投影求与圆孔相贯线上各特殊位置点的投影。(5)判别可见性后依次连接各点的投影.擦去被相贯掉的轮廓线。解题步骤：易多线易多线易多线容易多线立体图

例4:已知圆柱筒上穿方孔下穿圆孔的俯视图,补全另二投影。工学院机械系王鸿钧五、辅助平面法

根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。作图方法：

假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。辅助平面的选择原则：一般选择投影面平行面使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。工学院机械系王鸿钧例1求圆柱与半球相贯线的投影

相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。水平圆柱与半球的公共对称面平行于V面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。求圆柱与半球的相贯线工学院机械系王鸿钧求圆柱与半球的相贯线作图步骤：1）求特殊点：4’141”4”1’2）求一般点：PvPw2”6”26QvQw3”5”352’(6’)3）判断可见性，依次光滑连接各点：4）补画水平转向轮廓线。3’(5’)ⅣⅠ工学院机械系王鸿钧例2求圆柱与圆锥相贯线的投影，如图所示。分析：

由投影图可知，圆柱与圆锥的轴线垂直交叉，相贯线是一条左右对称封闭的空间曲线。由于圆柱轴线垂直与侧面，所以相贯线的侧面投影已知，可以用表面取点的方法求相贯线的投影。求圆柱与圆锥的相贯线工学院机械系王鸿钧求圆柱和圆锥的相贯线作图步骤：ⅠⅡⅣ1”2”(4”)3”1’12’4’243’3ⅤⅥ5”6”565’6’1）求特殊点：Ⅲ工学院机械系王鸿钧求圆柱和圆锥的相贯线ⅠⅢⅣⅤⅥⅡ6’4’242’2”(4”)2）求一般点：7’8’7”(8”)78ⅦⅧ3）判断可见性，依次光滑连接各点：

4）补全正面转向轮廓线。4’6’工学院机械系王鸿钧例3求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。

yyPW2PV24"yy4'PV1PW13"PV3PW35"11'1"2'

2"2453'35'工学院机械系王鸿钧特殊位置和形状的相贯线

（等径相交两回转体）工学院机械系王鸿钧特殊位置和形状的相贯线轴线平行两圆柱的相贯线工学院机械系王鸿钧例4补全主视图

这是一个多体相贯的例子，1.分析是由哪些基本体组成2.这些基本体是如何相贯的3.进行相贯线的分析与作图A（圆