第十一章振动学基础

第四篇振动波动和波动光学我们生活在波的海洋中第11章振动学基础振动：机械振动：简谐运动：

物体离开平衡位置的位移按余弦函数的规律随时间变化。

是最基本、最简单的振动。

任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本的简谐运动所合成的。物体在一定位置(中心)附近作来回往复的运动。广义上指任何一个物理量(例如，物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近的反复变化。§11-1简谐运动的描述一、简谐运动的表达式弹簧振子—由余弦函数表示，A：振幅，离开平衡位置的最大位移ωt+φ：φ：频率v：v=1/T简谐振动的重要特点是周期性周期

往复振动一次的时间。角频率单位时间内往复振动的次数。位相或周相初相决定任意时刻系统运动状态的物理量。取决于系统初始状态。三、简谐运动的速度与加速度二、振动曲线xtOAT？已知：四、简谐运动的动力学原因例：弹簧振子忽略摩擦,振子所受合外力为：物体受到与位移成正比，但方向相反的合外力即——回复力，物体做简谐运动。，若振子质量为m由牛顿第二定律得令:微分方程的解：—简谐振动此微分方程的解为：A和φ由初始条件确定则：称为固有频率，与振幅无关。结论：若物体所受合外力F=-kx，物体做简谐振动由：得：五、振动表达式的建立关键：设表达式为：已知质点沿X轴做简谐振动，振动圆频率为ω，

t=0时，位移：x=x0

，振动速度：v=v0求其振动表达式。由（3）、（4）式得：初相位：解：设振动表达式为：t=0时：则速度表达式为：（1）（2）（3）（4）注意：区间内有两个解，必须根据（4）式舍去一个。由已知条件确定确定需要根据初始位置与速度方向两个条件。例11-2:一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,

位移为6cm，且向x轴正方向运动。求:1、振动表达式。2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度。3、如果在某时刻质点位于x=-0.6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：1.设简谐振动表达式为已知振幅A=0.12m，t=0时由（1）式：2.得：（1）由已知T=2s得：则t=0时得：简谐振动表达式为由（1）式知速度表达式为：（2）由简谐振动表达式可得速度、加速度表达式分别为t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度分别为3.设在t1时刻，x=－0.06m代入振动方程即：由可得在最大负位移的时刻由最大负位移的回到平衡位置需四分之一周期，因而共需时间•••O–A–A/2由-0.06m处到负最大位移的时间设简谐振动表达式为已知振幅A,t=0时，已知周期T，则由振动曲线确定振动表达式：？xtOATt=0时，质点正向x轴正向移动，v>0则则振动表达式为x六、简谐运动的旋转矢量图示法t=0tAxO长度为A的旋转矢量以角速度w绕其一个端点逆时针旋转。t=0时刻旋转矢量与x轴夹角为f，t时刻旋转矢量与x轴夹角为wt+f，其另外一端在x轴上的投影为：旋转矢量端点的投影为简谐运动。任一简谐运动对应于一旋转矢量。简谐运动旋转矢量振幅简谐运动旋转矢量旋转矢量长度角频率旋转矢量角速度初相位t

=

0时，旋转矢量与x轴的夹角简谐运动旋转矢量xx>0,旋转矢量第一象限x>0,v>0旋转矢量第四象限x<0,v<0旋转矢量第二象限x<0,v>0旋转矢量第三象限简谐运动速度为负——旋转矢量在上方简谐运动速度为正——旋转矢量在下方v<0三、相位差xA当二个振动的频率相同时，相位差为第二个振动比第一个振动相位超前若

则振动表达式：例11-3:一质点沿x轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,

位移为6cm，且向x轴正方向运动。求:(1)振动表达式；(2)t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在某时刻质点位于x=-0.6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：(1)T=2s简谐振动的振幅为四、旋转矢量法的应用：x6cmA=12cm周期可得初始状态对应的旋转矢量如上图所示可得初相x/cm-6设质点位于x=-0.6cm且向x轴负向运动的旋转矢量为此过程中旋转矢量转过的角度为质点从x=-0.6cm到负的最大值，回到平衡时的旋转矢量为由得所用时间为：图中绿色矢量所示。(3)图中蓝色矢量所示。得微分方程该分方程的解：—简谐运动§11-1简谐运动的动力学特征若物体所受合外力F=-kx，物体做简谐振动由牛顿第二定律得令:2.单摆的讨论Ol

mgT小球受力矩：根据转动定律化简得当θ很小时，结论：单摆的振动是简谐运动。θ为振动角位移，振幅为θ0例11-4:证明图示系统的振动为简谐运动。其频率为

xk1k2Ｏ

x证明：设物体位移x，弹簧分别伸长x1和x2，从而联立解得根据牛顿第二定律即振动为简谐振动。其频率为证毕。五、简谐运动的能量振子势能：振子动能：系统的总能量：1、振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。2、位移最大，势能最大，但动能最小。在振动曲线的峰值。位移为0，势能为0，但动能最大，在振动曲线的平衡位置。弹簧振子的能量曲线§11-3简谐运动的合成设：某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其运动表达式分别表示为令：则，

显然，两个同方向同频率的谐振动的合成仍为谐振动。其中，合振幅：合振动的初位相：一、两个同方向同频率简谐运动的合成（振幅、初相位不同）旋转矢量法推导：x由几何关系：同理可得合振幅：φ的具体象限要根据φ1、φ2

确定。讨论：合振动的加强和减弱1、位相差△φ=φ1

-φ2

=2kπk=0，±1，±2，±3，……合振幅加强：2、位相差△φ=φ1

-φ2=（2k+1）πk=0，±1，±2，±3，……合振幅减弱：合振动的初位相：例11-5:两个同方向的简谐运动曲线(如图所示)

(1)求合振动的振幅。

(2)求合振动的振动方程。xTt解:(1)t

=

0时，故，互为反相，合振幅最小(2)t

=

0时的旋转矢量图：x例11-6:两个同方向，同频率的简谐运动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的相位差为。若第一个振动的振幅为。则(1)第二个振动的振幅为多少？(2)两简谐运动的相位差为多少？解：(1)依题意根据余弦定理(2)根据正弦定理二、两个同方向不同频率简谐运动的合成

相对于