第五章-单自由度系统的振动

第五章单自由度补充1.1研究对象-机械系统输入（激励）:力、力矩、位移等输出（响应）：位移、速度、加速度系统特性：参数模型：固有频率、惯量、质量、刚度、阻尼比、极点、留数、模态振型等非参数模型：脉冲响应函数(IRF)、频率响应函数(FRF)补充1.2内容--三大课题响应予估——正问题（监测与评价）

已知载荷和结构参数求结构的响应、研究结构的动态特性。

研究方法：模态分析法、机械阻抗分析法、有限元法等参辨识或系统辨识——第一类逆问题（识别与修改）

已知载荷和结构响应求结构参数和数学模型。

研究方法：参数辨识和系统辨识的各种方法机械系统动力学问题：模态参数辨识方法。

模态参数模态质量模态刚度模态阻尼模态振型结构物理参数质量刚度阻尼载荷辨识——第二类逆问题（再现和控制）已知结构参数和响应求载荷。研究方法：通常先进行第一类逆问题的计算，得到结构参数，才能进行载荷识别。内容--三大课题补充2振动基础知识

什么是振动？振动的分类振动的表示方法简谐振动的基本性质动力学模型

一种特殊形式的运动（质点，围绕其平衡位置作往复运动）机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性往复的运动。机械振动系统，就是指围绕其静平衡位置作来回往复运动的机械系统，单摆就是一种简单的机械振动系统。振动系统三要素：

惯性—保持动能的特性,能使系统当前运动持续下去.弹性—储存势能的特性,能使系统位置恢复到平衡状态.阻尼—耗散能量的特性,能使系统能量消耗掉.这三个基本要素通常分别由物理参数质量M、刚度K和阻尼C表征。振动的特点：能用力学基本原理解释的逻辑学科，数学概念完全与物理现象相协调；物理现象是可以体验和测量得到的补充2.1 什么是振动补充2.2振动的分类

按产生的原因分

自由振动——系统仅受到初始条件(初始位移、初始速度)的激励而引起的振动,初始干扰或外激励取消后开始振动.

强迫振动——持续的外作用力激励下的振动.

自激振动——系统内部激发及反馈相互作用下，而产生稳定的周期振动（无周期外力作用）

自由振动问题虽然比强迫振动问题单纯,但自由振动反映了系统内部结构的所有信息，是研究强迫振动的基础．线性满足叠加定理

按结构参数的特性分

线性：常系数线性微分方程

系统内弹簧恢复力、阻尼力和惯性力分别与振动位移、速度、加速度成正比非线性：非线性微分方程自由度——全面地描述系统运动所需独立坐标的最小数目。按系统自由度数分：单度多度无限多常微偏微分位移函数

按运动规律

简谐周期瞬态只在一定时期内存在随机非确定函数（概率统计法）

按振动的位移特性分为：直线纵坐标横坐标

圆弧线（角振动）补充2.3振动的表示方法

2.3.1一般表示方法

函数表示 表示振动的某些物理量（位移、速度、加速度） 随时间t变化的规律。图象表示 以时间为横横坐标，以振动物理量为纵坐标周期振动表示

x=x(t+nT)n=1,2…..T——周期(秒/s)

f=1/T——频率（赫兹/Hz）2.3.2简谐振动的表示方法

是正弦式或余弦函数最基本的振动形式，最简单的周期振动，所以，是研究其它振动的基础。①正、余弦函数表示法ω:角（圆）频率

A:振幅ωt:

相位更一般：

x=Acosωt或y=Asinωt

补充2.3振动的表示方法周期/秒频率/赫兹

平面上旋转向量与沿时间轴展开的谐波函数之间存在严格的对应关系

速度超前位移π/2相位，加速度超前位移π相位。加速度大小与位移成正比，方向与位移相反， 始终指向平衡位置v(t)=Aωcos(ωt+φ)=Aωsin(ωt+φ+π/2)x(t)=Asin(ωt+φ)

a(t)=-Aω2sin(ωt+φ)=Aω2sin(ωt+φ+π)补充2.3振动的表示方法②旋转向量表示法旋转位置可用复向量来表示可用事先预定的复数的虚部或实部来表示简谐振动补充2.3振动的表示方法AabReImZOωtZ=a+jb用复数的虚部表示振动则等价于③复数表示法补充2.3振动的表示方法简谐振动位移、速度、加速度的复数表示:—初始的复向量补充2.3振动的表示方法因此,当t=0时,复矢量的初值:XAVImRe位移、速度、加速度的幅值的大小和相位的关系。求导乘jω幅值在复平面上将复数矢量逆时针旋转，即相位增加，幅值增大ω倍。（除以jω则相反）相位等价于等价于补充2.4简谐振动的基本性质

两个相同方向、相同频率的简谐振动合成A=[(A1cos1+A2cos2)2+(A1sin1+A2sin2)2]1/2

x1(t)=A1cos(ωt+

1)；x2(t)=A2cos(ωt+2)；其中，1.分振动:

2.合振动:x(t)=x1(t)+x2(t)=A1cos(ωt+1)+A2cos(ωt+2)=(A1cos1+A2cos2)cosωt-(A1sin1+A2sin2)sinωtAcosAsinx(t)=Acoscosωt-Asinsinωt=Acos(ωt+)合振动x

仍是简谐振动,且保持同样的振动频率。结论：讨论:(1)若两分振动同相,即

21=2k(k=0,1,2,…)(2)若两分振动反相,即

21=(2k+1)(k=0,1,2,…)当A1=A2时,A=0则A=A1+A2,两分振动相互加强，则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，旋转矢量法处理谐振动的合成当A1=A2时,A=2A1例1补充2.4简谐振动的基本性质同方向同频率同相振动合成例2补充2.4简谐振动的基本性质同方向同频率反相振动合成补充2.4简谐振动的基本性质

同方向、不同频率的简谐振动合成x1(t)=A1sin(ω1t+φ1)；即mT1=nT2=T为公共周期。

x

(t+T)=x1(t+T)+x2(t+T)=x1(t+mT1)+x2(t+nT2)=x1(t)+x2(t)=x(t)，x

(t)=x1(t)+x2(t)合成振动不再是简谐振动，频率比为有理数时，合成为周期振动，频率比为无理数时，合成为非周期振动。x2(t)=A2sin(ω2t+φ2)；分振动:即频率比为有理数。假设：频率比

合振动:当频率比为无理数时，合振动没有公共的周期T。结论：合振动周期为T=mT1=nT2补充2.4简谐振动的基本性质讨论:合振动振幅的频率为:当时,当时，A有最大值A有最小值例3补充2.4简谐振动的基本性质不同频率简谐振动合成，频率比为有理数例4X3(t)=X1(t)+X1(2)；补充2.4简谐振动的基本性质不同频率简谐振动合成，频率比为无理数补充2.4简谐振动的基本性质讨论:振幅相同不同频率的简谐振动的合成2.合振动:1.分振动:当21时,

2-12+1，令其中，随t缓变随t快变合振动x

可看作是振幅缓变的简谐振动。结论：单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即

3.拍的现象

x1tOx2tOxtO补充2.4简谐振动的基本性质拍频:A(t)补充2.5机械振动系统的动力学模型1.机械振动系统的基本元素

惯性—保持动能的特性,能使系统当前运动持续下去，用质量M表示。弹性—储存势能的特性,能使系统位置恢复到平衡状态，用刚度K表示。阻尼—耗散能量的特性,能使系统能量消耗掉，用阻尼C表示。2.动力学模型

按复杂程度和简化方法分为：

①集中参数模型:用常微分方程表示用偏微分方程表示由惯性元件、弹性元件和阻尼元件组成。有限个离散单元组成，每个单元内部连续。质量和刚度均匀分布或按简单规律分布。②有限模型：③连续弹性体模型：，用牛顿定律可建立系统的运动方程如下：§5.1单自由度系统的自由振动1、理论分析如图，是单自由度线性振动系统的模型，其中m是振动物体的质量，k是弹簧刚度，c是阻尼器的阻尼系数，F（t）是外加激振力，是在重力作用下弹簧的静变形，x是从静力平衡位置O-O量起的位移。根据质量m的受力图，注意到一、无阻尼自由振动能用线性微分方程来描述的振动系统即称为线性振动系统。§5.1单自由度系统的自由振动一、无阻尼自由振动当不存在外加激振力，且不考虑阻尼时，上式可简化为无阻尼自由振动方程这是振动的最简单情况。令则无阻尼自由振动方程可改写为λ为正实数，根据微分方程的理论，这一齐次线性微分方程的解具有如下形式：式中称为系统的圆频率，单位为rad/s。称为系统的频率，单位为Hz（赫兹）。和f的单位虽不同，但他们只和系统的固有参数有关，因此也均称为系统的固有频率。振动的周期T为单位为s。齐次线性微分方程的解还可表示为式中：A称为振幅；称为初相位，单位为rad。无阻尼自由振动是一个以固有频率为频率的简谐振动。设初始时刻t=0时的位移为x0、速度为v0，则可得2、工程实例机器或结构中的构件受一静负荷后要产生变形，其内部要产生应力，分别称为静变形和静应力。而当受冲击或产生振动时，构件要产生动变形和动应力。例题在一般的质量-弹簧系统中，都认为弹簧是一个没有质量的弹性体。如果要计算的精确一些，也应计入弹簧的质量（如图）。在弹簧坐标为x处取一微元长度dx，则此微元长度的动能为式中q为弹簧单位长度的质量。弹簧上端的速度即为质量块的速度，弹簧下端的速度为零，可以认为弹簧沿高度方向的速度呈线性分布，即弹簧的动能为物体表面间的摩擦力、周围介质的阻力、材料的内摩擦等，这类阻力统称为阻尼。阻尼的性质可能很复杂，通常把它简化为所谓的粘性阻尼。粘性阻尼的特点是阻尼力的大小与速度成正比，阻尼力的方向与速度相反。采用粘性阻尼使得在数学处理上大为简化。有阻尼自由振动的运动微分方程为二、有阻尼自由振动令则有则该方程的特征根为引入量纲一的量称为阻尼比或相对阻尼系数。下面根据特征根的取值，分三种情况讨论：1、大阻尼当或时称为大阻尼。此时特征根为两个不等的负实根。方程的解为式中，。此式所标示的运动是一个非周期性的运动而不是一个振动。2、临界阻尼当或时称为临界阻尼。此时特征根为二重根，方程解为此式所表示的运动也是一个非周期性的运动。3、小阻尼当或时称为小阻尼。此时特征根为一对共轭复根。令此时方程的解为式中的待定系数A1、A2根据初始条件确定。设振动物体具有初位移x0何处速度，则系统对初始条件的响应为也可改写为式中从上面的式子可以看出，这时系统的运动为周期性的振动。其振动圆频率为，称为有阻尼振动的固有频率，它比无阻尼自由振动的固有频率略小。振幅Ae-at随时间成指数形式衰减。如图给出了这种衰减振动的响应曲线。1、理论分析在简谐激振力的作用下，系统的运动方程为§5.2单自由度系统的受迫振动一、简谐激振动作用下的受迫振动或写为式中：根据微分方程的理论，非齐次方程的全解由两部分组成：与之对应的齐次方程的通解x1和非齐次方程的特接x2。则通解为式中C1、C2为积分常数。设特解具有下列形式：由以上式子可解得B1、B2，特x2可改写为式中：B——受迫振动的振幅θ——受迫振动的响应和激振动的相位差δst——静变形λ——频率比，激振频率与固有频率之比方程的全解为取初始条件为x(0)=x0，，则可求得全解为上式就是在简谐振力作用下有阻尼受迫振动的完全响应。它由三部分组成，对应着式中的三项。第二项是与激振力无关的有阻尼自由振动，它完全取决于初始条件，在零初始条件下它不存在。第三项的振幅与激振力有关，频率等于有阻尼自由振动的频率，这一项称为伴随自由振动，在零初始条件下它也存在。只有第一项是纯粹的受迫振动，它是一个稳态的简谐振动，其频率等于激振力的频率，而相位教激振力滞后角θ。从此式可以看出，由于阻尼存在，自由振动和伴随自由振动随着时间的延续而逐渐消失，最后只剩下稳态的受迫振动。式中的后两项之和表示的振动称为稳态振动，而式中的第一项称为稳态振动。从开始振动到达受迫振动的稳态需要一个实践过程，这个过程称为过渡过程。过渡过程的长短与阻尼的大小有密切的关系。令则式中，β称为动力放大系数，它是频率比和阻尼比两个变量的函数。若将阻尼比视为参量，则可绘出对一系列值的曲线，如图a所示。因为它反映了振幅随激振力频率变化的关系，故称之为幅频特性曲线。从上图可以看出：1）当，即时，，，此频率段称为准静态。2）当，即时，，此频率段称为惯性区。3）当，即时，动力放大系数迅速增大，阻尼对动力放大系数的影响最为显著。此频率段称为共振区（或阻尼区）。此外，由于阻尼的存在，使得受迫振动的位移影响与激振力不同步，它们之间存在一个相位角角。值也与和有关，这种关系曲线称为相频特性曲线，如图b所示。2、工程实例之一：不平衡旋转质量引起的振动在通风机、电动机、水泵、离心压缩机、汽轮机等旋转机械中，由于偏心质量而引起受迫振动是很普遍的现象。例题系统的四个弹簧为并联，总刚度为K=4k=3320N/cm，固有频率为频率比为这说明此时超过共振点较远，不会发生共振。则振幅为在这个例题中，造成振动的原因是衣物不可避免地要偏离旋转中心。在水泵、磨床、内燃机等机器中，高速旋转的叶轮、砂轮轴、曲轴必须进行平衡，就是为了尽量地减小质心相对旋转中心的偏移量。3、工程实例之二：隔振问题一些机器本身是振源，要采取一些措施将机器与地基隔离开来，以减少振动对周围环境的影响，称为主动隔振。还有一种情况，振源来自外界，要使外界的振动较少地传到机器中来，以保持机器（例如精密磨床）的加工精度而采取的隔振措施，称为被动隔振。例题：在上例中加了弹簧和阻尼来减振，从而使洗衣机的振动较少地传播到周围环境中去。试分析未采取隔振措施时和采取隔振措施后洗衣机传递到地基的作用力。解：当未加隔振时（如图a），作用于地基的力就是离心惯性力，其最大值为在采取隔振措施后（如图b），洗衣机传递到地基的力有两部分：通过弹簧传递到地基的力和通过阻尼器传递的力为这两部分的频率相同，均为ω，用旋转矢量表示如图c所示。它们的合力的最大值为1、叠加原理线性微分方程描述的系统为线性系统。线性系统满足“叠加原理”。所谓叠加原理就是说，如果系统在激振力F1（t）的作用下的响应是x1（t），在激振力F2（t）作用下的响应是x2（t），则当以F1（t）、F2(t)的线性组合c1F1(t)+c2F2(t)激励系统时，系统产生的响应为c1x1（t）+c2