第三章 平面力系平衡方程的应用

第三章平面力系平衡方程的应用第一节物体系统的平衡问题第二节平面简单桁架的内力计算第三节摩擦与考虑摩擦时的平衡问题物体系：由几个物体通过一定的约束方式联系在一起的系统。如图1、图2所示。第一节物体系统的平衡问题CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG图11、内力和外力外力：系统以外的物体给所研究系统的力。内力：在系统内部，各个物体之间，或一个物体的这一部分与哪一部分之间，相互作用的力。如图3所示。mqCADBE30。a3aF图2CB20kNAxy2kN/mEG10kNCE图3CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2、物体系平衡问题的静定或超静定物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体的受力情况，画出受力图。根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平衡方程，如平面一般力系有三个独立的平衡方程等。总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数相比较。若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题是超静定的。若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系统可能不平衡，而若计算表明，所有的平衡方程都能满足，则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余的或系统的结构是不稳固的。若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则问题是静定的。注意：（1）在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系统中每一个物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡，其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，因而是不独立的。（2）在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体，还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知量较少或未知量数正好等于独立的平衡方程数的受力图开始，逐步求解。一、构架构架由若干直杆和曲杆组成，通常其一部分是二力构件。例3-1图示结构由AB、CD、DE三个杆件铰结组成。已知

a＝2m，q＝500N/m，F＝2000N。求铰链B的约束反力。CDBEAFa【解】取整体为研究对象，其受力如图所示。列平衡方程，有解得CDBEAFq解得CDBEAFq再取AEB为研究对象，考虑到DE为二力杆，AEB受力如图所示，列平衡方程，有解得解得BEA例3-2图示混合结构受荷载P作用，求支座B的反力及杆件1、2所受的力。21DEBACP3m3m3m3m3m21DEBACP【解】先取整体为研究对象，受力图如下图所示。解得对A点取矩，有取结构右半部分为研究对象，受力情况如右图所示。解得ECBP列平衡方程，有D选取节点D为对象，其受力图如图所示。列平衡方程，有解得D例3-3求图示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计。CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG二、多跨静定梁

多跨静定梁是由若干跨梁用铰联接而成的梁系，它的未知力利用平衡方程可全部求得。CB20kNAxy2kN/mEG10kNCECD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG

从各受力图来看，未知量共9个，即5个支座反力和C、E处铰链反力各2个。而梁共有三个，则其独立的平衡方程有9个。也即题中所研究的问题为静定问题。【分析】先作各梁受力图如下。CB20kNAxy2kN/mEG10kNCE由对称关系得：（2）研究CE梁。

【解】

（1）研究EG梁。2kN/mEG10kNCE（3）研究AC梁。CB20kNA10kNCE具有两个固定铰支座和一个中间铰的拱式结构，称为三铰拱。三铰拱是桥梁和厂房中经常采用的一种结构。

三、三铰拱例3－4图示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨内的铅直荷载，其集度为q(kN/m),

拱重及摩擦均不计。求铰链A、B处的反力。qAhl/2l/2CB【解】（1）研究整体其受力如图所示。ACBq（2）研究AC,并画其受力图。系统整体是平衡的，其每个局部也是平衡的。AqCqACB若图中A、B两处支座不在同一水平线上，则如何求解支座A、B处的约束反力。讨论1、如图所示，结构由AB、CD、DE三个杆件组成。杆件AB和CD在中点O用铰链连接。杆DE在D点用铰链与CD杆相接，在B点光滑放置在AB杆上。求铰O的约束反力。【分析与讨论】

DBEACOFbbb2、图示结构由AB、CD、EF、BF四根杆件组成。试按图示尺寸和载荷求固定端A的约束反力。已知：BDEFACq3、如图所示机构，已知：q0，F，尺寸如图，求A、B、C、

D处反力。ABCDFM2llll4、若将下图中A处改为活动铰支座，则未知量数目为8个，但在图示荷载下仍能平衡。当主动力的合力在x轴上的投影不为零时，系统能否平衡？CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG第二节平面简单桁架的内力计算一、桁架的概念1、什么是桁架？杆系结构端部连接受载后几何形状不变工程中，屋架、桥架、电视塔、起重机、输电线塔等结构物常用桁架结构。桁架是由一些杆件彼此在两端用铰链连接几何形状不变的结构。2、工程实例桥梁房屋建筑通讯国防机械海洋石油钻井平台桁架梁桥钻山车网架结构3.节点工程上把几根直杆连接的地方称为节点。榫(sun)接木桁架节点钢桁架节点铆接焊接钢筋混凝土桁架节点刚接4、桁架分析目的（1）截面形状和尺寸设计（2）材料选取（3）强度校核二、模型的建立屋架结构的简化图6-61.桁架简化的几个假设（1）桁架中各杆为刚性直杆；（2）各杆在节点处系用光滑的铰链连接；（3）所有外力作用在节点上。----理想桁架各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心各杆件都用光滑铰链相连接所有外力，包括荷载及支座约束力都作用在节点上2.平面简单桁架的构成以基本三角形为基础，每增加一个节点，需要增加不在同一直线两根杆件，依次类推可得桁架称为平面简单桁架。桁架的计算就是二力杆内力的计算。如果桁架是平衡的，则假想地截取桁架的一部分为分离体也是平衡的。三、平面简单桁架的内力计算1、节点法平面简单桁架的计算有两种方法：节点法、截面法。假想将某节点周围的杆件割断，取该节点为考察对象，建立其平衡方程，以求解杆件内力的一种方法。取各节点为考察对象【解】节点法。先取整体为研究对象，受力如图所示。由平衡方程aaaaFCACDBEFFEFAx=－2kNFAy=2kNFB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。例3-5联立求解，得取节点A，受力分析如图。由平衡方程解得FAxFAyAFACFAFFFEFFAFFCF解得取节点F，受力分析如图。由平衡方程aaaaFCACDBEFFE取节点C，受力分析如图。由平衡方程FCFFCAFCCFCDFCEaaaaFCACDBEFFEFDEFDCDFDB解得解得取节点D，受力分析如图。由平衡方程FBBFBDFBE解得取节点B，受力分析如图。由平衡方程aaaaFCACDBEFFE2、截面法用适当的截面将桁架截开，取其中一部分为研究对象，建立平衡方程，求解被切断杆件内力的一种方法。如图平面桁架，求FE、CE、CD杆内力。已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。例3-7aaaaFCACDBEFFE【解】先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程联立求解得

FAx=－2kNFAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx由平衡方程作一截面m-m将三杆截断，取左部分为分离体，受力分析如图。联立求解得FFEFCDaFCACFFAyFAxDEFCEmaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAxm30°30°30°30°aFPFPFPIGDBAHECaaaFIyFA+2.6FP+2.6FP+2.6FP+2.6FP00-FP-FP+FP-3FP-3FP-2FP-2FP3、零杆FNBDBFNBCFNBAFP30°30°30°30°FPFPFPIGDBAHECFP一定荷载作用下，桁架中内力为零的杆件零杆30°30°30°30°FPFPFPIGDBAHEC零杆的判断：xyFN=0FPFN1

=0FN2=0节点上无外力作用？概括：零力杆件判别方法(a)(b)(c)下列桁架中哪些杆为零杆？FPFPABCDEGHI节点法(1)研究整体，求支反力(2)逐个取各节点为研究对象;(3)求杆件内力;(4)所选节点的未知力数目不大于２。4、小结截面法(1)研究整体，求支反力；(2)根据待求内力杆件，恰当选择截面；(3)分割桁架，取其一进行研究，求杆件内力；(4)所截杆件的未知力数目不大于3。1、试判断下列各桁架中的零杆。ABP(a)DC(b)FQABCE【分析与讨论】

BC、AC杆为零杆BF、FC杆、AB为零杆2、试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。F1=FF2=-2FF3=2.828FF4=-3FFFF1234aaaaAB3、试计算图示桁架1、2杆的内力。a

aa12ABEFGHCDF1F2第三节摩擦与考虑摩擦时的平衡问题在大学物理已经讲到什么是摩擦，这里来作更深入的研究。摩擦通常分为两类，即：滑动摩擦和滚动摩阻。滑动摩擦：相对运动为滑动或具有滑动趋势时的摩擦。滚动摩阻：相对运动为滚动或具有滚动趋势时的摩擦。按接触物体有无相对运动来分，又分为：动摩擦和静摩擦。有害：给机械带来多余阻力，使机械发热，引起零件磨损，消耗能量，降低效率和使用寿命。有利：用于传动、制动、调速等，没有摩擦，人不能走路，车不能行驶。1、静滑动摩擦两个相互接触的物体虽有相对运动趋势，但仍保持相对静止时，接触面间产生的切向阻力，称为静滑动摩擦力或简称静摩擦力。满足(最大静摩擦力)当时,则物体处于临界平衡状态。一、滑动摩擦(库仑静摩擦定律)Fmax

=

fsFN

2、摩擦角与自锁现象FN与Fs的合反力为FR

，FR称为全反力。即摩擦角正切等于静摩擦系数。（极限情况下，全反力作用形成锥）若面法线间的夹角小于等于

f,即主动力的合力作用线在摩擦锥内，物体处于平衡，这种现象称为自锁。FsPFNFRF全反力FR与接触面的法线成一偏角，在临界状态下，有此时偏角达到最大值f，f称为摩擦角

。由图知摩擦自锁是依靠摩擦力使物体能卡住，即不能主动力多大，只要其作用线满足一定条件，物体将总是不能相对滑动。与此相类似的有如下图所示的松散物质的静摩擦角。砂土、粮食能堆起的最大坡度角保证铁路稳定，路堤和路堑的边坡角两物体接触表面有相对运动时,沿接触面产生的切向阻力称为动滑动摩擦力。库仑动摩擦定理f为动摩擦系数，一般比fs

略小，工程中取ffs。4、静摩擦系数的测定方法(倾斜法)3、动滑动摩擦由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，如果仍用下图的力学模型来分析就存在问题。即无论水平力F

多么小，此物体均不能平衡，因对点A的矩的平衡方程不满足，即出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形，有一个接触面，如下图所示。这是与实际情况不符的，说明此力学模型有缺陷，需要修正。二、滚动摩阻与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩Mf随主动力F的增大而增大；有一个最大值Mmax,即此力系向A点简化或且最大滑动摩阻力偶矩上式即是滚动摩阻定律，d称为滚动摩阻系数，具有长度的量纲

，单位一般用mm。与滚子和支承面的材料的硬度和湿度等有关。与滚子的半径无关。一般情况下，相对滑动摩擦而言，由于滚阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶矩忽略不计。滚阻系数的物理意义如下由力的平移定理与比较得例5-1物块重为P，与水平面间静摩擦系数为fS，用同样大小的力F使物块向右滑动，图a的施力方法与图b相比较，哪一种更有力?【解】图a图b故图b更省力。图aFFSPFNFNFS图bPF