第四章线性系统的根轨迹法

第四章根轨迹法4-1根轨迹与根轨迹方程4-2绘制根轨迹的基本法则4-3控制系统的根轨迹分析4-4零度根轨迹与非最小相位根轨迹4-1根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹的基本概念所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环特征根（极点）在s平面上移动的轨迹例4-1解为两实根；解为两实重根解为一对共轭复根二、根轨迹方程必要条件充要条件m个零点n个极点（nm）幅值条件相角条件（k=…-2,-1,1,2…）根轨迹方程例4-2已知系统开环传递函数

其开环零、极点如图所示，求取系统闭环根轨迹。

根轨迹的绘制过程为：（1）寻找平面上所有满足相角条件的s；（2）利用幅值条件确定各点的K*值。设控制系统的开环传递函数为

2）“×”、“〇”3）加粗线及箭头1）实轴、虚轴相同的刻度4）关键点的标注！绘制注意点4-2绘制根轨迹的基本法则1.根轨迹的起点和终点2.根轨迹分支数3.根轨迹的对称性5.实轴上的根轨迹4.根轨迹的渐近线7.根轨迹的分离点和会合点

6.根轨迹的起始角和终止角8.根轨迹与虚轴的交点9.

根之和绘制根轨迹的基本法则1.根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点幅值条件s值必须趋近于开环极点根轨迹起始于开环极点s值必须趋近于开环零点根轨迹终止于开环零点n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。2.根轨迹的分支数n阶系统根轨迹有n个分支3.根轨迹的对称性根轨迹各分支连续且关于实轴对称4.根轨迹的渐近线渐近线与实轴的倾角：渐近线与实轴的交点：例4-2

求下面闭环特征方程式根轨迹的渐近线解：5.实轴上的根轨迹实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时，这段区域必为根轨迹的一部分

6.根轨迹的起始角和终止角起始角：始于开环极点的根轨迹，在起点处的切线与水平线的正方向夹角

终止角：止于开环零点的根轨迹，在终点处的切线与水平线的正方向夹角

例4-3

已知系统开环传递函数为求闭环系统大致根轨迹7.根轨迹的分离点和会合点

分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。根轨迹上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的。

分离点会合点

一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。

分离点（或会合点）d坐标值的求取方法:检验：当解得多个s值时，其中k*值为正实数时或s是根轨迹上的点才有效。1、d坐标值由方程解出

3、由极值点求解d

2、重根法求解d

坐标值由解出d

例4-4：已知

，试求系统闭环根轨迹的分离点坐标值

方法1:解方程法（舍去）

开环传递函数

方法2:重根法（舍去）

方法3:极值法（舍去）8.根轨迹与虚轴的交点代入特征方程联立求解，根轨迹与虚轴的交点ω值和相应的临界K值。9.根之和当≥2时

开环极点之和等于闭环极点之和根之和不变K’增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。（2）劳斯法（1）例4-5

已知系统开环传递函数为试利用基本法则绘制根轨迹。解（1）无开环零点，开环极点在实轴上根轨迹[-3，0]。（3）分离点（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点（4）起始角（出射角）或（5）与虚轴的交点运用劳斯判据由第一列、第三行元素为零由辅助方程4.2.2闭环极点的确定对于特定的K*值下的闭环极点，可以借助根轨迹图用模值条件确定。根据K*值，通常用试探法先确定在实轴上的闭环极点，然后确定其它的闭环极点。因为已知分离点例4-6：例4-5中确定K*=4的闭环极点。解：由模值条件于是可知K*=4对应的闭环极点在分离点两侧。经过若干次试探，找出满足模值条件的两个闭环极点另外两个根可以从特征方程求出特殊情况：若系统仅有两个开环极点和一个开环零点，这时根轨迹可能是直线或圆弧，若根轨迹一旦离开实轴，必然是沿着圆弧移动。(a)(b)(c)(d)证明若根轨迹一旦离开实轴，必然沿圆弧移动设s是根轨迹上的一点，则s应满足相角条件令为一圆的方程，圆心为(-z,0),半径为P.144图4-15给出了一些不同开环零极点分布时，其根轨迹大致走向。例4-7:已知系统,求Ta由0→∞的闭环根轨迹。解:原系统的闭环特征方程为

D(s)=1+G(s)H(s)=s(5s+1)+5(Tas+1)=0所以就是新的开环传函数，而5Ta相当于新的开环增益。4.3广义根轨迹

变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹叫参数根轨迹。将开环传函变形让变化的参数处于开环增益的位置就可以采用绘制常规根轨迹时的法则。

解题关键：要将开环传函变形，将非开环增益的参数变换到开环增益的地位。将和参数有关的各项归并在一起，上式可写为

5s2+s+5+5Tas=04.3.1

参数根轨迹

在负反馈系统中，K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。通常有参数根轨迹和零度根轨迹。例4-8：设单位反馈系统的开环传递函数为其中开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。解：闭环特征方程要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点等效开环极点注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将G1(s)的零、极点画在s平面上，在令绘制出变化时的参数根轨迹。Ta=0Ta0Ta∝Ta∝4.3.2零度根轨迹的绘制以具有正反馈内回路的的系统为例。等效为相角方程（幅角条件）和模方程（模值条件）与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。规则3：渐近线的夹角与实轴夹角与实轴交点规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。这个结论可以用相角条件证明。规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：终止角（入射角）：例4-9设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角（1）系统的开环零极点分布为有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-，-3]，[-2，）。（3）确定出射角（4）确定分离点（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为4.3.3附加开环零点的作用1.附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当时，表明不存在有限零点。令为不同的数值，对应的根轨迹见P.150图4-25所示：（a）无开环零点；（b）；（c）（d）2.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有：假设(s)中无重极点，上式分解为部分分式一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式4-4控制系统的根轨迹分析将C(s)表达式进行拉式反变换得：从上式看出，系统单位阶跃响应将由闭环极点及系数决定，而系数也与闭环零、极点分布有关。二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定

性关系稳定性所有闭环极点位于s平面的左半部；复数极点设置在s平面中与负实轴成

夹角线附近；平稳性快速性闭环极点远离虚轴；动态过程尽快消失小，闭环极点之间间距大,零点与极点间间距小。三、主导极点和偶极子主导极点：如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部比其他极点的实部的1/5还要小，并且，该极点附近没有零点，则可以认为系统的响应主要由该极点决定。这些对系统响应起主导作用的极点，称为系统的主导极点偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点。

闭环零、极点对系统动态性能的影响

(1)闭环极点的分布决定了动态响应的类型。

(2)闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标。

(3)闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度加快，超调量增大，峰值时间提前。

(4)系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点。

(5)远离虚轴的极点(或零点)和偶极子。

(6)主导极点。

例已知系统开环传递函数为试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比0.5时的性能指标。解：图4-27

根轨迹图图4-27

根轨迹图按步骤作出系统的根轨迹，如图4-27所示。分析系统稳定性在平面上画出时的阻尼线。阻尼线与根轨迹交点的坐标设为，从图上测得，与之共轭的复数极点为。已知系统闭环特征方程及两个极点，用长除法求出第三个极点。使系统稳定的开环增益范围是非最小相位根轨迹

绘制规则:（1）对于负反馈系统——按前述一般规则绘制；（2）对于正反馈系统——按前述零度根轨迹规则绘制。

如果系统的所有开环极点和零点都位于ｓ左半平面，则称为最小相位系统。若系统有位于ｓ右半平面的开环极点和（或）零点，则称为非最小相位系统。前面介绍的作图规则是针对最小相位系统的。以下将讨论非最小相位系统的根轨迹。4-5非最小相位根轨迹

本章小结4-3控制系统的根轨迹分析系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系

利用根轨迹分析控制系统的性能

开环零点和极点对根轨迹的影响4-1根轨迹与根轨迹方程零度根轨迹非最小相位根轨迹

4-4零度根轨迹与非最小相位根轨迹4-2绘制根轨迹的基本法则四、利用主导极点估算系统的性能指标既然主导极点在动态过程中起主要作用，那么，计算性能指标时，在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标的公式和曲线。例4-12试近似计算系统的动态性能指标。解：这是三阶系统，有三个闭环极点其零、极点分布如图4-25所示。某系统的闭环传递函数为极点离虚轴最近，所以系统的主导极点为，而其他两个极点可以忽略。图4-25这时系统可以看做是一阶系统。传递函数为式中：T=0.67s根据时域分析可知一阶系统无超调，调节时间例4-13系统闭环传递函数试估计系统的性能指标。解：闭环零、极点分布如图(4-26)所示图4-26系统近似为二阶系统