郑州大学《有限元原理》课件：第四章有限元法几个关键问题

第四章有限元法计算中的几个关键问题§4.1单元问题§4.2

Substructure§4.3联结单元§4.4钢筋混凝土结构模型1§4.1单元问题一、有限单元单元的特征①单元族：每种单元所假定的几何类型不同。实体单元、壳单元、梁单元、桁架单元、膜单元、无限单元、弹簧和粘壶、刚性体单元。②自由度：计算的基本变量1、2、3方向的移动，绕1、2、3方向的转动，开口截面梁单元的翘曲，声压、孔隙压力或静水压力，电势，实体单元的温度一、单元问题二、缩减积分三、应力计算四、模型建立问题2③结点数目与插值的阶数一次、二次插值，一般都提供二次单元选择④单元性质截面特性。材料特性和任何附加的几何信息。如三维梁单元：材料特性，梁截面轮廓。自由度包括每个点（2个点）的三个方向位移、三个方向的转角⑤数学描述和积分定义单元行为的数学理论；应力或位移式基于Lagrange或材料描述，欧拉方法描述。每个单元几个积分点？完全积分，缩减积分3⑥单元输出变量输出变量是相对于整体坐标系还是在自己定义的局部坐标系。刚性体个刚性单元：计算效率问题弹簧和减震器单元：在不需要详细模拟整体的情况下建立2结点的有效刚度或阻尼。二、实体单元的完全积分和缩减积分完全积分：指单元形状规则时，所用的Gauss积分点数目足以对单元刚度矩阵的多项式进行精确积分。形状规则是指直线边界、直角。如矩形四边形单元。4线性单元完全积分二次单元完全积分被积函数f(x)为m次多项式，积分点数目n满足：可以取得精确积分一维问题：插值函数的多项式为p，微分算子中的导数阶数是m，被积函数是2(p-m)次多项式.Gauss积分点应达到精确积分要求5◆二维4结点等参单元：插值函数包含有2次项，假设|J|是常数，应取(2+1)/2=2，即2x2个积分点才能达到精确积分。◆二维8结点等参单元：需要3x3个积分点大多数情况下，实际选取的积分点数低于精确积分点。高斯积分点数低于被积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案称为缩减积分.一般去在每个方向少用一个积分点。6三、应力计算stressrecovery■Error≠MistakeinFEM(Modelingorsolution)Typeoferror:★Modelingerror(beam,plate,…theories)★

Discretizationerror(Finite,Piecewise)★

Numericalerror(InsolvingFEequations)AsthemeshintheFEmodelsisrefinedrepeaedly,theFEsolutionwillconvergetotheexactsolutionofthemathematicalmodeloftheproblem.7TwotypeofproceduresTheresidualbasederrorestimatorTherecoverybasederrorestimatorAachievingafairlygoodstressapproximationfortheFEM---stressrecoverymethodsstressrecoveryproceduresinclude:

■asimpleaveragingofthestressesobtainedfromallelementsataparticularnode;Themeanstresstechniqueisthemostsimpleforrealization,buttheleastaccurate.

■thegloballeast-squaresprocedures.8UsuallytheusageofthenodesoftheGauss

quadratureformulaasinterpolationorextrapolationpointsleadstobetterresults.superconvergentstresspointsxxxxx@Thebi-linearelementshave1superconvergentpointsintwodimensions.@Thebi-quadraticelementshave4superconvergentpointsintwodimensions.9◆TheSPRrecoverymethod(Superconvergentpatchsrecovery)◆TheREPrecovery(RecoverybyEquilibriumofPatches)[1]O.C.ZienkiewiczandJ.Z.Zhu,Superconvergenceandthesuperconvergentpatchrecovery,FiniteElem.Anal.Des.19(1995)11-23.[2]A.A.Rogovoy.THESTRESSRECOVERYPROCEDUREFORTHEFINITEELEMENTMETHOD,Computers&StrucruresVol.63,No.6,pp:1121-1137,199710四、模型建立问题1.单元类型和形状的选择■根据分析对象的物理属性，可选择固体力学单元、流体力学单元、热传导单元等。■在固体力学单元类型中，还可根据对象的几何特点，选择二维、三维实体单元，梁、板、壳结构单元，半无穷单元等。■单元阶次的选择与求解域内应力变化的特点有关，应力梯度大的区域，单元阶次应较高，否则即使网格很密也难达到理想的结果。112.网格的划分■对于应力变化激烈的地区局部加密网格进行重分析。▲可以在原网格中进行；▲也可以将高应力区截取出来进行网格加密，并将前一次全结构分析的结果作为边界条件施加在局部加密的网格边界上进行重分析。总体一局部分析法。■采用白适应分析方法。即对前一次分析的结果作出误差估计，如果误差超过规定，再由程序自动加密网格，或提高单元阶次后进行重分析，直至满足精度要求。12■疏密网格的过渡123◆采用形状不规则的单元过渡.不足之处是可能单元形状不好而影响局部的精度。◆采用三角形单元过渡。不足之处是可能因引人不同形式的单元而带来不便。◆采用多点约束方法过渡消除变量2。增加程序处理的麻烦13■充分利用结构对称性和周期性实际工程中，很多结构具有对称性和周期性。如能恰当地加以利用，可以使结构的有限元计算模型以及相应的计算规模得到缩减，从而使数据准备工作和计算工作量大幅度地降低。问题：大规模计算，如何降低计算工作量？§4.2

Substructuremethod■利用子结构法凝聚掉结构中几何形状相同的部分的内部变量14了结构法是把初始结构分割成一开始就计划好的若干部分，并作为处理大型有限元分析工程或者使分析适应有限的计算机资源的一种方法。15Substructuresarecollectionsofelementsfromwhichtheinternaldegreesoffreedomhavebeeneliminated.Thesystemisdividedintoanumberofpartsorsegments,eachcalledasubstructure.Eachsubstructure,inturn,isdividedintoseveralfiniteelements.Bytreatingeachsubstructureasalargeelementwithmanyinteriorandexterior(boundary)nodes,andusingaprocedureknownasstatic

condensation,theequationsofthesubstructurearereducedtoaforminvolvingonlytheexteriornodesofthatparticularsubstructure.16InststicanalysisIndynamicanalysisIngeometricallynonlinearstress/displacementanalysisSubstructure1b:boundarynodeofsubstructure;i:interiornodeofsubstructure.求出Xi把Xi代入方程117即18e:nonsubstructurenodes19ConstructingstiffnessmatrixofsubstructureinlocalCoordinatesystem,onlyonetime.CoordinatemappingtotheglobalCoordinatesystemforallsubstructure..Torecoverthesolutioninternaltothesubstructure20Notting■

Asubstructure’sstiffnessmatrixisfullypopulated(nozeroterms),therefore,maybeverylargeifthesubstructurehasalargenumberofremaineddegreesoffreedom.Thisdifficultycanoftenbeavoidedbychoosingthesubstructure’sboundariescarefullyorbyreusingseveralsmallersubstructureratherthanasinglelargersubstructure.■Thesubstructurenodesmustbespecifiedinthesameorderwithinthesubstructure.■defining

substructure’sproperties:anytranslation,rotation,andreflectionofsubstructure.21【1】R.H.Dodds,Jr.,andL.A.Lopez:Substructuringinlinearandnonlinearanalysis,InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering.15,583-597,1980.【2】M.KondoandG.B.Sinclair:Asimplesubstructuringprocedureforfiniteelementanalysisofstressconcentrations,CommunicationsinAppliedNumericalMethods.1,215-218,1985.22§

4.3联结单元■钢筋与混凝土不同材料，若不滑移，粘结足够好，单元之间相互铰接。■若考虑二者相对滑移，粘结力可能发生破坏，则需要引入另一种能反映钢筋与混凝土之间的界面单元，即连接单元。■联结单元作用：沿着与联结面垂直方向传递压力，沿着与联结面平行方向传递剪应力，但不能传递拉应力。234.3.1双弹簧连接单元混凝土单元边缘钢筋单元边缘ijxyX’y’具有弹性刚度，无实际几何尺寸.根据需要设置，不滑移的结点可不设置。平行弹簧用以计算滑移和粘结力，垂直弹簧用以用以考虑钢筋的销栓作用。刚度kh,kv24UxUyxyuxuy混凝土单元边缘钢筋单元边缘ijxyX’y’uhuvuxuy局部坐标整体坐标2526单元刚度矩阵274.3.2四结点线性节理单元x’y’ijmnlengthlwidthel/2l/2厚度为0Goodman单元沿长度方向线性插值单元结点力结点位移28上下水平位移差上下垂直位移差一、基本方程x’y’ijmnlengthlwidthe29假设:单元内剪应力与水平位移之差成正比；单元内正应力与垂直位移之差成正比。初始剪应力和正应力切线刚度法线刚度30有限元方程单元内虚位移之差单元应力所做的虚功单元结点力所做的虚功二者相等初应力引起的结点荷载31t:z方向的厚度。二、初应力引起的结点荷载若2个结点的初应力相等ij32整体坐标系中UxUyxyuxuy法向刚度ks：当节理受压是，为了描述两边二维单元在接触面处不会重叠，应取很大的数，使之互相嵌入的相对位移小到可以忽略不计；但若算出节理面法向应力为拉应力，kn应取很小的值。切向刚度kn：试验确定。剪应力与剪切位移成非线性关系，剪应力小时ks较大，剪应力大到破坏时，ks则较小。三、坐标变换33四、有限宽度的节理单元x’y’ij