有限元基础知识

有限元基础知识

主要内容有限元方法简介什么是有限元软件有限元发展历史有限元方法简介有限元方法简介

有限元法也叫有限单元法（finiteelementmethod,FEM），最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，这样的话小区域内的变形和应力都容易求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。

事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是当然随着单元数量的增加，计算量也相应增大。

有限元法中的相邻的小区域通过边界上的节点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力（建立节点位移和小区域内变形和应力的关系）。求解过程只需要计算出节点处位移，非节点处的应力或者变形是通过函数插值获得的。

大多数有限元程序都是以节点位移作为基本变量，求出节点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。

有限元方法基本步骤以弹性力学问题位移法为例，有限元法一般主要包括以下几个步骤：（1）将连续体离散化，即把连续的求解域离散为有限个“单元”的组合体，组合体的形状能够逼近求解区域。（2）上述“单元”由位于单元边界上的节点相互连接在一起，以这些节点位移作为基本未知量。（3）利用节点未知量，选择一组插值函数唯一地定义每一个单元内相应物理场（位移、应力和应变等）的分布，即选择单元模式或单元列式。（4）将各种类型的荷载变换为只作用在节点上的等效荷载，建立基本未知量与等效节点荷载之间的基本方程。（5）求解基本方程，得到基本未知量的解答。（6）通过基本未知量和插值函数求出单元内的物理场（位移、应力和应变等），从而得到整个计算域的结果。

有限元方法步骤总结有限元法就是把一个很难求解的连续体的问题离散化成很多的小块，在每一个小块内用插值函数进行线性的（一阶单元）或者二次的（二阶单元）简化，把这一个小块内的所有的连续的未知量都用小块边上的节点的位移代表，这些节点的位移就是基本自由度（位移法）。然后再把每一个小块都组合起来，施加上外荷载等建立平衡方程进行计算，通过计算得到每一个节点的位移后，再通过每一个小块内的插值函数得到每一个小块内的所有未知量。结果光滑正因为每一个小块（单元）上的结果是根据各自的节点位移和插值函数得到的，所以在单元与单元交接处有可能出现结果不连续的问题，为了使结果连续以符合实际情况，需要在相邻单元之间使结果光滑。光滑的方法很多，一般常用的是平均法。弹性力学基本方程的矩阵形式弹性力学基本方程的矩阵形式应变关系：应变关系的矩阵表示：其中：弹性力学基本方程的矩阵形式物理方程（应力-应变关系）：其中：弹性力学基本方程的矩阵形式平衡方程：平衡方程的矩阵表示：其中：弹性力学基本方程的矩阵形式有限元方法用途有限元法在结构分析中就是计算结构的应力应变状态和变形的，可以做动力分析、静力分析、谱分析。

什么是有限元软件什么是有限元软件有限元软件指的是采用有限元方法求解各种问题的软件，也被称为仿真软件或者模拟计算软件。有限元法使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。因为有限元法有以上特点，所以采用这种方法的计算过程也被人称为仿真计算或者模拟计算等等。

有限元软件的应用早期的有限元技术高高在上，只有一些国家的部门，如宇航、军事部门可以使用，需要应用者有很高的有限元理论水平。而此后的一些有限元分析软件也都存在界面不友好、难学难用的缺点，虽然应用的范围大了一些，但也都是集中在大学和一些研究机构，只有少数专业人员才能有机会接触，普通的工程师很难应用。然而现在像ADINA这样的有限元软件已经提供了很好的前后处理功能，使应用者可以把有限元求解器作为一个黑匣子来对待，不再需要有很深厚的有限元理论基础，有限元分析的大门终于向普通工程师敞开了。目前成熟的有限元软件把高高在上的有限元技术平民化，易学易用，简洁直观，能够在普通的PC机上运行，不需要专业的有限元经验。使普通的工程师可以进行仿真分析，迅速得到分析结果，从而最大限度地缩短设计周期，降低测试成本，提高产品质量，加大利润空间。

有限元软件的应用范围目前有限元软件在结构问题、流体问题、传热学、电磁学、声学等方面都有大量的应用。ADINA主要的应用领域是结构、流体和热，以及相互耦合的问题。

有限元法在结构上应用的主要目的是求解结构的变形、应力、应变等。在流体上应用主要是求解流体的流动状态，这时也叫CFD（计算流体动力学）软件。在热领域的应用主要是求解热量在物体中的流动和边界上的损失，得到物体的温度分布。

有限元软件的分析过程有限元分析过程可分成三个阶段，前处理、求解和后处理。前处理主要是采用CAD技术来建立几何模型，然后在几何模型上定义荷载、边界条件等物理条件，最后划分单元网格。总之前处理就是进行分析数据的输入，这个过程也称为建模，这里的模就是指的物理模型（包括几何模型、荷载、边界条件、网格等等）。后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便地提取信息，了解计算结果。目前为了使应用者能直观的看到计算结果，有限元的计算结果也需要用CAD技术生成形象的图形输出，如生成位移图、应力、温度、压力分布的等值线图，和表示应力、温度、压力分布的彩色明暗图，以及随机械载荷和温度载荷变化生成位移、应力、温度、压力等分布的动态显示图。在前处理与后处理之间的过程是求解，一般都是由有限元软件的求解器自动进行的。使用者可以把求解器作为“黑匣子”处理。有限元发展历史历史典故历史典故有限元法最初是20世纪50年代作为处理固体力学问题的方法出现的。追溯历史，早在1943年，Courant已应用了单元的概念。1945年~1955年，Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大的发展。1956年，Turner、Clough等人把刚架位移发的思路推广应用于弹性力学平面问题：他们把连续体划分为三角形和矩形单元，单元中的位移函数采用近似表达式，推导单元的刚度矩阵，建立节点位移与节点力之间的单元刚度方程。1960年，Clough首先把这种解决弹性力学的方法，给予特定的名词，称为“有限元法”。首先提出有限元法这个名词的Clough就是ADINA总裁Bathe教授的博士生导师，他带领Bathe及自己的工作小组开发了著名的线性有限元软件sap。Bathe对于有限元方法的发展也做出了很多开创性的贡献，著名的求解模态的子空间叠代法就是Bathe的成果。Bathe离开Clough后，在MIT领导自己的工作组开发了ADINA，他当时的主要目的是使自己的程序除了能够求解相对简单的线性问题外，还能够求解非线性问题和动力问题。此后ADINA又增加了流体的功能和热求解功能，并且可以求解耦合场问题，现在发展成为一个多物理场耦合求解的有限元系统。附件：三角形单元举例单元位移模式及差值函数构造典型的3节点三角形单元节点编码为ijm，以逆时针方向编码为正方向。每个节点有2个位移分量。每个节点有2个位移自由度：每个单元有6个位移自由度：弹性力学基本方程的矩阵形式单元内任意一点的位移表示（一次多项式）：通过节点位移确定广义坐标：计算得到：弹性力学基本方程的矩阵形式其中：因此任意一点的位移可表示为：弹性力学基本方程的矩阵形式应变表示：弹性力学基本方程的矩阵形式应力表示：利用最小位能原理建立