曲阜师范大学图像信息处理课件第6章 几何变换

第四章图像的几何变换图像的几何变换高大目标物常因透视效应导致其成像结果发生形状变化实际目标物几何位置变化实际成像结果集合校正结果图像的几何变换图像的几何变换包括了图像的形状变换和图像的位置变换。图像的形状变换是指图像的放大、缩小与错切。图像的位置变换是指图像的平移、镜像与旋转。图像的仿射变换描述。图像的几何变换不改变像素的值，只改变像素的位置。图像的形状变换图像的形状变换主要是指图像的缩小、放大与错切。图像的形状变换通常在目标物识别中使用。图像的位置变换所谓图像的位置变换是指图像的大小和形状不发生变化，只是将图像进行平移、镜像和旋转。图像的位置变换主要是用于目标识别中的目标配准。图像的平移图像的平移非常简单，所用到的是中学学过的直角坐标系的平移变换公式：

注意：x方向与y方向是矩阵的行列方向。即：g(x,y)=f(x’,y’)图像的平移

——示例注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。下移1行，右移2列x=[1,2,3];y=[1,2,3]x’=[2,3,4];y’=[3,4,5]123123123451234图像的镜像所谓的镜像，通俗地讲，是指在镜子中所成的像。其特点是左右颠倒或者是上下颠倒。镜像分为水平镜像和垂直镜像。

图像的水平镜像水平镜像计算公式如下（图像大小为M*N）

因为表示图像的矩阵坐标不能为负，因此需要在进行镜像计算之后，再进行坐标的平移。（坐标平移）0-1-2-3123图像的水平镜像示例：123123123-1-2-3321123图像的垂直镜像垂直镜像计算公式如下（图像大小为M*N）

因为表示图像的矩阵坐标不能为负，因此需要在进行镜像计算之后，再进行坐标的平移。（坐标平移）图像的垂直镜像示例：123123123-1-2-3123321水平镜像示例垂直镜像示例图像的旋转图像的旋转计算公式如下：

这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在的范围不同。

因此需要前期处理：扩大画布，取整处理，平移处理

。θ图像旋转的前期处理

——画布的扩大图像旋转之前，为了避免信息的丢失，画布的扩大是最重要的。画布扩大的原则是：以最小的面积承载全部的画面信息。图像旋转的前期处理

——画布的扩大画布扩大的简单方法是：根据公式计算出x’和y’的最大、最小值，即x’min、x’max和y’min，y’max。画布大小为：x’max–x’min、y’max

–y’min。图像旋转的前期处理

——画布的扩大旋转后图像的画布大小为：例平移量为△x’=2;△y’=0。图像旋转

——

按照确定画布时的平移量取整结论：按照图像旋转计算公式获得的结果与想象中的差异很大。对原图的(1,1)像素，x=1,y=1取整后，该点在新图的(2,1)上。对原图的(1,2)像素，x=1,y=2取整后，该点在新图的(2,2)上。必须进行后处理操作。图像旋转的效果示例图像旋转后处理

——旋转后的隐含问题分析图像旋转之后，出现了两个问题：1）像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。这是因为相邻像素之间只能有8个方向（相邻为45度），如下图所示。2）会出现许多的空洞点。示例图像旋转后处理

——解决问题的思路出现问题的核心是像素之间的连接是不连续的。相邻像素的角度是无法改变的，所以只能通过增加分辨率的方法来从整体上解决这个问题。采用某种填补方法来填充空洞。图像旋转的后处理

——

插值邻近插值法：最简单的方法是行插值（列插值）方法。1）找出当前行的最小和最大的非背景点的坐标，记作：(i,k1)、(i,k2)。如右图有：(1,3)、(1,3);(2,1)、(2,4);(3,2)、(3,4)；(4,2)、(4,3)。图像旋转的后处理

——

插值2）在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法是：空点的像素值等于前一点的像素值。3）同样的操作重复到所有行。2）均值插值法将空穴周围像素点均值作为填充值图像旋转中的插值效果示例图像旋转的后处理

——

插值效果分析

经过插值处理之后，图像效果就变得自然。思考一个问题：边界的锯齿如何处理？2.极坐标变换方法极坐标变换方法是指将原图像的像素点的坐标在极坐标系中表示并进行旋转变换。极坐标系的变换，就是在极坐标系中平移之后，再进行极坐标系逆变换，就可以得到旋转图像。极坐标系变换：例：原图为其行列坐标分布为原图进行极坐标变换得：旋转30度，相当于变换后：变换后坐标为：3.反变换方法反变换方法就是从新图像的像素点坐标反过来计算对应原图像的坐标。步骤：1-确定画布大小2-确定变换后坐标变换范围3-进行反变换，求4-查找对应原图像坐标5.4图像的几何校正灰度插值5.4图像的几何校正图像旋转之后，出现了两个问题：1）像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。这是因为相邻像素之间只能有8个方向（相邻为45度），如下图所示。2）会出现许多的空洞点。5.4图像的几何校正解决思路出现问题的核心是像素之间的连接是不连续的。相邻像素的角度是无法改变的，所以只能通过增加分辨率的方法来从整体上解决这个问题。采用某种填补方法来填充空洞。像素灰度内插1-最近邻元法在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素灰度赋给该待求点。该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯齿状，即存在灰度不连续性。像素灰度内插2-双线性内插法双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在两个方向上作线性内插。该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。像素灰度内插3-三次内插法该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值函数sin(x)/x。其数学表达式为：待求像素(x,y)的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权内插得到。可推导出待求像素的灰度计算式如下：f(x,y)=A‧B‧C像素灰度内插法效果比较原始影像灰度表面最近邻内插法双线性内插法三次内插法图像的形状变换应用

——

目标物识别如图所示,要判别图中的某个果子是苹果还是李子,要将该图像进行放大或者是缩小,才能够进行正确的比较与识别。图像的缩小分为按比例缩小和不按比例缩小两种。图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩小。(a)按比例缩小(b)不按比例缩小图像缩小

——

实现思路图像缩小实际上就是对原有的多个数据进行挑选或处理，获得期望缩小尺寸的数据，并且尽量保持原有的特征不丢失。最简单的方法就是等间隔地选取数据。图像缩小

——

实现方法原理：该方法通过对原图像的均匀采样，等间隔地选取一部分像素，从而获得小尺寸图像的数据，并且尽量保持原有图像特征不丢失。6×63×3算法描述：设原图像大小为M×N,缩小为k1M×k2N，（k1<1，k2<1）。算法步骤如下：1）设旧图像是f(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.

新图像是g(i,j),i=1,2,…,k1M,j=1,2,…,k2N.2）计算采样间隔Δi=1/k1，Δj=1/k23）g(i,j)=f(Δi×i,Δj×j)例题:缩小6×6的图像，设k1=2/3,k2=3/4;f21f23f24f25f26f31f33f34f35f36f51f53f54f55f56f61f63f64f65f66则采样间隔为：Δi=3/2，Δj=4/3对于：i=1，j＝1→

g(1,1)=f(1×3/2,1×4/3)＝f21对于：i=1，j＝2→

g(2,1)=f(3×3/2,1×4/3)＝f31……………f11f12f13f14f15f16f21f22f23f24f25f26f31f32f33f34f35f36f41f42f43f44f45f46f51f52f53f54f55f56f61f62f63f64f65f66注意：不按比例缩小会导致几何畸变。g(i,j)=f(Δi×i,Δj×j)原图像f（i,j)＝fij新图像g（i,j）f11f12f13f14f15f16f21f22f23f24f25f26f31f32f33f34f35f36f41f42f43f44f45f46f51f52f53f54f55f56f61f62f63f64f65f66新图像大小：k1M×k2N＝4×55.4图像的几何校正例：取：2，3，4，6，7，8列；2，3，4行取：2，3，5，6列；2，4行等比例：不等比例：图像缩小

——

例题K1=0.6,k2=0.7479101112131516171825272829303133343536i=[1,6],j=[1,6].x=[1,6*06]=[1,4],y=[1,6*0.75]=[1,5].x=[1/0.6,2/0.6,3/0.6,4/0.6]=[1.67,3.33,5,6.67]=[i2,i3,i5,i6],y=[1/0.75,2/0.75,3/0.75,4/0.75,5/0.75]=[j1,j3,j4,j5,j6].123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536基于局部均值的图像缩小方法由于间隔采样方法简单，但是没有选取到的信息无法反映在缩小后的图像中，为解决这个问题，可以采用基于局部均值的方法来进行图像缩小。步骤如下：(1)计算新图像的大小，计算采样间隔Δi=1/k1，Δj=1/k2(2)对新图像的像素（i,j)，计算其在原图像中对应的子块f(i,j)：

（3）根据下式求出缩小的图像：例题：k1=0.7,k2=0.6→Δi=1.4,Δj=1.7图像放大有两种：按比例放大或不按比例放大。图像放大从字面上看，是图像缩小的逆操作。但是，从信息处理的角度来看，图像缩小是对信息的一种简化，而图像放大则需要为增加的像素填入适当的灰度值，是对未知信息的估计。两种图像放大方法：

（1）基于像素放大原理的图像放大方法

（2）基于双线性插值的图像放大方法图像放大6.2.2.1基于像素放大原理的图像放大方法基本思想是：如果需要将原图像放大k倍，则将原图像中的每个像素值，填在新图像中对应的k×k大小的子块中。放大5倍

当图像放大k1×k2倍，就好像每个像素放大了k1×k2倍。算法描述：

设原图像大小为M×N,放大为k1M×k2N，（k1>1，k2>1）。算法步骤如下：1）设原图像是F(i,j):i=1,2,…,M;j=1,2,…,N.

新图像是G(i,j):i=1,2,…,k1M;j=1,2,…,k2N.2）计算采样间隔：Δi=1/k1

Δj=1/k23）G(i,j)=f(Δi×i,Δj×j)例题k1=1.2,k2=2.5→Δi=0.83;Δj=0.4G(3,4)的板书计算G(i,j)=f(Δi×i;,Δj×j;)图像成倍放大图像大比例放大时的马赛克效应放大10倍

4.2.2.2基于双线性插值的图像放大方法

基于双线性插值的图像放大方法能够有效消除图像高倍放大时出现的“马赛克现象”，使得图像的放大效果更加自然。算法步骤如下：

(1)按照基于像素放大原理的图像放大方法，确定每一个原图像的像素在新图像中对应的子块。(2)对新图像中每一个子块，仅对其一个像素进行填充。在每个子块中选取一个填充像素的方法如下：对右下角的子块，选取子块中右下角的像素；对末列、非末行子块，选取子块中的右上角像素；对末行、非末列子块，选取子块中的左下角像素；对剩余的子块，选取子块中的左上角像素。(3)通过双线性插值方法计算剩余像素的值。对所有填充像素所在列中的其他像素的值，可以根据该像素的上方与下方的已填充的像素值，采用双线性插值方法计算得到。第i2行g(i1,j)g(i2,j)g(i,j)第i1行第i行第j列对剩余像素的值，可以利用该像素的左方与右方的已填充像素的值，通过线性插值方法计算得到。

g(i,j1)g(i,j2)g(i,j)第j1

列第j列第j2列第i行图像的错切效果6.2.3图像错切图像的错切变换可看成是平面景物在投影平面上的非垂直投影效果。错切变换可分为两种。一种是水平错切，水平方向的线段发生倾斜。另一种是垂直错切，垂直方向的线段发生倾斜。错切的计算公式如下：图像错切的例题

可以看到，错切之后原图像的像素排列方向发生改变。与前面旋转不同的是，沿x方向或y方向独立变化。

利用三角函数的性质，可以利用错切来实现图像的旋转。因为图像旋转角度用矩阵形式表示为所以，图像旋转可以分解成三次图像的错切来实现。（3）利用错切实现图像的旋转6.3图像的仿射变换图像仿射变换提出的意义是采用通用的数学变换公式，来表示前面给出的几何变换。为了能够采用统一变换公式表示平移变换，引入齐次坐标概念。平移公式：6.3.1齐次坐标原坐标为(x,y)，定义齐次坐标为：（wx,wy,w）

这里，令系数w取值为1，即像素（i，j）的齐次坐标为（i，j，1）。6.3.2仿射变换可以定义仿射变换如下：有了齐次坐标，就可以用矩阵形式表示为：图像的平移：图像的旋转：6.3.3仿射变换表示图像的几何变换6.3.3仿射变换表示图像的几何变换图像的水平镜像：图像的垂直镜像：6.3.3仿射变换表示图像的几何变换图像的水平错切：图像的垂直错切：投影变换是指在某个视点下，三维物体在平面上的投影。术语：视点；投影面；投影线如下图所示，当视点位于z轴（0,0,h)，物体上的点p(x,y,z)在平面上的投影P(X,Y,0)的计算公式如下：xyzVp=(0,0,h)

视点p(x,y,z)

空间上的点P(X,Y,0)

投影面上的点6.4投影变换例题z=0时，X=hx/h=x,Y=hy/h=yz=1时，X=hx/(h-1)=1.5xY=hy/(h-1)=1.5y所以：P1=(1,1)P2=(2,1)P3=(1,2)P4=(2,2)P5=(1.5,1.5)P6=(3,1.5)P7=(1.5,3)P8=(3,3)

已知立方体的8个顶点：p1=(1,1,0)p2=(2,1,0)p3=(1,2,0)p4=(2,2,0)P5=(1,1,1)p6=(2,1,1)p7=(1,2,1)p8=(2,2,1)

假设视点位于(0,0,3)，即h=3，求立方体各顶点在XOY平面上的投影。p1p3p4p2p5p6p7p8xzy投影变换的结果:

根据视点到投影面之间的距离是否为无穷远，将投影方式分为透视投影和平行投影两种。6.4.1透视投影

视点到投影面之间的距离有限。透视投影的特点是：模拟了照相机的拍摄效果，如平行线的投影可能不再保持平行；近处物体的投影相对要大些。立方体的透视投影效果透视投影效果原理示意图

视点位于无穷远，因此只须指明投影方向与投影平面。平行投影的特点是：平行线的投影仍然保持平行，投影结果与物体到投影面的距离无关。6.4.2平行投影立方体的平行投影效果平行投影原理示意图6.5图像几何畸变的校正

当镜头没有正对拍摄目标物时，即目标物不是垂直于成像面上时，就会发生几何畸变。

常见的有枕形或桶形的图像畸变，例如二维条码图像的畸变：

目标物成像结果发生形状变化实际目标物几何位置变化实际成像结果集合校正结果几何校正方法

图像几何校正的基本方法是先建立几何校正的数学模型；其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行几何校正。几何校正通常分两步：①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系，解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对图像各个像素坐标进行校正；②确定各像素的灰度值（灰度内插）。校正两种途径：根据畸变原因，建立数学模型（实际情况复杂不适用）参考点校正法－－推算全图变形函数，前提是足够多的参考点。abdca’c’b’d’a（旧）实际采到

b（新）

可建立：A=HB

校正后

变换矩阵待校正a—a’对应点对，图中有4个对应点对，求H，一般为N对

同名点有两幅图像，一幅为没有畸变的基准图像（由没有畸变或畸变小的摄像系统获得），另一幅为发生畸变的图像，是被校正图像设两幅图像坐标系统之间几何畸变关系能够用解析式来描述：空间坐标变换(x,y)(x’,y’)若h1和h2均已知，则可以从一个坐标系统的像素坐标计算出另一个坐标系统的对应像素的坐标若h1,h2函数未知，则需要选取控制点来进行校正

通常h1(x，y)和h2(x，y)可用多项式来近似当n=1时（n为多项式次数），畸变关系为线性变换

上述式子中包含a00、a10、a01、b00、b10、b016个未知数，至少需要3个已知点来建立方程式，解求未知数。

当n=2时，畸变关系式为包含12个未知数，至少需要6个已知点对来建立关系式，解求未知数。当已知点数目超过6时，用最小二乘解：谢谢

常见的有枕形或桶形的图像畸变，可以通过下面定义的线性几何变换对其进行校正：

变换参数可通过选取3个对应点的坐标来确定。

（x’,y’）、（x,y）分别代表失真前后的图像象素坐标图像放大

——

实现思路最简单的思想是，如果需要将原图像放大为k倍，则将原图像中的每个像素值，填在新图像中对应的k*k大小的子块中。放大5倍显然，当k为整数时，可以采用这种简单的方法。图像放大

——

实现方法设原图像大小为M*N,放大为k1M*k2N，（k1>1，k2>1）。算法步骤如下：1）设旧图像是F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.

新图像是G(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.2）G(x,y)=F(c1*i,c2*j)

c1=1/k1c2=1/k2K1=1.5,k2=1.212