结构力学 04 三铰拱

第4章

三铰拱了解三铰拱的受力特点掌握三铰拱的内力计算方法理解合理拱轴线的概念和几种常见的合理拱轴线教学目标Contents目录您的目录标题写在这里(普通样式)1您的目录标题写在这里(突出样式)3您的目录标题写在这里(普通样式)5您的目录标题写在这里(普通样式)2您的目录标题写在这里(普通样式)4概述§4.1拱是轴线（截面形心的连线）为曲线且在竖向荷载下会产生水平反力的结构。拱结构是应用比较广泛的结构型式之一。在房屋和桥梁建筑中，经常用到拱结构。拱结构通常有三种常见的形式，其计算简图如图，图（a）、（b）所示的无铰拱和两铰拱是超静定结构。图（c）所示的三铰拱为静定结构。概述§4.1拱结构的特点是：杆轴为曲线，而且在竖向荷载作用下支座将产生水平力。这种水平反力又称为水平推力，或简称为推力。拱结构与梁结构的区别，不仅在于外形不同，更重要的还在于竖向荷载作用下是否产生水平推力。拱结构最高的一点称为拱顶，三铰拱的中间铰通常是安置在拱顶处。拱的两端与支座联结处称为拱趾，或称拱脚。两个拱趾间的水平距离l称为跨度。拱顶到两拱趾连线的竖向距离f称为拱高，或称拱矢。如图（a）所示。拱高与跨度之比f/l称为高跨比或矢跨比。由后面可知，拱的主要力学性能与高跨比有关。三铰拱的内力计算§4.2三铰拱为静定结构，其全部反力和内力都可由静力平衡方程求出。为了说明三铰拱的计算方法，现以图（a）为例，导出其计算公式。1.支座反力的计算公式三铰拱的两端都是铰支座，因此有四个未知反力，故需列四个平衡方程进行解算。除了三铰拱整体平衡的三个方程之外，还可利用中间铰处不能抵抗弯矩的特性(即弯矩Mc=0)来建立一个补充方程。三铰拱的内力计算§4.2从求解结论，可以看出，图(a)和(b)相应的竖向支座反力相同水平支座反力右边的分子，等于相应简支梁上与拱的中间铰位置相对应的截面C的弯矩M0C。由此可得：三铰拱的内力计算§4.2由上式可知，推力FX等于相应简支梁截面C的弯矩MC0除以拱高f。其值只与三个铰的位置有关，而与各铰间的拱轴形状无关。换句话说，即只与拱的高跨比f/l有关。当荷载和拱的跨度不变时，推力FX将与拱高f反比，即f愈大则FX愈小，反之，f愈小则FX愈大。三铰拱的内力计算§4.22.内力的计算公式计算内力时，应注意到拱轴为曲线这一特点，所取截面与拱轴正交，即与拱轴的切线相垂直，截面K的内力可以分解为弯矩MK、剪力FSK和轴力FNK，其中FSk沿截面方向，即沿拱轴法线方向作用，轴力FNK沿垂直于截面的方向，即沿拱轴切线方向作用。

三铰拱的内力计算§4.2（1）弯矩的计算公式弯矩的符号，规定以使拱内侧纤维受拉的为正，反之为负。取AK段为隔离体，如图(c)得截面K的弯矩由三铰拱的内力计算§4.2（2）剪力的计算公式剪力的符号，通常规定以使截面两侧的隔离体有顺时针方向转动趋势的为正，反之为负。以AK段为隔离体，如图(c)，由平衡条件得可得：三铰拱的内力计算§4.2（3）轴力的计算公式因拱轴通常为受压，所以规定使截面受压的轴力为正，反之为负。取AK段为隔离体，如图（c），由平衡条件可得：三铰拱的内力计算§4.2例4.1

图4.5（a）所示为一三铰拱，其拱轴为一抛物线，当坐标原点选在左支座时，拱轴方程为：三铰拱的内力计算§4.2解：先求支座反力，可得反力求出后，即可用截面法求解内力图。为此，将拱跨分成八等分，列表算出各截面上的M、FS、FN值，然后根据表中所得数值绘制M、FS、FN图。三铰拱的内力计算§4.2三铰拱的内力计算§4.2三铰拱的内力计算§4.2三铰拱的压力线和合理拱轴线§4.31、拱的压力线三铰拱任一截面上一般有弯矩、剪力和轴力三个内力，它们可以合成为作用于该截面的一个合力。因为拱截面上的轴力通常为压力，所以合力称为该截面的总压力。三铰拱各截面总压力作用点的连线，称为三铰拱的压力线。压力线表示拱截面合力偏离开心的程度，偏心距越小，则作用于截面上的弯矩越小。由于左右两个支座及拱顶处的弯矩为零，因此压力线必定通过三个铰的中心。对于砖、石及混凝土材料的拱，若要求截面不出现拉应力，则压力线不应超出截面核心的范围。2、拱的合理轴线在一般情况下，三铰拱截面上有弯矩、剪力和轴力，处于偏心受压状态，其正应力分布不均匀。但是，我们可以选取一根适当的拱轴线，使得在给定荷载作用下，拱上各截面只承受轴力，而弯矩为零，这样的拱轴线称为合理轴线。可得三铰拱的压力线和合理拱轴线§4.3三铰拱的压力线和合理拱轴线§4.3例4.2试求图（a）所示对称三铰拱在均匀荷载q作用下的合理拱轴线。解：作出相应简支梁如图（b）所示，其弯矩方程为合理轴线方程小结1.静定拱主要有三铰拱和带拉杆的三铰拱。它们是由曲杆组成，在竖向荷载作用下，支座处有水平反力的结构。水平推力使拱上的弯矩比同情况下的梁的弯矩小得多。因而材料可以充分得