中学数学解题方法(第二章数学问题发现与解决的基本方法)

第二章数学问题发现与解决的基本方法数学的真正组成部分是问题和解．数学研究主要的就是发现问题和解决问题．

——Halmos（美国）数学发现与解决的基本方法包括：观察与联想、尝试与实验、猜想与归纳、类比与推广．

第一节观察与联想1.1观察的意义和作用观察，就是“仔细察看”

从心理学的角度看，观察是一种有目的、有计划、有步骤的、主动的、对思维起积极作用的感知活动．包括感觉和知觉．

从信息论的角度看，观察是外部环境的信息通过感官输送到大脑皮层，经过加工处理，感知外部世界的过程．包括信息的输入和信息的初步加工．

从认识论的角度看，观察是人类科学认识的一种重要实践活动，是获取感性经验的科学事实的根本途径．

从方法论的角度看，观察是人们通过感官，或借助于一定的科学仪器，对客观对象在自然条件下，有目的、有计划、有步骤地进行考察和描述的一种方法．

观察是认识主体通过感官对客体的认识（活动）过程．

观察是人类科学认识中最重要的实践活动，是搜索、获取经验材料和科学事实的基本途径；观察是进行科学研究的基点，是一切发明创造的源头；同时，观察还是检验科学认识真理性的标尺．1.2联想的意义和作用

联想——“举一反三”、“由此及彼”和“触类旁通”1．接近联想

接近联想指的是由概念、原理、法则的接近而产生的联想，也称为形似联想．它是由数学问题的已知条件和结论的呈现状态与结构特征，联想到相关或相似的定义、定理、公式和图形等，是一种由此及彼、由表及里的联想．2．类比联想

类比联想指的是根据数学问题的总体特征，从具有类似或相似特征的数、式、图形以及详尽内容或性质等角度进行的联想，也称为对比联想．3．关系联想

关系联想指的是根据知识之间的从属关系、一般关系、因果关系以及其内在联系进行的联想．4．逆向联想

逆向联想指的是从问题的正面想到其反面时进行的联想．逆向联想在解题方法上表现为间接法，如反证法、同一法等．逆向联想通常在从正面解题难于实现时运用．5．横向联想

横向联想指的是借助存在于数学知识各分支之间，乃至数学知识与其他学科知识之间的相互联系而进行的联想．1.3观察与联想在数学解题中的应用举例

例3求证：正四面体内任意一点到四面体各面的距离之和为定值．

第二节尝试与转换

2.1尝试的意义和作用

尝试即试探性解题．

尝试是探索性思维的重要表现形式之一，它在数学问题的发现与解决过程中通常是与数学问题的等价转换共同发挥作用的．2.2转换的意义和作用

数学问题的发现与解决过程，究其实质，就是问题的连续等价转换、连续化简的过程．转换的基本方法（1）简单化转换

考虑符合题意的最简单情形，尝试解决，而后将解题策略迁移到一般情形．（2）特殊化转换

将不易发现解题策略的问题作特殊化转换是一种常用而且重要的方法．在进行特殊化转换时，借助特殊点、特殊值、特殊情形最为常用．（3）极端化转换

数学问题的极端情形的求解策略与一般情形的求解策略往往存有共性，极端情形的求解策略往往能为一般情形的求解策略提供启示．（4）分解式转换

从问题的整体结构入手，将问题分解还原为若干个小问题，使问题分解转换为容易解决的小问题，而后各个击破，从而完成问题的求解．（5）逆行式转换

顺推受阻，尝试逆推；直接求解受阻，尝试间接求解；正面入手困难，尝试反面入手．（6）变焦式转换

转换观察问题的视角，或变换论题，或跨越知识分支审视问题，或数形互换，从而发现最容易突破解题障碍的方向与方案．2.3尝试与转换在数学解题中的应用举例

第三节猜想与归纳

3.1猜想的意义和作用

猜想指的是在数学问题的发现与解决过程中，通过对特殊情形下数学问题的观察、联想，捕捉其本质属性，进而大胆猜想，得出一般情形下的数学结论或方法．

没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现．

——牛顿3.2归纳的意义和作用

以对特殊情形下数学问题的观察、联想为基础，以大胆猜想为前提，得出归纳判断，而后对归纳判断加以论证，确定其真实性，这一方法的思维基础便是归纳思想．

归纳思想在数学问题的发现与解决过程中具体体现为归纳推理，归纳推理的方法称为归纳法．

数学问题发现与解决过程中的归纳法，指的是通过对同一类数学问题的特殊情形的研究，进而得出一般结论的方法．3.3猜想与归纳在数学解题中的应用举例

第四节类比与推广

4.1类比的意义和作用

类比指的是通过对一个事物的认识来认识与之相似的另一事物的认识方式．

相似的系统在某个方面彼此一致，类比的系统则其相应部分在某些关系上相似；如果两个系统各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上一致的话，那么这两个系统就可作类比．——波利亚

在数学里发现真理的主要工具是归纳和类比．

——拉普拉斯

我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它是最不容忽视的．

——开普勒

类比是一种“合情”的“似然”推理，其结论的正确性必须经过进一步的论证．这是因为，类比的推理过程中使用的“相似”本身就是不确定的．4.2推广的意义和作用

推广是一种“合情”的“似然”推理，其前提与结论之间的因果关系不是必然、而是或然的．因此，数学问题推广所得结论的正确性必须经过进一步的论证．

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