山西省忻州市业余少体校2023年高三数学文下学期期末试卷含解析

山西省忻州市业余少体校2023年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，且，则向量与夹角的大小为

A.

B.

C.

D.参考答案：C2.如果命题“p且q”的否定为假命题，则（）A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题参考答案：A【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据命题的否定求出”p且q”是真命题，从而判断命题的真假．【解答】解：若“p且q”的否定是假命题，则“p且q”是真命题，故p，q均是真命题，故选：A．3.数列前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为（

）A.

B.

C.

D.4参考答案：C4.已知函数（其中），则函数f(x)零点的个数为（

）个A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】求导得到得到函数单调区间，计算，得到答案.【详解】（其中）.故或时，时，即在和单调递减，在单调递增.由于，而，所以，又，所以函数有唯一零点故选：.【点睛】本题考查了函数的零点问题，求导得到函数的单调区间是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求做答.5.已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣参考答案：D【分析】设C（x，2x2），得出关于x的函数，根据函数性质求出最小值．【解答】解：设C（x，2x2），则=（4，4），=（x+1，2x2﹣1），∴=4（x+1）+4（2x2﹣1）=8x2+4x=8（x+）2﹣．∴当x=﹣时取得最小值﹣．故选D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，函数最值得计算，属于中档题．6.若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是（

）A．10 B．11 C．13 D．14参考答案：D【知识点】简单的线性规划问题E5当x时，2y=-x+z表示的是斜率为-1截距为z的平行直线系，当过点（1,5）时，截距最大，此时z最大，=1+2=11，当x<0时，2y=x+z表示的是斜率为-1截距为z的平行直线系,当过点（-4,5）时，=4+2=14.

【思路点拨】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．7.设函数，，给定下列命题：①若方程有两个不同的实数根，则；②若方程恰好只有一个实数根，则；③若，总有恒成立，则；④若函数有两个极值点，则实数.则正确命题的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C对于①，的定义域，，令有即，可知在单调递减，在单调递增，，且当时，又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，所以，故①正确对于②，易知不是该方程的根，当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，，又且，令，即，有，知在和单减，在上单增，是一条渐近线，极小值为。由大致图像可知或，故②错对于③

当时，恒成立，等价于恒成立，即函数在上为增函数，即恒成立，即在上恒成立，令，则，令得，有，从而在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则，于是，故③正确.对于④

有两个不同极值点，等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，由③可知，，即，则④正确.故正确命题个数为3，故选.8.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为（）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【知识点】三角函数图像变换因为为偶函数，所以得，

向右平移个单位得到，当时，为奇函数图象关于原点对称。故答案为：B9.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．E5F3

【答案解析】B

解析：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，?=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，?=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，?=﹣1×0+1×2=2故和取值范围为[0，2]故选B.【思路点拨】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到?的取值范围．10.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于(

) A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：D考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案．解答： 解：∵数列{an}是各项不为0的等差数列，由a4﹣2+3a8=0，得，，，∴，解得：a7=2．则b7=a7=2．又数列{bn}是等比数列，则b2b8b11=．故选：D．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间上的最大值是________________参考答案：略12.在数列中，，，是数列的前项和，当不等式恒成立时，的所有可能取值为

.参考答案：或或试题分析：由得，即，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，所以，由，，所以即，当时，该不等式不成立，当时有恒成立，当时，，，这时，当时，，，这时或，当时，不成立，所以的所有可能取值为或或.考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题.【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力.13.的展开式中的常数项为______________(用数字作答)

参考答案：24略14.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若，，，，则此球的表面积等于

.

参考答案：略15.命题“,”的否定是

；参考答案：略16.若函数的最小正周期是π，则实数=__________．参考答案：±2函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）最小正周期是,即所以±2故答案为±2

17.欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是

．参考答案：由几何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间及极值.（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围.参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】（Ⅰ）极小值为1+ln2，函数无极值.（2）（Ⅰ）函数的定义域为，

，当a=0时，，则，∴的变化情况如下表x(0，)(，+∞)-0+极小值∴当时，

的极小值为1+ln2，函数无极值.

（Ⅱ）由已知，得，

若,由得,显然不合题意，

若∵函数区间是增函数，

∴对恒成立，即不等式对恒成立，

即

恒成立，

故，而当，函数，

∴实数的取值范围为．

另解:∵函数区间是增函数，

对恒成立，即不等式对恒成立，

设，恒成立恒成立，

若，由得，显然不符合题意；

若，由，无解，显然不符合题意；

若，

，故，解得，所以实数的取值范围为．【思路点拨】（Ⅰ）首先确定函数的定义域（此步容易忽视），把代入函数，再进行求导，列的变化情况表，即可求函数的极值；（Ⅱ）先对函数求导，得，再对分和两种情况讨论（此处易忽视这种情况），由题意函数在区间是增函数，则对恒成立，即不等式对恒成立，从而再列出应满足的关系式，解出的取值范围．19.如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域﹣﹣养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA=1cm，，∠AOC=θ．（1）用θ表示CD的长度；（2）求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和）的取值范围．参考答案：解：（1）由CD∥OA，∠AOB=，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=，∠COD=﹣θ．在△OCD中，由正弦定理，得CD=sin（），θ∈（0，）（2）设渔网的长度为f（θ）．由（1）可知，f（θ）=θ+1+sin（）．所以f′（θ）=1﹣cos（），因为θ∈（0，），所以﹣θ∈（0，），令f′（θ）=0，得cos（）=，所以﹣θ=，所以θ=．θ（0，）（，）f′（θ）+0﹣f（θ）

极大值

所以f（θ）∈（2，]．故所需渔网长度的取值范围是（2，]．略20.（12分）函数在区间内可导，导函数是减函数，且．设，是曲线在点处的切线方程，并设函数．

（Ⅰ）用、、表示m；

（Ⅱ）证明：当，；（Ⅲ）若关于x的不等式在上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系．参考答案：解析：（Ⅰ）

……2分

（Ⅱ）证明：令

因为递减，所以递增，因此，当；当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即

……6分

（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

对任意成立的充要条件是

另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为

于是的充要条件是

……10分

综上，不等式对任意成立的充要条件是

①

显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式

②

有解、解不等式②得

③

因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.

……12分

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

对任意成立的充要条件是

……8分

令，于是对任意成立的充要条件是

由

当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即

………10分

综上，不等式对任意成立的充要条件是

①

显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式

②

有解、解不等式②得

因此