函数的单调性与曲线的凹凸性

1函数单调性的判别法函数单调区间的求法小结思考题作业6.4函数的单调性与

曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法第6章微分中值定理与导数的应用2定理6.8单调增加;单调减少.一、函数单调性的判别法设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.那末函数y=f(x)在[a,b]上那末函数y=f(x)在[a,b]上3证

拉氏定理(1)(2)

此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注若在(a,b)内,若在(a,b)内,因为所以y=f(x)在[a,b]上单调增加;因为所以y=f(x)在[a,b]上单调减少.4例解定义域为因为所以所以5方法问题如上例,函数在定义区间上不是单调的,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的分界点．二、函数单调区间的求法但在各个部分区间上单调.则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的点划分函数f(x)的定义区间,6例解定义域单调区间为单调区间.7例解单调减少区间为定义域单调增加区间为导数不存在.(1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分界点。如,注单调增加.(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零,不影响区间的单调性.如,内可导,且等号只在(无穷多个离散点)处成立,故内单调增加.9例单调性的应用:(1)证明不等式.证10例证

定不出符号11即(a)

方程根的存在性：零点定理(b)

方程根的唯一性：Rolle定理或单调性(c)

方程根的个数：须确定单调区间，由区间端点的单侧极限，结合零点定理确定根的个数以及根所在的区间。(2)确定某些方程实根的个数单调性的应用:解由零点定理，所以，因此，f(x)的图形与x轴至多有一个交点，所以，即原方程有且仅有一个根。例判断方程有几个实根,并指出各个根所在的区间.

方法：须确定单调区间、区间端点值（或单侧极限），从而判定根的个数以及根所在的区间。解列表不存在有一根有一根有一根16?(concaveandconvex)三、曲线凹凸性的判别法1.定义如何研究曲线的弯曲方向17定义6.1恒有凹(凸)图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方如果对(a,b)内任意两点x1,x2,那么称f(x)在(a,b)内的图形是的.18曲线弧上每一点的切线都在曲线的下或定义

(上)方,称为凹

弧.(凸)凹弧的曲线段f(x)的切线斜率是单增的,是单增的,弧的切线斜率是单减的,是单减的.而凸利用二阶导数判断曲线的凹凸性从几何直观上,随着x的增大,19定理6.9具有二阶导数,凹(凸)2.凹凸性的判别法如果

f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内在(a,b)内,在[a,b]上的图形是的.则

f(x)20证即这说明切线位于曲线的下方,

泰勒公式即f(x)是凹的.例解注凸变凹的分界点.例利用函数图形的凹凸性证明不等式:凹凸性的应用：证明不等式22即证设图形是凹的.证法一用单调性证.法二用凹凸性证.例设则即1.定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.几何上二、曲线的拐点及其求法25拐点的充分条件2.拐点的求法

拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件若f(x)具有二阶导数,则点(1)(2)(x0,f(x0))是拐点的必要条件为(或x0为二阶导数不存在的点)设函数f(x)在点x0邻域内二阶可导,点(x0,f(x0))即为拐点;点(x0,f(x0))不是拐点.一般求拐点的步骤求二阶导数;

求二阶导数的零点与二阶不可导点;求相应区间的二阶导数符号,判别凹凸性;求拐点.(1)(2)(3)(4)27例解不存在定义域为(1)(2)(3)列表拐点拐点28例解拐点的第二充分条件设函数f(x)在x0的邻域内是曲线y=f(x)的拐点.三阶可导,那末(x0,f(x0))29例解30例的单调区间、凹凸区间和拐点.解不存在,不存在拐点单调增加区间单调减少区间凸区间凹区间不存在31练习考研数学(三,四)10分设函数y=y(x)由方程确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.解两边对x求导得解得两边对x再求导得32练习考研数学(三,四)10分设函数y=y(x)由方程确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.由于二阶导函数的附近是连续函数,所以由的附近故曲线y=y(x)在点(1,1)附近是凸.33五、小结单调性的判别单调性的应用:改变弯曲方向的点:凹凸性;拐点;利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.研究曲线的弯曲方向:凹凸性的应用:利用凹凸性证明不等式.34证只要证令所以即有得思考题1也即35作业习题6.4(219页)1.5.奇数题6.(1)(3)(9)(12)7.9.(2)(4)10.(2)(3)12.36思考题2考研数学二,8分证明不等式证先证右边不等式.设单调减少,故有即37思考题2考研数学二,8分证明不等式再证左边不等式.方法一设函数由拉氏定理知,至少存在一点使由于从而38思考题2考研数学二,8分证明不等式再证左边不等式.方法二设因为单调增加,故有即从而即39考研数学(一,二)12分练习证法一则所以单调减少,从而单调增加.因此即故40练习证法二对函数所以单调减少,从而在[a,b]上应用拉氏定理,得设则即即考研数学(一,二)12分41证练习若令则只须证明g(x)单调增加.而

拉氏定理

g(