机械振动4两自由度系统的动力学方程

两自由度系统的振动第四章1《振动力学》kcm建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对汽车的上下振动进行动力学建模例子：汽车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响优点：模型简单（单自由度）分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合2《振动力学》k2c2m车m人k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响需两个独立坐标3《振动力学》m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车m轮m轮建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？需多个独立坐标4《振动力学》本章教学内容§4.1自由振动§4.2静力耦合和动力耦合§4.3任意初始条件的自由振动§4.4简谐激励的强迫振动§4.5动力减振器5《振动力学》两自由度系统的动力学方程一般由两个联立的微分方程组成。两自由度系统以固有频率进行的振动，这种相对固定的位移形态称为固有振型，或模态。解两个联立的微分方程会得到两个特征根，即两个固有频率。有两个相对固定的位移形态。§4.1自由振动6《振动力学》m1m2k1k2k3x1x2k1x1k2(x1-x2)m1k2(x1-x2)m2k3x2

写成矩阵形式：其中：实例：刚度矩阵质量矩阵7《振动力学》找x1与x2同步运动的解：代入方程得：（4.1-4）要使上式有解，必须：8《振动力学》与单自由度振动的方程一样，要有振动，λ必须为正实数。代入方程得：（4.1-9）代数方程，有非零解的条件：特征行列式，（4.1-10）9《振动力学》10《振动力学》11《振动力学》12《振动力学》m1m2k1k2k3x1x2解：方程其中：例4.1-1：13《振动力学》m1m2k1k2k3x1x2111-0.514《振动力学》解：方程其中：例4.1-2：15《振动力学》例4.1-2：求扭转振动系统的固有频率和固有振型两圆盘转动惯量轴的扭转刚度建立方程：16《振动力学》特征方程：特征根：17《振动力学》节面处始终保持不动。118《振动力学》例4.1-3讨论汽车简化模型，试建立系统的动力学方程。k1k2ABCOal1l2O0xθ设刚性杆AB的质量为m，相对质心C的转动惯量为J，弹簧刚度系数为k1、k2，以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平衡位置的偏角为θ。19《振动力学》解：以x、θ为广义坐标k1k2ABCOal1l2O0xθ系统的动能：θ为小量20《振动力学》两弹簧的伸长量：k1k2ABCOal1l2O0xθ系统的势能：θ为小量21《振动力学》2个自由度系统的拉格朗日方程：：广义坐标：拉格朗日函数：对应于非保守广义力此处为x和θ。自由振动时，Qi为0。代入拉格朗日方程，得：22《振动力学》代入拉格朗日方程，得：矩阵形式：存在惯性耦合存在弹性耦合2个自由度系统的拉格朗日方程：23《振动力学》如果O点选在质心C：只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合：作用在质心上的外力合力和合力矩24《振动力学》如果O点选在这样一个特殊位置，使得：只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合这个特殊位置称为系统的刚度中心25《振动力学》m1m2k1k2m3k3x1x2x3例5.1.2：试建立右图系统的动力学方程。解1：广义坐标：x1、x2、x3，均以静平衡位置为原点。系统的势能：系统的动能：设某一瞬时：分别有位移速度为26《振动力学》：对应于非保守广义力自由振动时，Qi为0。代入拉格朗日方程：得：27《振动力学》写成矩阵形式：其中：28《振动力学》受力分析：Q1(t)k1x1k2(x1-x2)m1Q2(t)k2(x1-x2)m2k3(x2–x3）解2：用牛顿力学方法，设广义坐标：x1、x2、x3，均以静平衡位置为原点。设某一瞬时：分别有位移加速度为m1m2k1k2m3k3x1x2x3Q3(t)k3(x2-x3)m329《振动力学》Q1(t)k1x1k2(x1-x2)m1Q2(t)k2(x1-x2)m2k3(x2–x3）Q3(t)k3(x2-x3)m3写成矩阵形式：其中：30《振动力学》5.1.3刚度矩阵与柔度矩阵动力学方程组有明确的物理意义。刚度矩阵K的元素kij(i=1,2,…,n)称为刚度影响系数。现考虑静变形的特殊情况，即令方程：中的加速度项为0，那么弹性恢复力与非保守力平衡：对任意的i，若只有一个qj=1，其它q均为0，则kij=Qi31《振动力学》对任意的i，若只有一个qj=1，其它q均为0，则kij=Qi刚度影响系数kij可理解为：使系统仅产生沿qj坐标的单位位移时，必须施加与qi坐标对应的广义力。利用这个意义，我们可以求出刚才例子的各刚度影响系数。ki1：只有q1=1，其它q均为0，k11=

Q1,k21=

Q2,k31=

Q3。ki2：只有q2=1，其它q均为0，k12=

Q1,k22=

Q2,k32=

Q3。ki3：只有q3=1，其它q均为0，k13=

Q1,k23=

Q2,k33=

Q3。32《振动力学》m1m2k1k2m3k3x1x2x3令

令令得刚度矩阵：kij可理解为：使系统仅产生沿qj坐标的单位位移时，必须施加与qi坐标对应的广义力。33《振动力学》考虑M：√假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移即：q=0则有：有了刚度矩阵，还需要质量矩阵，才能写出作用力方程：若只有qj=1,其它q=034《振动力学》使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第j列。结论：质量矩阵M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力根据其物理意义可以直接求出质量影响系数mij和刚度影响系数kij。然后写出矩阵M

和K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。35《振动力学》m1m2k1k2m3k3x1x2x3令

令令得质量矩阵：对右图求质量矩阵。质量矩阵M中的元素mij是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力Qi。有了刚度矩阵和质量矩阵就可以写出动力学方程。36《振动力学》柔度矩阵将动力学方程：各项左乘K的逆阵K-1：其中，F=K-1称为系统的柔度矩阵，其元素fij(i,j=1,2,…,n)称为柔度影响系数。D=FM称为系统的动力矩阵。考虑在静变形时，各广义加速度均为0，方程变为：这又称为位移方程37《振动力学》因此，柔度影响系数fij可理解为：对系统仅施加与qj坐标对应的单位广义力时，沿qi坐标所产生的位移。柔度矩阵也是对称矩阵，它与刚度矩阵互为逆阵，若刚度矩阵正定，柔度矩阵也正定。但动力矩阵D=FM通常不是对称矩阵。若令Q=0，得到保守系统自由振动的另一种形式的动力学方程。38《振动力学》对3个自由度的质量—弹簧系统，可以利用柔度影响系数的物理意义求出柔度矩阵。m1m2k1k2m3k3x1x2x3令：令：39《振动力学》令：得到柔度矩阵：m1m2k1k2m3k3x1x2x340《振动力学》动力矩阵：柔度影响系数更容易通过实验得出。弹性梁的柔度影响系数可直接引自材料力学公式。这个动力矩阵就不是对称矩阵。41《振动力学》若上例最左边一个弹簧取消，则刚度矩阵变为：k1m1m2k2m3k3x1x2x3令：这时，即刚度矩阵为奇异阵，其逆矩阵即柔度矩阵不存在。其实，由于左端的约束取消后，系统处于游离状态。对任一个物块施加外力，各静位移均是不定值，即求不得柔度影响系数。其弹性位移xi均不能确定。这种系统称为半正定系统。42《振动力学》各质量上作用垂直力为Pi，垂直位移为xi(i=1,2,3)。忽略梁的质量，求柔度矩阵。

（质量连续分布的弹性梁的简化）假设是常力

以准静态方式作用在梁上梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。取质量的静平衡位置为坐标的原点。

再来看弹性梁问题x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll弹性梁跨度为4l，抗弯刚度为EI，均布3个集中质量mi(i=1,2,3),43《振动力学》m1

位移：m2位移：（1）（2）f11f21P1=1f31m3位移：m1

位移：m2位移：m3位移：f12f22P2=1f32（3）利用对称性：44《振动力学》得到柔度矩阵：x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll用质量影响系数的物理意义可求出质量矩阵。令

令令质量矩阵M中的元素mij是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力Qi。45《振动力学》x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll可以写出动力学方程：46《振动力学》动力学方程可统一表示为：位移向量加速度向量质量矩阵刚度矩阵激励力向量若系统有n个自由度，则各项皆为

n

维质量矩阵、刚度矩阵、柔度矩阵的对称性、正定性本节小结：47《振动力学》本节作业：5.1；5.248《振动力学》例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的动力学方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)49《振动力学》解：的原点分别取在的静平衡位置

建立坐标：设某一瞬时：上分别有位移加速度受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)50《振动力学》建立方程：矩阵形式：牛顿定理坐标间的耦合项P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x251《振动力学》例2：转动运动两圆盘转动惯量轴的三个段的扭转刚度试建立系统的动力学方程外力矩52《振动力学》解：建立坐标：角位移设某一瞬时：角加速度受力分析：53《振动力学》建立方程：矩阵形式：坐标间的耦合项54《振动力学》多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)55《振动力学》小结：可统一表示为：例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量质量矩阵刚度矩阵激励力向量若系统有n个自由度，则各项皆为

n

维多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程56《振动力学》刚度矩阵和质量矩阵当M、K

确定后，系统动力方程可完全确定M、K

该如何确定？作用力方程：先讨论K加速度为零则：假设外力是以准静态方式施加于系统多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程57《振动力学》作用力方程：假设作用于系统的是这样一组外力，它们使系统只在第j个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移即：代入，有：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程58《振动力学》所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K

的第j列（i=1~n）：在第i

个坐标上施加的力结论：刚度矩阵

K

中的元素kij

是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第

i个坐标上所需施加的力多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程59《振动力学》作用力方程：讨论M√假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移即：X=0则有：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程60《振动力学》使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第j列结论：质量矩阵M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵M

和K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程61《振动力学》例：写出M

、K

及运动微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考虑静态令

令令刚度矩阵：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程62《振动力学》只考虑动态令有：令有：令有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质量矩阵：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程63《振动力学》运动微分方程：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程64《振动力学》例：双混合摆，两刚体质量质心绕通过自身质心的z轴的转动惯量求：以微小转角为坐标，写出在x-y平面内摆动的作用力方程两刚体质量h1C1C2h2lxy多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程65《振动力学》受力分析h1C1C2h2lxyxy多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程66《振动力学》解：先求质量影响系数令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程67《振动力学》令有：令有：质量矩阵：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程68《振动力学》求刚度影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程69《振动力学》令有：令有：刚度矩阵：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程70《振动力学》运动微分方程：yh1C1C2h2lx多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程71《振动力学》例：求：以微小转角为坐标，写出微摆动的运动学方程每杆质量m杆长度l水平弹簧刚度k弹簧距离固定端akaO1O2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程72《振动力学》解：令：则需要在两杆上施加力矩分别对两杆O1、O2

求矩：令：则需要在两杆上施加力矩分别对两杆O1、O2

求矩：aO1O2aO1O2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程73《振动力学》刚度矩阵：aO1O2aO1O2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程74《振动力学》令：则需要在两杆上施加力矩令：则需要在两杆上施加力矩质量矩阵：aO1O2kaO1O2k多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程75《振动力学》运动学方程：kaO1O2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程76《振动力学》例：两自由度系统摆长

l，无质量，微摆动求：运动微分方程xm1k1k2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程77《振动力学》解：先求解刚度矩阵令：令：m1k1k2m1k1k2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程78《振动力学》刚度矩阵：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程79《振动力学》求解质量矩阵令：令：m1k1k2惯性力m1k1k2惯性力多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程80《振动力学》质量矩阵：xm1k1k2刚度矩阵：运动微分方程：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程81《振动力学》位移方程和柔度矩阵对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些。柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形物理意义及量纲与刚度恰好相反以一个例子说明位移方程的建立

x1m1x2m2P1P2无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化）假设是常力

以准静态方式作用在梁上梁只产生位移（即挠度），不产生加速度取质量的静平衡位置为坐标的原点

多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程82《振动力学》m1

位移：m2位移：时（1）时（2）m1

位移：m2位移：同时作用（3）m1

位移：m2位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程83《振动力学》同时作用时：矩阵形式：其中：柔度矩阵物理意义：系统仅在第j个坐标受到单位力作用时相应于第i

个坐标上产生的位移

柔度影响系数f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程84《振动力学》当是动载荷时集中质量上有惯性力存在

位移方程x1m1x2m2P1P2m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程85《振动力学》位移方程：又可：作用力方程：

若K非奇异柔度矩阵与刚度矩阵的关系：或：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程86《振动力学》对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在应当注意：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统m1m2k1k2m3原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移刚度矩阵K奇异多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程87《振动力学》例：求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程已知梁的抗弯刚度矩阵为x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程88《振动力学》由材料力学知，当B点作用有单位力时，A点的挠度为：柔度影响系数：柔度矩阵：位移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程89《振动力学》例：教材P72例4.1-2，求柔度阵（1）在坐标

x1

上对质量m1

作用单位力系统在坐标x1、x2、x3

上产生位移为:m1m2k1k2m3k3x1x2x3解：（2）在坐标

x2

上对质量m2

作用单位力（3）在坐标

x3

上对质量m3

作用单位力多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程90《振动力学》因此：可以验证，有：m1m2k1k2m3k3x1x2x3多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程91《振动力学》质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n阶方阵A

正定并且等号仅在时才成立

是指对于任意的

n维列向量y，总有成立如果时，等号也成立，那么称矩阵A

是半正定的

根据分析力学的结论，对于定常约束系统：动能：势能：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程92《振动力学》质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n阶方阵A

正定并且等号仅在时才成立

是指对于任意的

n维列向量y，总有成立如果时，等号也成立，那么称矩阵A

是半正定的

动能：除非所以，正定即：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程93《振动力学》质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n阶方阵A

正定并且等号仅在时才成立

是指对于任意的

n维列向量y，总有成立如果时，等号也成立，那么称矩阵A

是半正定的

势能：对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值V>0当各个位移不全为零时，

K正定K>0对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移对于不全为零的位移存在V

＝0K半正定多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程94《振动力学》振动问题中主要讨论K阵正定的系统及K阵半正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半正定振动系统

多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程95《振动力学》耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合以两自由度系统为例不存在惯性耦合存在惯性耦合多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程96《振动力学》如果系统仅在第一个坐标上产生加速度可见，不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力；而出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力同样道理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力耦合的表现形式取决于坐标的选择多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程97《振动力学》例：研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型表示车体的刚性杆AB的质量为m，杆绕质心C的转动惯量为Ic悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为k1和k2的两个弹簧来表示写出车体微振动的微分方程选取D点的垂直位移和绕D点的角位移为坐标ABCDa1a2el1l2lk1k2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程98《振动力学》ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2简化形式多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程99《振动力学》ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCD车体所受外力可以向D点简化为合力PD

和合力矩MD由于微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：首先采用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程系统的动能：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程100《振动力学》ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCD系统的动能：系统的势能：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程101《振动力学》n

自由度系统的拉格朗日方程：：广义坐标：拉格朗日函数：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力计算广义力Q1

和Q2设在坐标xD上有虚位移非有势力做功因此非有势力做功因此设在坐标上有虚位移ABCD多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程102《振动力学》代入拉格朗日方程，得：矩阵形式：存在惯性耦合存在弹性耦合多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程103《振动力学》采用振动力学方法求解首先求刚度矩阵令：对D点取矩：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程104《振动力学》令：对D点取矩：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD刚度矩阵：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程105《振动力学》求质量矩阵令：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD惯性力质心C所受的惯性力：力平衡：力矩平衡：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程106《振动力学》令：ABCDa1a2el1l2lk1k2质心C所受的惯性力矩：力平衡：对D点取矩：CD惯性力矩惯性力质心C所受的惯性力：质量矩阵：多自由度系统振动