计算方法-61Gauss消去法

2023/2/51第六章线性方程组的解法计算方法

6.1Gauss消去法第六章线性方程组的解法6.3对称矩阵直接三角分解法

6.2直接三角分解法

6.5误差分析

6.4追赶法(Thomas法)

6.6迭代法2

本章要点线性方程组的解法:直接解法和迭代法主要归结为三角形方程组的求解包括一般线性方程组的Gauss消去法、Gauss列主元法、对称正定方程组的平方根法、三对角方程组的追赶法等及雅可比迭代和塞德尔迭代法2023/2/53实际问题中的线性方程组分类：按系数矩阵中零元素的个数：稠密线性方程组稀疏线性方程组按未知量的个数：高阶线性方程组低阶线性方程组(如1000)按系数矩阵的形状对称正定方程组三角形方程组三对角占优方程组2023/2/54(80%)解线性方程组的两类方法：直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）直接法概述直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形方程组的方法，共有若干种．对于线性方程组其中系数矩阵未知量向量常数项------------(1)2023/2/56根据Cramer(克莱姆)法则,若若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:经过n-1次2023/2/57同解即以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法则都是三角形方程组上述方法称为直接三角形分解法------------(2)2023/2/582023/2/59其解为:回代方向2023/2/5106.1Gauss消去法一、消元与回代计算对线性方程组对其增广矩阵施行行初等变换:2023/2/511定义行乘数2023/2/512且2023/2/513定义行乘数2023/2/5142023/2/5152023/2/516以上讨论告诉我们，对具有上三角形系数矩阵的方程组求解极为方便。当然,若方程组的系数矩阵为下三角形,则求解也很方便。于是对于一般形式的方程组，我们总设法把它化为系数矩阵呈上(或下)三角形的方程组来求解。为了达到目的，可利用消去法进行。现举例如下:解方程组①②③2023/2/517(6―6)作②-①消去②中的x1，作③-①×4消去③中的x1，则方程组化为①②③对方程组(6―6′)作③-②×，得到三角形方程组①②③2023/2/518(6―6′)(6―6")

从方程组(6―6“)的方程③解出x3,将所得的结果代入方程②求出x2,再把x3、x2同时代入方程①解出x1。这样可求出方程组的解为

上述求解方程组的方法就是高斯(Gauss)消去法。从式(6―6)到(6―6")的过程称为消元过程而由(6―6")求出x3、x2、x1的过程称为回代过程。因此用高斯消去法求解性方程组要经过消元和回代两个过程。2023/2/5192023/2/5二、Gauss消去法的运算量计算机作乘除运算所耗时间要远远多于加减运算且在一个算法中，加减运算和乘除运算次数大体相当故在衡量一个算法的运算量时只需统计乘除的运算次数乘法次数：除法次数：20全部回代过程需作乘除法的总次数为于是Gauss消去法的乘除法运算总的次数为2023/2/521Gauss消去法乘除法约为2700次而如果用Cramer法则的乘除法运算次数约为或用行列式定义用行列式性质2023/2/522例1.用Gauss消去法解线性方程组(用3位十进制浮点数计算）解:本方程组的精度较高的解为用Gauss消去法求解(用3位十进制浮点数计算)Gauss列主元消去法的引入2023/2/523三、Gauss列主元消去法9999回代后得到与精确解相比,该结果误差较大究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数主元2023/2/524前述顺序消去法是按序通过用a11,a(1)22,…,a(n-2)n-1(a(k-1)kk≠0)作为除数来达到消元目的的。在实际计算时,由于舍入误差的影响,计算结果会改变很大,甚至于完全失真。2023/2/525如果在求解时将1,2行交换,即0.9999回代后得到该结果与精确解近似程度很高2023/2/526例2.解线性方程组(用8位十进制尾数的浮点数计算)解:这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免2023/2/527绝对值最大不需换行2023/2/528经过回代后可得方程组的准确解为2023/2/529例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法2023/2/530

高斯列主元素消去法是顺序消去法的一种改进。它的基本思想是在逐次消元时总是选系数子矩阵的第一列元素中绝对值最大的元素(称之为主元)做除数,按顺序消去法的步骤消元。除了列主元消去法，求解线性方程组常用的还有全主元消去法。四、Gauss-Jordan消去法

前面所述的消去法均要进行两个过程,即消元过程和回代过程。但对消元过程稍加改变可以把线性方程组的系数矩阵化为对角阵

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此时求解就不要回代了。这