学习情境1、2-绪论与误差理论

地质与测绘工程学院：朱红侠电话0一三年九月误差理论与测量与平差基础误差理论与测量平差基础全书共有十二章：

第一章绪论

第二、三章全书的基础知识

第四章介绍测量平差理论

第五、六、七、八章4种平差方法

第九章各种平差方法的总结

第十章讨论点位精度

第十一章统计假设检验的知识

第十二章近代平差概论

根据教学大纲的要求，重点讲解第一章~第十章的内容。第一章绪论第一节观测误差第二节测量平差学科的研究对象第三节测量平差的简史和发展第四节本课程的任务和内容授课目的要求:

明确观测误差产生的原因,掌握误差分类及其处理方法。重点、难点:误差分类及其处理方法。本章中要解决的问题观测（测量）的概念误差的概念如何发现观测误差测量中为什么存在观测误差观测误差如何分类和如何处理了解测量平差的发展测量平差的任务是什么

1.

观测（测量）的概念

用一定的测量工具、仪器和一切的手段、传感器直接采集或者通过一个平台来采集有关信息的过程和结果。

2.

误差的概念日常生活中经常遇见的如量距、量身高、称体重等，几次的结果一定不完全系统，几次之间就存在误差。

误差：表示某物理量、几何量或参数实际测量值与真值之间的差值。3.

如何发现观测误差？测量差异：一量重复观测值之间存在差异;平面三角形内角和观测值与其理论值之间存在差异；水准闭合环观测值与其理论值之间存在差异。以上的差异说明观测中存在观测误差误差的表现形式：重复观测值之间存在差异实际观测值不满足应有的理论关系观测条件

观测者

仪器

外界环境

采用一定的

在一定的

中测取

技术水平工作态度

精密度误差

温度、湿度风力等

观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差观测条件较好则观测质量较高,观测条件较差则观测质量较低,观测条件相同则观测质量相同。

4.

测量中为什么存在观测误差?真误差

观测值的真值

观测值

向量形式

其中

观测误差如何计算？观测误差

粗差

系统误差

偶然误差

处理粗差:重复观测严格检核计算中发现

发现后舍弃或重测

系统误差:采用适当的观测方法校正仪器计算加改正系统误差补偿

偶然误差:采用测量平差的方法

5.误差如何分类18世纪末，在测量学、天文测量学等实践中提出了如何消除由于观测误差引起的观测量之间的矛盾问题法国大地测量学家拉普拉斯（Laplace1749-1827）最早提出测量偶然误差的概率分布密度函数1794年德国大地测量学家高斯（Gauss1777-1855）首先提出最小二乘法1806年法国数学家勒让德尔（Legendre1752-1833）在论著《决定卫星轨道的新方法》中独立提出最小二乘法1809年高斯在他的《天体沿圆锥面绕太阳运动的理论》著作中，对勒让德尔的最小二乘法作了理论上的阐述。6.测量平差的简史与发展19世纪初到20世纪50-60年代，在基于偶然误差的依据最小二乘准则的平差方法作了许多研究。从法方程系数矩阵满秩扩展到法方程系数矩阵亏秩从仅处理静态数据扩展到处理动态数据从待估参数为非随机量扩展到待估参数为随机量从观测值仅含偶然误差扩展到有含有系统误差和粗差从独立观测扩展到相关观测的平差理论

7.测量平差的任务与内容

测量平差的定义：依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。主要任务：讲述测量平差的基本理论和基本方法；研究对象：处理带有偶然误差的观测列；教学目的：掌握误差理论和经典平差基本原理及各种平差

方法；两大任务：参数估计精度评定本章小结观测值中为什么存在观测误差观测误差如何计算观测误差如何分类？如何处理测量平差的任务是什么第二章误差分布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。

重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。

难点：精度、准确度、精确度等概念。

要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。第一节正态分布1.一维正态分布

如果在一系列个别因素引起的误差项对误差的总和的影响都是均匀地小，那么其总和即测量误差就是服从正态分布。随机变量X的数学期望：随机变量X的方差：服从正态分布的一维随机变量X的密度函数为：随机变量X的数学期望：随机变量X的方差：连续型离散型随机变量X的数学期望：随机变量X的方差：数学期望：反映随机变量集中位置的数字特征方差：反映随机变量偏离集中位置的离散程度2.n

维正态分布n维正态随机向量X的联合概率密度为：数学期望：方差：第二节偶然误差的规律性

定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。如果真值：数学期望：

误差区间dΔ

为负值的Δ

为正值的Δ

个数vi

相对个数

vi

/n

个数vi相对个数

vi/n0.0"---0.5"0.5-----1.01.0----1.51.5----2.02.0----2.52.5----3.03.0----3.53.5以上

12310475552720100

0.1510.1270.0920.0670.0330.0250.0120

121907851391590

0.1480;1100.0960.0620.0480.0180.0110

和

414

0.507

403

0.493

从表可以看出,该组误差的分布规律为:绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多;绝对值相等的正误差个数与负误差个数相近,误差的绝对值有一定限制,最大误差不超过3.5″。

-3.5-2.5-1.5-0.5+0.5+1.5+2.5+3.5-3-2-10+1+2+3误差分布曲线x=

y误差分布频率直方图纵坐标：

特点：（1）具有一定的范围。（有界性）（2）绝对值小的误差出现概率大。（占优性）（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。（对称性）（4）数学期限望等于零。（抵偿性）即：

图中各长方条的纵坐标为，其面积即为误差出现在该区内的频率。如果将这个结果提到理论上来讨论，则以理论分布取代经验分布，此时，图中各长方条的纵坐标就是△的密度函数f（△），而长方条的面积为f（△）d△，即代表误差出现在该区间内的概率，即P（△）=f(△)d△

假设误差服从正态分布，可写出△的概率密度式为偶然误差△是服从N（0，）分布的随机变量。第三节衡量精度的指标

从教材中2-1和2-2可得以下结果：

结论：第一组比第二组误差分布较为集中，或离散度小。

从直方图看第一组比第二组图顶峰较高，且各长方条所构成的阶梯较陡峭。

在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。如果分布较为密集，即离散度较小时，则表示该组观测质量较好也就是说，这一组观测精度较高；反之，如果分布较为离散，即离散度较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。

精度的概念：所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度，也就是指离散程度的大小。

假如两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。

在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。

方差的概念

由数理统计学知，随机变量X的方差定义为

一、方差和中误差误差的概率密度函数为：是误差分布的方差，由方差的定义而偶然误差的数学期望中误差（恒为正）

不同的将对应着不同形状的分布曲线。愈小，曲线愈为陡峭，愈大，则曲线愈为平缓同时还说明了，正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为义，为变量X的数学期望。对于偶然误差而言，由于其数学期望为，所以拐点在横轴上的坐标应为

的大小可以反映精度的高低。常用作为衡量精度的指标。

如果在相同的条件下得到了一组独立的观测误差，并根据定积分的定义可以写出中误差：方差和分别是和的极限值，即理论上的值。

但测量中的观测值是有限的，那么用有限的观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值。在以后的章节中将“中误差的估值”简称为“中误差”。

例题设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行门10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为：第一组：＋3″，-2″，-4″，＋2″，0″，-4″，-3″+2″，-3″，-1″；第二组：0″，-1″，-7″，+2″，+1″，+1″，-8″，+0″，+3″，-1″。这两组观测值的中误差的估值

二、平均误差

平均误差的概念：在一定的观测条件下一组独立的偶然误差的绝对值的数学期望称为平均误差。对于相同条件下的一组独立的观测误差，则有的密度函数式为：所以有所以，可以用平均误差作为衡量精度的指标。

因此，或然误差也可以作为衡量精度的指标将的密度函数代入并作变换，可得：三、或然误差或然误差的概念：误差出现在之间的概率等于1/2,即是或然误差。

将在相同观测条件下得到的一组误差。按绝对值的大小排列，当n为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当n为偶数时则取中间两个误差值的平均值作。

或然误差的几何意义

因为测量中的观测个数是有限的，因此只能得到或然误差的估值。通常是先求出中误差的估值，再求出或然误差的估值。

例题：具体数据见教材表2-3

绝对值大于中误差的偶然误差，其出现的概率为31.7％,而绝对值大于二倍中误差的偶然误差出现的概率为4.5％，特别是绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅有0.3％，这已经是概率接近于零的小概率事件或者说这是实际上的不可能事件。因次通常以三倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为极限误差。即也有用2倍的中误差作为极限误差。四、极限误差

五、相对误差

相对误差的概念：中误差与观测值之比称为相对误差。往往，中误差相等，但精度并不一样，这时要用相对误差来衡量精度。测量中往往将相对误差的分子化为1，分母用N表示。相对误差也有极限误差。与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。第四节精度、准确度与精确度

一、精度精度是指误差分布的密集或离散的程度。当观测仅含偶然误差时，其数学期望就是其真值，精度描述的是观测值与真值接近程度，即偶然误差的大小程度。精度是衡量偶然误差大小的指标。

当讨论两个或多个随机变量时，要考虑描述它们之间相互关系的数字特征——协方差。观测误差和观测值都是服从正态分布的随机变量，因此，两个观测值或两个观测误差之间的相互关系，也是用协方差来描述的。设有X、Y的函数则定义g(X,Y)的数学期望为随机变量X、Y的协方差，记为Dxy。

当X=Y时，上式既是X或Y的方差。其中：1.协方差的定义和概念

对于一组2维观测值，设△xi

是观测值xi的真误差，△yi

是观测值yi的真误差则对于二维随机变量有ρ(X,Y)称为随机变量X，Y的相关系数，其反映X，Y的相关程度，当ρ(X,Y)＝0时，X，Y不相关，即相互独立，此时。

在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度和方向等都是独立观测值；按全组合测角法观测并经过测站平差后的方向值、三角高程测量求得的高差等，也是独立观测值。一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立的或者说是相关的，因而它们是相关观测值。2.观测向量的精度指标－－协方差阵假定有n个不同精度的相关观测值Xi（i＝1，2，…，n），它们的数学期望和方差为和它们两两之间的协方差为，用矩阵表示为

式中为观测值向量，为X的数学期望，而DXX为X的方差－协方差阵。可以用方差－协方差阵作为观测向量的精度指标。当X中各观测值之间互相独立时，则所有的协方差为零，此时DXX为对角阵。

3.互协方差阵对于两组观测向量和，若记其数学期望为其中上式包含四个分块矩阵DXY是观测向量X关于Y的互协方差阵当DXY＝0时，X，Y是相互独立的观测向量。二、准确度

准确度的概念：又名准度，是指随机变量的真值与其数学期望之差。准确度表征了观测结果中系统误差的大小程度。当无系统误差时此时无系统误差

三、精确度

精确度的概念：是指观测结果与其真值得接近程度，精确度是全面衡量观测质量的指标，当不存在系统误差时，就是精度。精确度的衡量指标为均方误差，其定义为：

所以

偶然误差大，没有明显的系统误差；精度低，准确度高偶然误差小，有明显的系统误差；精度高，准确度低偶然误差小，系统误差小；精度高，准确度高，即精确度高第五节测量不确定度测量数据的不确定性是指一种广义的误差，它即包含系统误差和粗差，也包含数值和概念上的误差以及可度量和不可度量的误差。数据误差的随机性和数据概念上的不完整性及模糊性，都可以视为不确定性问题。测量不确定度是与测量结果相关联的参数，用于表征合理地赋予被测量值的分散性，是不确定性度量指标。不确定度是一个表示测量结果中用于说明测得值所处范围的一个参数。它意味着对测量结果的正确性或准确度的可疑程度，是用于表达测量结果的质量优劣的一个指标。由于不确定度是一个表示范围的参