例题工程力学

课程简介

工程力学（或者应用力学）是：将力学原理应用实际工程系统的科学。

其目的是：了解工程系统的性态并为其设计提供合理的规则。工程力学理论力学：研究物体机械运动一般规律。材料力学：研究构件正常工作应满足的要求。工程力学理论力学材料力学技术基础课。研究物体受力后的效应刚体平衡、运动（外效应）变形固体变形、内力（内效应）刚体：绝对不变形的物体，或物体内任意两点间的距离不改变的物体。一个物体能否视为刚体，不仅取决于变形的大小，而且和问题本身的要求有关。第一部分静力学1、物体的受力分析：分析物体（或物体系）受哪些力，每个力的作用位置和方向，并画出物体的受力图。2、力系的等效替换（或简化）：用一个简单力系等效代替一个复杂力系。3、建立各种力系的平衡条件：建立各种力系的平衡条件，并应用这些条件解决静力学实际问题。

静力学是研究物体的受力分析、力系的等效替换（或简化）、建立各种力系的平衡条件的一门科学。1-1基本概念第一章静力学公理和物体受力分析力：物体间的相互机械作用，这种作用使物体运动状态发生变化(外效应)，或使物体变形(内效应)。按力的作用点分：集中力和分布力。1-2静力学公理公理1

二力平衡条件刚体在两个力作用下平衡的充分必要条件是二力沿着同一直线，大小相等，方向相反。使刚体平衡的充分必要条件最简单力系的平衡条件二力平衡条件是刚体平衡的充分必要条件，是变形体平衡的必要非充分条件。柔性体（受拉力平衡）刚化为刚体（仍平衡）刚体（受压平衡）柔性体（受压不能平衡）二力构件二力构件：只在两个力作用下处于平衡的构件。二力构件的受力特点：力必沿作用点的连线。

思考题受力图正确吗?ABFAFBABFBFAP公理2加减平衡力系原理

在作用于刚体的力系中，加上或减去任意对平衡力系不改变原力系对刚体的作用效应。

加减平衡力系原理是力系简化的重要依据。推理1力的可传性作用在刚体上的力可沿作用线滑移至刚体内任意点而不改变力对刚体的作用效应。推理1力的可传性作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素为大小、方向和作用线。公理3力的平行四边形法则

作用在刚体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，合力矢等于这两个力矢的几何和。

公理3力的平行四边形法则合力(矢量和)亦可用力三角形求得合力矢此公理表明了最简单力系的简化规律，是复杂力系简化的基础。推理2三力平衡汇交定理

作用在刚体上的三个力，若构成平衡力系，且其中两个力的作用线汇交于一点，则三个力必在同一平面内，而且第三个力的作用线一定通过汇交点。平衡时必与共线则三力必汇交O

点，且共面。公理4作用和反作用定律

作用力和反作用力总是同时存在，两个力大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。在画物体受力图时要注意此公理的应用。公理5刚化原理

变形体在某力系作用下处于平衡，如将已平衡的变形体刚化为刚体，其平衡状态不变。柔性体（受拉力平衡）刚化为刚体（仍平衡）刚体（受压平衡）柔性体（受压不能平衡）注意：刚体平衡条件只是变形体平衡的必要条件非充分条件。

1－3约束和约束力自由体：运动不受其他物体直接制约的物体。非自由体：运动受到其他物体直接制约的物体。约束：对非自由体的位移起限制作用的物体。约束力：约束对非自由体（被约束体）的作用力。主动力：约束力以外的力。工程常见的约束1、柔绳、链条、胶带构成的约束柔索只能受拉力，又称张力。用表示。柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体。PP胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力。F1F22、刚性光滑面约束PPPP

光滑支承接触对非自由体的约束力，作用在接触处；方向沿接触处的公法线并指向受力物体，故称为法向约束力，用表示。

由左边A、B构件之一与地面或机架固定而成。ABFAB（1）固定铰链支座3、刚性光滑铰链约束（固定铰链支座、径向轴承、圆柱铰链等）

（2）光滑圆柱铰链

约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成，如剪刀。（3）向心轴承（径向轴承）

约束力：当不计摩擦时，轴与孔在接触处为光滑接触约束——法向约束力。约束力作用在接触处，沿径向指向轴心。

约束特点：轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔为约束。4、辊轴约束约束特点：在铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成。约束力：构件受到⊥光滑面的约束力。向上或向下

两端用光滑铰链与其他物体相接，杆的自重不计，中间不受力作用的杆件（直杆或曲杆）构成的约束。二力杆的约束反力必沿着二力杆两端铰链的连线，但指向不定。5、二力杆（或二力构件）FAFBABACBP§1–4

受力分析和受力图受力图的画法步骤：1.确定研究对象，取分离体。2.画出研究对象所受的全部主动力。3.在存在约束的地方，按约束类型逐一画出约束反力。注意:1.首先确定物体系统中是否存在二力构件，如果有先画二力构件的受力图。2.当分析物体系统受力时，要分清内力与外力，内力成对可不画。3.作用力与反作用力之间的相互关系，作用力一经假定，反作用力与之大小相等方向相反。受力分析例题受力分析例题

已知球A重W1，借本身重量和摩擦不计的理想滑轮C和柔绳维持在仰角是的光滑斜面上，绳的一端挂着重W2的物体B。试分析物体B、球A和滑轮C的受力。解：1.物体B受力图。2.球A受力图。3.滑轮C的受力图。W2FDBDAEFW1FFFECGBHEW1AFDFHFGCGHIFC受力分析例题

分别画出图中滑轮B、杆AC和DC的受力图。BFEFHFBxFByFAyFAxCABFCFDDC受力分析例题

分别画出图中杆AB、BC和DE的受力图。FAxFAyFDy

FDxFByFBxFHPFCxFCy受力分析例题

如图所示，重物重P=20kN,用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试画出杆AB和BC以及滑轮B的受力图。ABDCP解：1.杆AB的受力图。2.杆BC的受力图。ABDCPB为复杂铰ABFABFBAFCBBCFBC3.滑轮带销钉！BF2F1解：ABDCPDFBxF2F1FBy4.滑轮不带销钉！3.销钉！1.杆AB的受力图2.杆BC的受力图ABFABFBAFCBBCFBCD

思考题图（b）,（c）受力图正确吗?BDAFDFAFB′(b)BCFBFCFEFE(c)C(a)EABFD柔绳

解答FByBDAFDFAxFAyFBxBCFCFBx′EFFEFBy′ECABFD柔绳

思考题图（b）受力图正确吗?BACDF柔绳(a)ACFFCFBFAB(b)ACFFCFBFAB(c)

练习题BACACCC画出下列各构件的受力图。复杂铰！BACF练习题画出杆AB的受力图。AF2BF1BACMFFBAABCFBACF1F2F1复杂铰！(1)柔绳、链条、胶带构成的约束——张力(2)刚性光滑面约束——沿法向指向确定(3)刚性光滑铰链约束——平面正交分力(4)辊轴约束——沿法向指向不确定（5）二力杆——沿力作用点连线指向不定（6）球形铰链约束——空间三正交分力(7)止推轴承约束——空间三正交分力（8）固定端——平面正交分力和一力偶2.典型约束：2.1.1汇交力系合成几何法

一.两个汇交力的合成力力的平行四边形法则力的三角形法则二.多个汇交力的合成F1FRFR2FR1F4F3F2合成结果为一合力，并且合力作用线过汇交点注意1.按力的比例尺准确地画各力的大小和方向。2.各分力矢必须首尾相接。3.合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关。4.合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。三.汇交力系平衡的几何条件平衡条件力多边形自行封闭F1FF4F3F2F1FF4F3F2四.空间汇交力系的力多边形是一个空间多边形，计算不便，所以不适合采用几何法。1、力在坐标轴上的投影2.1.2汇交力系合成解析法

Fx=F·cosa

：

Fy=F·sina=F·cosb合力的大小:方向余弦:已知力F在直角坐标轴上的投影，其大小和方向分别为在平面直角坐标系中力F的矢量式:在非直角坐标系上式中成立吗？

Fx=F·cosa

Fy=F·sina=F·cosb2、力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解力在坐标轴上的投影力沿轴的分解显然3、合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。4、平面汇交力系合成的解析法合力的大小:作用点：为力的汇交点。合力投影定理方向：

合力：5、平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系平衡的充分必要条件是：平衡方程例题已知：P=20kN，R=0.6m，h=0.08m，求：1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时F多大？解：按比例量得1.用几何法，按比例画封闭力四边形解：解得2.碾子拉过障碍物，应有用几何法解得或解得3.a已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计；求：CD杆和铰链A的受力。解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图。用几何法，画封闭力三角形。按比例量得或已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计；求：CD杆和铰链A的受力。解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图。解：用解析法求：此力系的合力。已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；求：系统平衡时，杆AB、BC受力。解：取滑轮B（或点B），画受力。建图示坐标系:解得

力对刚体的作用效应有移动和转动，移动效应取决力的大小和方向，转动效应，用力矩度量。平面力系的各力都在同一平面内，力对平面内某一点之矩都垂直于此平面，刚体在平面内的转动方向，顺钟向或逆钟向。此时力对点之矩为代数量。1.大小：力F与h的乘积2.方向：顺（－）；逆（＋）两个要素：3.1力对点之矩

合力矩定理：合力对某一点之矩，等于力系中所有力对同一点之矩的矢量和。即

3.2合力矩定理三、力矩与合力矩的解析表达式解:直接按定义按合力矩定理求:已知:F=1400N,

由平衡条件:解得：已知：求：平衡时，CD杆的拉力。解：CD为二力杆，取踏板由合力矩定理解：取微元如图求：合力及合力作用线位置。1.力偶：由两个等值、反向、不共线的平行力组成的力系称为力偶，记作2.3力偶

力偶是一种基本力学量,力偶没有合力，也不能用一个力去平衡。它不能再进一步简化。力偶矩矢在同平面的力偶系的力偶矩是个代数量，即：符号：顺（－），逆（＋）

2.力偶矩：力偶使刚体发生转动，这里用力偶矩矢度量转动效应。2.力偶矩：力偶矩力偶中两力所在平面称为力偶作用面。力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。两要素a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向二.力偶与力偶矩的性质1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。力矩的符号3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，对刚体的作用效果不变。===4.只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。====5.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。已知：任选一段距离d==三.平面力偶系的合成=四、平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的充要条件：解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为求：光滑螺柱AB所受水平力。已知：求：平衡时的及铰链O，B

处的约束力。已知：取杆BC，画受力图，解得:解：取轮,画受力图。力偶只能由力偶平衡的性质力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。第四章平面任意力系4.1力的平移定理4.2平面任意力系向作用面内一点

简化·主矢和主矩能否称为合力？能否称为合力偶？若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？主矢主矩主矢大小：方向：作用点：作用于简化中心上主矩：如何求出主矢、主矩?主矢：平面固定端约束受力分析及简化==≠

4.3平面任意力系的简化结果分析平面任意力系的简化结果分析主矢主矩最后结果说明合力合力合力作用线过简化中心合力作用线距简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关主矢能否称为合力？合力矩定理：若为O1点，如何?4.3.1平面任意力系的平衡条件

和平衡方程平面任意力系平衡的充要条件是：因为所以有：平面任意力系平衡方程的三种形式一般式二矩式两点连线，不得与投影轴垂直三矩式三个取矩点，不得共线二矩式两点连线，不得与投影轴垂直三矩式三个取矩点，不得共线4.3.2平面平行力系的平衡方程平面平行力系的方程为两个，有两种形式各力不得与投影轴垂直两点连线不得与各力平行反例力偶已知：求：力系的合力合力与OA的交点到点O的距离x，及合力作用线方程。（1）向O点简化，求主矢和主矩。大小方向主矩解：（2）、求合力及其作用线位置。（3）、求合力作用线方程即有：已知：

AC=CB=l,P=10kN;求：铰链A和DC杆受力。解：取AB梁，画受力图。解得：已知：求：轴承A、B处的约束力。解：取起重机，画受力图。解得已知：求：支座A、B处的约束力。解：取AB梁，画受力图。解得解得已知：求：固定端A处约束力。解：取T型刚架，画受力图。其中解得：已知：尺寸如图；求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。解：取起重机，画受力图。满载时：为不安全状况解得P3min=75kN(2)P3=180kN时：解得：FA=210kN，FB=870kN空载时：不安全4P3max-2P1=0F3max=350kN解：已知：OA=R，AB=l,不计自重与摩擦,系统在图示位置平衡;求:力偶矩M的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力。解:取冲头B,画受力图.解得：取轮,画受力图：4.4物体系的平衡·静定和超静定问题静定问题：研究对象所能列出的独立平衡方程的数目与未知量的数目相等，则全部未知量都可由平衡方程求出。已知:F=20kN,q=10kN/m,L=1m;求:

A,B处的约束力.解:取CD梁,画受力图.解得：FB=45.77kN取整体,画受力图.解得：已知：轮重P1,P2=2P1，R=2r，求:物C匀速上升时，作用于轮Ⅱ上的力偶矩M；轴承A，B处的约束力。解:取塔轮及重物C,画受力图.解得：由解得：取轮I，画受力图。解得解得解得解：已知:P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,风载F=10kN,尺寸如图;求:A,B处的约束力。解:取整体,画受力图。解得解得取吊车梁,画受力图.解得取右边刚架,画受力图.解得解得对整体图解：已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,P,各构件自重不计。求:A,E支座处约束力及BD杆受力。解:取整体,画受力图。解得：取DCE杆,画受力图.解得(拉)4.5平面简单桁架的内力计算桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。若这些杆件都处于同一平面，则这种桁架称为平面桁架。总杆数总节点数=2()静定桁架：如果从桁架中任意去掉一杆件，桁架就会活动变形，这种无多余杆件的桁架就是静定桁架。

平面简单（静定）桁架平面复杂（超静定）桁架非桁架（机构）超静定桁架：如果从桁架中去掉一杆或去掉多杆，桁架仍不会活动变形，则这种桁架为有多余杆件的桁架。节点：桁架中杆件与杆件相连接的铰链节点构造有榫接（图a）焊接（图b）铆接（图c）整浇（图d）均可抽象简化为光滑铰链桁架中杆件的铰链接头称为节点。通常在桁架的内力计算中，采用下列假定：（1）桁架的节点都是光滑的铰结点。（2）各杆件的轴线都是直线并通过铰的中心。（3）所有的载荷和支座反力都作用在节点上，并且在桁架的平面内。（4）桁架杆件的重量不计，或平均分配在杆件两端的节点上。

在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆。1.桁架杆件内力计算的节点法节点法适用于求解全部杆件内力的情况以各个节点为研究对象的求解方法，求解步骤：逐个考虑各节点的平衡、画出它们的受力图。应用平面汇交力系的平衡方程，根据已知力求出各杆的未知内力。在受力图中，一般均假设杆的内力为拉力，如果所得结果为负值，即表示该杆受压。已知:P=10kN,尺寸如图；求:桁架各杆件受力。解:取整体，画受力图。取节点A，画受力图。(压)解得(拉)取节点C，画受力图。解得(压)解得(拉)取节点D，画受力图.解得(拉)已知：荷载与尺寸如图，求：每根杆所受力。解：取整体，画受力图。解得：取节点H取节点G取节点F取节点E上例中BC和FG的内力为零，在结构上内力为零的杆件称为零杆。杆在下列情况下可直接确定而无需计算。（1）节点只连接两根不共线的杆件，而且在此节点上无外载荷，则此两根杆均为零杆。（2）节点只连接两根不共线的杆件，而且外载荷作用线沿某一根杆件，则另一根杆件为零杆。（3）节点连接三根杆，其中两根共线，并且在此节点上无外载荷，则第三根杆件为零力杆。零杆对保证桁架几何形状是不可缺的。在计算中，先判断零杆。2.桁架杆件内力计算的截面法假想用一截面截取出桁架的某一部分作为研究对象求解方法，求解步骤:被截开杆件的内力成为该研究对象外力，可应用平面一般力系的平衡条件求出这些被截开杆件的内力。由于平面一般力系只有3个独立平衡方程，所以一般说来，被截杆件应不超出3个。适用于求桁架中某些指定杆件的内力已知:各杆长均为1m;求:1,2,3杆受力。解:取整体,求支座约束力。解得解得用截面法,取桁架左边部分。解得(压)解得(拉)解得(拉)解：求支座约束力从1，2，3杆处截取左边部分已知：P1，P2，P3，尺寸如图。求：１，２，３杆所受力。取节点D若再求４,５杆受力求桁架各杆内力，主要是在受力分析和选取平衡研究对象上要多加思考。一般先求出桁架的支座反力。1.在节点法中逐个地取桁架的节点作为研究对象。须从两杆相交的节点开始（通常在支座上），通过平面汇交力系平衡方程求出两杆未知力。再取另一节点，一般未知力不多于两个。如此逐个地进行，最后一个节点可用来校核。2.在截面法中，如只需求某杆的内力，可通过该杆作一截面，将桁架截为两部分（只截杆件，不要截在节点上），但被截的杆数一般不能多于三根。研究截开部分的平衡，通过平面一般力系平衡方程求出未知力。5.1滑动摩擦静滑动摩擦力的特点1方向：沿接触处的公切线，2大小：3（库仑摩擦定律）与相对滑动趋势反向；第五章摩擦1摩擦角全约束力物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角。5.2摩擦角和自锁现象此时全约束力和法线间的夹角的正切等于静滑动摩擦系数。物体平衡时全反力的作用线一定在摩擦角内即：≤f摩擦锥：如过全反力作用点在不同的方向作出在极限摩擦情况下的全反力的作用线，则这些直线将形成一个顶角为2f的圆锥。2.自锁现象:当物体所受主动力合力作用线位于摩擦锥以内时，无论主动力的值增至多大，总有相应大小的反力与之平衡，使此物体恒处于平衡状态。2大小：（对多数材料，通常情况下）动滑动摩擦力的特点1方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同。几个新特点2严格区分物体处于临界、非临界状态；3因，问题的解有时在一个范围内。1画受力图时，必须考虑摩擦力；5.3考虑滑动摩擦时物体的平衡问题已知：求：物块是否静止，摩擦力的大小和方向。物块处于非静止状态。向上。而解得：解：取物块，设物块平衡静摩擦力（未达极限值时），可假设其方向，而由最终结果的正负号来判定假设的方向是否正确。解：使物块有上滑趋势时，推力为，画物块受力图已知：求：使物块静止，水平推力的大小。解得：设物块有下滑趋势时，推力为，画物块受力图：若为使物块静止对此题，是否有??解:物块有向上滑动趋势时，物块有向下滑动趋势时，已知：求：使物块静止，水平推力的大小。利用三角公式与得146轴向拉伸压缩受力和变形特点：

作用在杆件上的外力的作用线（合力作用线）与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。杆的受力简图为:FF拉伸FF压缩第七章拉伸和压缩内力的正负号规则同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。FSFSFNFNT轴力扭矩剪力弯矩148截面法（求内力的一般方法），可归纳为四个字：1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分。2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力。4）平：建立留下部分的平衡条件，由外力确定未知的内力。截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的内力。一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理，以免引起错误。

149由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力，用FN表示。轴力正负号：拉为正、压为负。轴向杆拉压杆的受力简图为:FF拉伸FF压缩FFmmFFN150轴力求解1、轴力：横截面上的内力2、截面法求轴力FFmmFFN截:假想沿m-m横截面将杆切开FFN平:

对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值取:

留下左半段或右半段代:

将抛掉部分对留下部分的作用力用内力代替151

由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。FFmmFFNFFN152若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。轴力图FFFN图FFFFN图F153控制截面1.集中力作用点两侧截面；2.集中力偶作用点两侧截面；3.集度相同的均布载荷起点和终点处截面。ADEFGHCB154作内力图的步骤：1.确定约束力；2.根据杆件受力，确定控制截面，找代表截面；3.应用截面法，求出代表截面上的内力；4.建立坐标，作内力图。155已知:F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。FN1F1解：1、计算各段的轴力。AB段:11F1F3F2F4ABCD2233FN3F4FN2F1F2BC段:CD段:2、绘制轴力图。156解：x坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧x段为对象，内力ＦN(x)为：qq

LxO

图示杆长为L，受分布力q=kx作用，方向如图，试画出杆的轴力图。Lq(x)ＦN(x)xq(x)xO–ＦN(x)157问题提出：PPPP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；

②材料承受荷载的能力。§7-2截面上的应力

杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。158变形前1.变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。abcd受载后PP

d´a´c´

b´一、拉（压）杆横截面上的应力159160横截面上的应力：均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。横截面上的正应力σ和轴力FN同号。符号规定：拉应力为正，压应力为负。161

图示结构，A、B、C为铰链连接，求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；AB为直径20mm的圆截面杆，CB为15mm×15mm的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。用截面法取节点B为研究对象45°12BF45°1622、计算各杆件的应力。FABC45°12BF45°163一安全系数和许用应力工作应力极限应力塑性材料脆性材料

—许用应力，

n

—安全系数。§7-3拉压杆的强度条件164材料的拉、压许用应力塑性材料：脆性材料：许用拉应力其中，ns——对应于屈服极限的安全因数其中，nb——对应于拉、压强度的安全因数165二强度条件根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1、强度校核：2、设计截面：3、确定许可载荷：166解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。由于结构几何和受力的对称性，两斜杆的轴力相等，根据平衡方程

F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200。斜杆由两个矩形杆构成，〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。得FFF1672、强度校核由于斜杆由两个矩形杆构成，故A=2bh，工作应力为：斜杆强度足够。168D=350mm，p=1MPa。螺栓[σ]=40MPa，求直径。每个螺栓承受轴力为总压力的1/6解：油缸盖受到的力即螺栓的轴力为：169根据强度条件得即螺栓的直径为170

AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，〔σ〕=120MPa。求F。解：1、计算轴力，用截面法取节点A为研究对象AFα1712、根据斜杆的强度，求许可载荷AFα查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm21723、根据水平杆的强度，求许可载荷AFα查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm21734、许可载荷AFα174转角α规定：横截面外法线转至斜截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“–”§7-4斜截面上的应力由静力平衡得斜截面上的内力：

F

FkkaFa

F

kk175变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形后仍相互平行。推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同。即斜截面上各点处总应力相等。F

F

176斜截面上的总应力：

推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力pa相等。

式中，为拉(压)杆横截面上(a=0)的正应力。

F

Fa

pakk177斜截面上的正应力(normalstress)和切应力(shearingstress)：

正应力和切应力的正负规定：

apasata178讨论：（1）（2）（横截面）（纵截面）apasata179通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，成为该点处的应力状态。对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为单向应力状态。apasata180纵向变形

：基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：

纵向总变形Δl=l1-l

（反映绝对变形量）

纵向线应变（反映变形程度）

§7-5拉压杆的变形由于拉杆各段的伸长是均匀的，因此，其变形程度可以每单位长度的纵向伸长量来表示：181引进比例常数E，且注意到F=FN，有

E—弹性模量，由实验测定，单位为Pa；EA—杆的拉伸(压缩)刚度。胡克定律(Hooke’slaw)工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力182横向变形——与杆轴垂直方向的变形在基本情况下183钢材的E约为200GPa，υ约为0.25～0.33。泊松比184

2.横截面B,C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量E。

1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个杆纵向变形的表达式。

185FFFN

图F+-+位移：变形：186187例题

如图所示杆系，荷载P=100kN，试求结点A的位移ΔA。已知：a

=30°，l=2m，d=25mm，杆的材料(钢)的弹性模量为E=210GPa。188由胡克定律得

其中

1.求杆的轴力及伸长解：结点A的位移ΔA系由两杆的伸长变形引起，故需先求两杆的伸长。

由结点A的平衡(如图)有1892.由杆的总变形求结点A的位移

根据杆系的布置、约束、杆的材料以及受力情况均与通过结点A的铅垂线对称可知，结点A只有竖向位移(如图)。190亦即画杆系的变形图，确定结点A的位移

由几何关系得191从而得

此杆系结点A的位移(displacement)是因杆件变形(deformation)所引起，但两者虽有联系又有区别。变形是指杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。

192

应变能(strainenergy)——弹性体受力而变形时所积蓄的能量。

弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能Vε在数值上等于外力所作功W，Vε=W。应变能的单位为J（1J=1N·m）。§7-6拉伸(压缩)内的应变能193拉杆(压杆)在线弹性范围内的应变能或

外力F所作功：

杆内应变能：194亦可写作或

或

应变能密度

vε——单位体积内的应变能。应变能密度的单位为J/m3。195沿杆长均匀分布的荷载集度为f轴力图微段的分离体196解：应变能

例题求例题2-5中所示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理(Vε=W)求结点A的位移ΔA。已知：P=100kN，杆长l=2m，杆的直径d=25mm，a=30°，材料的弹性模量E=210GPa。197结点A的位移由

知198§7-7材料拉伸时的力学性质力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能。一试件和实验条件常温、静载矩形截面试样：或。

199试验设备：(1)万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。(2)变形仪（常用引伸仪）：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。200二低碳钢的拉伸201Ⅱ.低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能

拉伸图

纵坐标——试样的抗力F(通常称为荷载)

横坐标——试样工作段的伸长量202低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：

(1)阶段Ⅰ——弹性阶段变形完全是弹性的，且Δl与F成线性关系，即此时材料的

力学行为符合胡克定律。203

(2)阶段Ⅱ——屈服阶段在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45°的滑移线(，当α=±45°时τa的绝对值最大)。204(3)阶段Ⅲ——强化阶段

卸载及再加载规律

若在强化阶段卸载，则卸载过程中F－Δl关系为直线。可见在强化阶段中，Δl=Δle+Δlp。

卸载后立即再加载时，F－Δl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载——冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。206三卸载定律及冷作硬化1、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，这就是卸载定律。材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。207

(4)阶段Ⅳ——局部变形阶段试样上出现局部收缩——颈缩，并导致断裂。

208低碳钢的应力—应变曲线(s－e曲线)为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即，其中：A——试样横截面的原面积，l——试样工作段的原长。209明显的四个阶段:1、弹性阶段ob比例极限弹性极限2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）屈服极限3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）强度极限4、局部径缩阶段ef应力－应变曲线210两个塑性指标:1.断后伸长率:2.断面收缩率:为塑性材料为脆性材料低碳钢的为塑性材料211四其它材料拉伸时的力学性质

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限σp0.2来表示。212

对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。

σbt—拉伸强度极限。它是衡量脆性材料（铸铁σbt约为140MPa

）拉伸的唯一强度指标。213压缩试样

圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能)

正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能)

实验条件常温、静载压缩试件和实验条件214塑性材料（低碳钢）的压缩屈服极限比例极限弹性极限拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。E---弹性摸量215脆性材料（铸铁）的压缩脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限216217§7-9拉（压）杆接头的计算一、连接件的受力特点和变形特点：1、连接件在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。特点：可传递一般力，可拆卸。PP螺栓218m轴键齿轮特点：传递扭矩。以铆钉为例：PP铆钉特点：可传递一般力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处于该连接。无间隙平键连接为例：219以螺栓(或铆钉)连接为例螺栓破坏实验表明,连接处的破坏可能性有三种：FFFF(1)螺栓在两侧与钢板接触面的压力F作用下，将沿n-n截面被剪断；(2)螺栓与钢板在相互接触面上因挤压而使连接松动；(3)钢板在受螺栓孔削弱的截面处被拉断。其他的连接也都有类似的破坏可能性。实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。nn（合力）（合力）FF220剪切构件：主要发生剪切变形的构件。剪切定义:相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。变形特点：构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。221螺栓连接（图a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。F键连接（图b）中，键主要受剪切及挤压。工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破坏情况，作一些简化的计算假设，得出名义应力（nominalstress）,然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验结果所确定的相应许用应力比较，从而进行强度计算。这就是所谓工程实用计算法。222剪切的实用计算

剪切实用计算中，假定受剪面上各点处与剪力FS相平行的剪应力相等（即假设剪应力均匀地分布在剪切面上），于是受剪面上的名义应力为式中：—剪力；—剪切面积；—名义切应力剪切强度条件可表示为：式中：—构件许用剪切应力。其中的许用应力则是通过同一材料的试件在类似变形情况下的试验（称为直接试验）测得的破坏剪力也按名义切应力算得极限切应力除以安全因数确定。223nn（合力）（合力）FFt=FS/AS=F/ASFnnFnnFS(剪切面)名义切应力:224例如图所示冲床，kN，冲头MPa，冲剪钢板MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。解：（1）按冲头压缩强度计算所以（2）按钢板剪切强度计算所以225二、挤压的实用计算挤压：联接和被联接件接触面相互压紧的现象，如图就是铆钉孔被压成长圆孔的情况。有效挤压面：挤压面面积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影。挤压时，以P表示挤压面上传递的力，Aj表示挤压面积，则挤压应力（由于挤压而引起的应力）为在实用计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力是按某些假定进行计算的。226对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示，而最大挤压应力sbs的值大致等于把挤压力Fbs除以实际挤压面（接触面）在直径面上的投影。故取名义挤压应力为式中，d为挤压面高度，d为螺栓或铆钉的直径。227PPFbsFbs挤压：构件局部面积的承压现象。挤压力：在接触面上的压力。dδFbs挤压面有效挤压面积smax=dδ(b)(c)(a)挤压强度条件（准则）：

工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。228挤压强度条件为其中的许用挤压应力[sbs]也是通过直接试验，由挤压破坏时的挤压力按名义挤压应力的公式算得的极限挤压应力除以安全因数确定的。应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作用，因而当两者的材料不同时，应校核许用挤压应力较低的连接件或被连接件。工程上为便于维修，常采用挤压强度较低的材料制作连接件。229三、拉伸的实用计算螺栓连接和铆钉连接中，被连接件由于钉孔的削弱，其拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据；在实用计算中并且不考虑钉孔引起的应力集中。被连接件的拉伸强度条件为式中：FN为检验强度的钉孔中心处横截面上的轴力；A为同一横截面的净面积，图示情况下A=(b–d)d。{{FbsFNdbssdbPPttdPPP112233P/4230例截面为正方形的两木杆的榫接头如图所示。已知木材的顺纹许用挤压应力，顺纹许用剪切应力，顺纹许用拉应力。若P=40kN，作用于正方形形心，试设计b、a及l。解：1.顺纹挤压强度条件为2.顺纹剪切强度条件为2313.顺纹拉伸强度条件为联立解得232五、应用233变形特点：

Ⅰ.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；

Ⅱ.杆表面的纵向线变成螺旋线；

Ⅲ.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。MeMe第八章扭转234本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。235直接计算§4-1外力偶矩扭矩和扭矩图1.外力偶矩236按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶每秒作功：已知:轴转速－n

转/分钟输出功率－Pk

千瓦求：力偶矩Me其中：P—功率，马力（PS）n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）2372.扭矩和扭矩图238扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为

正(+),反之为

负(-)杆件因扭转而使其纵向线在某一段内有变成右手螺旋线的趋势是，该段杆横截面上的扭矩为正，反之为负。239240

例题

一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。241解：1.

计算作用在各轮上的外力偶矩2422.

计算各段的扭矩BC段内：AD段内：CA段内：(负)注意这个扭矩是假定为负的2433.

作扭矩图由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。244思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？24515.94.786.37

4.78246薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶

Me。§8-2薄壁圆筒的扭转2472.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度

。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。248(1)上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变(shearingstrain)。(2)该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。249横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的剪应力(shearingstress)，且圆周上所有点处的剪应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。Memmxr0tdA250二、薄壁圆筒剪应力

大小：

A0：平均半径所作圆的面积。251四、剪切虎克定律：

在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是不沿壁厚变化的，故有，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。252T=m

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。253等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面一、等直圆杆扭转实验观察：

各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一微小角度

。§8-3等直圆杆在扭转时的应力和变形2541.表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度g

。几何方面255可假设：1.横截面变形后仍为平面；只是刚性地绕杆轴线转动；2.轴向无伸缩；圆周扭转时可视为:许多薄壁筒镶套而成。256二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为

任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。2572.物理关系：虎克定律：代入上式得：Ttmaxtmax2583.静力学关系：令代入物理关系式得：TOdA259—横截面上距圆心处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。260单位：mm4，m4。对于实心圆截面：DdO对于空心圆截面：dDOd261④应力分布tmaxtmaxT（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。（实心截面）Ttmaxtmax262⑤确定最大剪应力：由知：当Wp

—

抗扭截面系数,单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：263实心轴与空心轴Ip

与Wp

对比实心圆截面：圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp264思考：对于空心圆截面，,其原因是什么？空心圆截面：265已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比

=0.5。二轴长度相同。求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴266空心轴d2＝0.5D2=23mm已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比

=0.5。二轴长度相同。求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。267确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm

实心轴d1=45mm长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：268P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min解：1、计算各轴的功率与转速M1=T1=1114N.mM2=T2=557N.mM3=T3=185.7N.m2、计算各轴的扭矩3已知：P1＝14kW,P2=P3=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d