复习3数字滤波器的结构及设计

2023/2/511、模拟滤波器的设计

2、数字滤波器的结构

3、IIR数字滤波器的设计

4、FIR数字滤波器的设计

数字滤波器及其设计2023/2/521

模拟滤波器的设计有关基本概念：

1．无失真条件2023/2/532023/2/54幅频响应是一常数，表明信号通过系统后，各频率分量的相对大小保持不变，没有幅度失真；相频响应是频率的线性函数（线性相位），说明系统对各频率分量的延迟时间相同，这就保证了各频率分量的相对位置不变，没有相位失真；但是在实际滤波器中，同时得到理想的幅频响应和理想的线性相位是不可能的。此外，当幅频响应特性有所改进的时候，相频响应经常就要变坏，或者相反。2023/2/55通带p阻带s2023/2/56

从频率响应的模方函数求滤波器的传输函数H(s)2023/2/57利用滤波器频率响应的模方函数可以求得传输函数H(s)（转移函数、传递函数），如果能由滤波器的设计参数（技术指标）得到其频率响应的模方函数，就为滤波器的结构设计提供了条件；因此，模拟滤波器的设计实际上就是由给定的设计参数确定滤波器传输函数H(s)的过程；由于高通、带通、带阻滤波器的传输函数都能经过频率变换从低通滤波器的传输函数求得，所以把低通滤波器称为原型低通滤波器。2023/2/581、原型低通滤波器的4个设计参数通带上限（临界）角频率Ωp阻带下限（临界）角频率Ωs通带最大允许衰减αp

，单位是dB阻带最小衰减αs

，单位是dB滤波器的对数幅频响应在Ωp和Ωs处分别达到αp

和αs定义衰减函数：则有2023/2/59

上述四种滤波器是设计低通滤波器时常用的、最能够接近理想滤波器频率响应特性的四种原型滤波器Chebyshev-II型Chebyshev-I型Butterworth型椭圆滤波器10总结以上，低通巴特沃斯模拟滤波器的设计步骤如下：根据技术指标wp,p,ws,s，求出滤波器的阶数N。(2)求出归一化极点pk，得到归一化传输函数H(p)。

(3)将H(p)去归一化。将p=s/wc代入H(p)，得到实际的滤波器传输函数H(s)。11

模拟高通滤波器的设计步骤如下：A、确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率wp’，阻带上限频率ws’，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。B、确定相应低通滤波器的设计指标，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：①低通滤波器通带截止频率wp=1/wp’；②低通滤波器阻带截止频率ws=1/ws’；③通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。12C、设计归一化低通滤波器G(p)。D、求模拟高通的H(s)。将G(p)先转换成归一化高通H(q)，再去归一化，得H(s)：13模拟带通的设计步骤A、确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率wu，带通下限频率wl下阻带上限频率ws1,上阻带下限频率ws2

通带中心频率w02=wlwu，通带宽度B=wu-wl与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：14B、确定归一化低通技术要求：

λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求。通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。C、设计归一化低通G(p)。D、将G(p)转换成带通H(s)。15设计带阻滤波器的步骤A、确定模拟带阻滤波器的技术要求：下通带截止频率wl，上通带截止频率wu阻带下限频率ws1，阻带上限频率ws2阻带中心频率w02=wuwl，阻带宽度B=wu-wl它们相应的归一化边界频率为

ηl=wl/B,ηu=wu/B,ηs1=ws1/B,ηs2=ws2/B,η20=ηuηl以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。16B、确定归一化模拟低通技术要求，取λs和-λs的绝对值较小的λs；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。C、设计归一化模拟低通G(p)D、将G(p)转换成带阻滤波器H(s)2023/2/517

数字滤波器的实现方法，即运算结构，可用方框图表示（信号流图）。运算结构的不同，将会影响系统的许多重要性能。无限冲激响应滤波器IIR与有限冲激响应滤波器FIR在结构上有各自不同的特点。2数字滤波器的结构

2023/2/5181、用信号流图表示滤波器（网络）结构基本流图表示：数字信号处理中有三种基本算法：乘法、加法和单位延迟。支路、箭头、支路增益、网络节点、运算单元构成整个运算结构。2023/2/5192、IIR数字滤波器的结构IIRdigitaltransferfunctionischaracterizedby(N+M+1)uniquecoefficients,andingeneral,requires(N+M+1)multipliersand(N+M)two-inputaddersforimplementation直接型DirectformIIRfilters:Filterstructuresinwhichthemultipliercoefficientsarepreciselythecoefficientsofthetransferfunction2023/2/520（1）直接I型IIR数字滤波器

传输函数：对应的差分方程为

对应上式的网络是一个反馈网络，这种结构形式称为直接I型。2023/2/521直接I型IIR滤波器结构的信号流图

整个直接I型IIR数字滤波器硬件是由两个网络相级联：第一个网络实现H(z)的零点，而第二个网络实现H(z)的极点。2023/2/522（2）直接II型IIR数字滤波器：可把H(z)视为两个子系统的级联其中第一子系统实现零点，为对应的差分方程为2023/2/523第二子系统实现极点为差分方程为

从数字滤波器的输入和输出关系来看，更换它所包含的两个子网络相级联的次序不会影响它的总特性，于是可以得到另一种网络图形，先按H(z)的极点实现一个子网络，然后再按H(z)的零点实现另一个子网络，即对图2的直接I型交换次序：2023/2/524合并后的信号流图－－直接II型（M＝N的情况）这种形式含有传输延迟的支路数目最少，因而实现数字滤波器传输函数H(Z)所需用延迟寄存器的数目也最少。但是系数和乘法器的舍入误差有积累效应，输出误差较大。2023/2/525（3）级联（cascade）型IIR数字滤波器系统函数H（z）中分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到：

式中A是常数，Cr和dr分别表示零点和极点。由于多项式的系数是实数，Cr和dr是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数。再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶子网络或一阶子网络：

2023/2/526得到级联型IIR数字滤波器。2023/2/527（4）并联（parallel）型IIR数字滤波器如果将数字滤波器的转移函数H(z)展开成部分分式和，则得到IIR并联型结构

式中，通常为一阶网络或二阶网络，二阶网络的系统函数一般为

其中，系数β0i,β1i,α1i,

α2i都是实数，如果α2i＝0，则构成一阶网络。2023/2/5283、FIR数字滤波器的结构FIR的结构特点是没有反馈支路，其单位脉冲响应是有限长的。设FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)为一个N点序列，0≦n≦N-1，则FIR滤波器的系统函数为系统函数中只有零点，没有极点。对应的差分方程为29（1）直接型FIR的结构：

系统的差分方程为显然，这就是LSI系统的卷积和公式，也是x(n)的延时链的横向结构，称为横截型结构或卷积型结构，也称为直接型结构：直接型信号流图2023/2/530（2）级联型FIR的结构：

将系统函数H(z)进行因式分解，并将孤立零点放在一起，形成一个系数为实数的一阶节；将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶节。这样级联型网络结构就是由这些一阶和二阶网络构成的级联结构，即：2023/2/531FIR数字滤波器级联型结构和信号流图：每个一阶节、二阶节可用FIR滤波器直接型结构实现,构成的级联型结构如图所示：这种结构的每一节控制一个零点（一阶节）或一对零点（二阶节），调整零点位置比直接型方便，因而在需要控制传输零点时，可以采用它。但是这种结构所需要的系数比直接型要多，因而所需的乘法器也比直接型的要多。另外，当H(z)的阶次高时，不易分解，因此普遍应用的是直接型。2023/2/532（3）线性相位FIR数字滤波器的结构：FIR滤波器的线性相位是非常重要的，因为数据传输以及图像处理都要求系统具有线性相位。所谓线性相位就是指滤波器对不同频率的正弦波所产生的相移和正弦波的频率成直线关系。而FIR滤波器由于它的脉冲响应是有限长的，因而有可能做成严格的线性相位。

如果FIR滤波器的单位脉冲响应为实数，且满足以下条件：

偶对称奇对称也就是说，其对称中心在处，则这种FIR滤波器就具有严格线性相位。

2023/2/533当N为奇数时H(z)可以分解为：2023/2/534N为奇数时线性相位FIR滤波器的直接型结构图：2023/2/535当N为偶数时H(z)可以分解为：2023/2/536N为偶数时线性相位FIR滤波器的直接型结构图：2023/2/5374数字滤波器技术指标通带：1-p

|H(ej)|1+p,0||p阻带：|H(ej)|s,s

||p

通带临界频率s

阻带临界频率p

通带最大纹波s

阻带最大纹波s-p

过渡带宽|H(ej)|为归一化幅频响应，是角频率的偶函数2023/2/538常用对数幅频特性：H()=20lg|H(ej)|dB通带最大纹波：p=20lg(1-p)dB阻带最小衰减：s=20lg(s) dB实际设计指标经常给出线频率f（Hz），需要进行转换：Ts

是采样周期2023/2/539设计流程：（1）数字域指标转换为模拟域指标：（2）设计模拟滤波器（利用低通原型）（3）利用冲激响应不变法或双线性变换法完成从S平面到Z平面的转换：

1、IIR数字滤波器的设计通用的方法是利用模拟滤波器的设计技术设计IIR数字滤波器：S平面到Z平面的映射：＝采样周期数字滤波器的技术指标:H(z),H(ejω)

模拟滤波器的技术指标：H(s),H(jΩ)

Ωp，Ωs，

αp

，αsωp，ωs，αp

，αs2023/2/5401冲激响应不变法（标准z变换法）上式结果使得H(z)中的z以对数形式出现，难以处理考虑：数字系统的h(n)是模拟系统h(t)的采样若：则是一阶系统，有：得ω和Ω成线性关系：求Z变换2023/2/541若是二阶系统，则有：符合：冲激响应不变法：设法把H(s)分解成多个一阶或二阶系统的并联或级联，分别转换！得求Z变换2023/2/542ImpulseinvarianceIIRfilterdesignh(t)toh[n]=h(nTs)特点：ω和Ω成线性关系；但是由于S平面虚轴上jΩ每隔2π/Ts就映射到Z平面单位圆上一周，引起频域混叠，所以如果采样频率不够高，或H(s)不是带限的（高通、带阻）时，就不能使用。2023/2/5432、双线性变换法双线性变换：为了避免频率混叠，放弃频率的线性转换关系，找新的关系：令：则有：2023/2/544这种映射关系利用了正切函数的非线性关系，采用非线性频率压缩方法，将频率范围进行压缩双线性变换的频率映射关系为：2023/2/545

可以使得S平面的虚轴jΩ只映射为Z平面的单位圆一周避免了频率混叠！！双线性变换法：频率呈非线性关系，不混叠又称为频率的预畸变（pre-warping)。使得高频时DF的幅频特性和AF的幅频特性不一致。但只要保证了DF的技术要求即可。对比冲激响应不变法：频率呈线性关系，但会出现混叠2023/2/547双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤：（1）按给定的数字滤波器技术指标ωp，ωs

，αp

，αs进行频率预畸变得到模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）的技术指标Ωp，Ωs

，αp

，αs：（2）对模拟滤波器的设计参数Ωp，Ωs，αp

，αs通过频率变换及归一化得到模拟低通原型的设计参数λp,λs,αp

，αs，N；2023/2/548（3）利用模方函数得到模拟低通原型的传输函数H(p)，（4）对低通原型的传输函数H(p)进行频率变换，得到对应模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）的传输函数H(s),（5）双线性变换得到数字滤波器的系统函数H(z):2023/2/5492、FIR数字滤波器的设计FIR数字滤波器是全零点系统，总是可实现的和稳定的，既可按非递归结构实现，又可按递归结构实现。非递归结构的FIR滤波器的运算量化噪声较小。FIR滤波器具有一定对称性，容易实现线性相位特性。但是，FIR滤波器要取得好的频率特性，需要较高的阶数，运算量较大，一般要借助计算机。设计思路：对理想滤波器的频率响应作某种近似，近似设计方法有窗口设计法（窗函数法）、频率抽样法、最佳一致逼近法。2023/2/550FIR滤波器的线性相位是非常重要的，因为数据传输以及图像处理都要求系统具有线性相位。FIR滤波器由于它的单位抽样响应是有限长的，因而有可能做成严格的线性相位。

1、FIR系统的线性相位特性FIR数字滤波器的传输函数：其频率响应（DTFT）为：幅度函数：是频率ω的实函数，可以取正或负相位函数：是频率ω的实函数2023/2/551根据h(n)的对称特性和N的奇偶特性，FIR数字滤波器的频率响应可能具有以下4种特性：（1）h(n)偶对称（第一类线性相位），N为奇数：2023/2/5522023/2/553Hg(ω)在ω＝0处偶对称2023/2/5542023/2/555（2）h(n)偶对称（第一类线性相位），N为偶数：2023/2/5562023/2/557（3）h(n)奇对称（第二类线性相位），N为奇数：对上式第三项，作n=N-1-n变换，并利用奇对称：2023/2/5582023/2/5592023/2/560（4）h(n)奇对称（第二类线性相位），N为偶数：2023/2/561总结FIR数字滤波器为线性相位的充要条件：（1）h(n)是实数；（2）h(n)满足以n=(N-1)/2为中心的偶对称或奇对称。第一类线性相位FIR滤波器（h(n)偶对称），具有严格线性相位，有(N-1)/2个采样点的群延迟；第二类线性相位FIR滤波器（h(n)奇对称），具有初始相位90o的线性相位，有(N-1)/2个采样点的群延迟；类型1：h(n)偶对称N为奇数，可以用作各类滤波器；类型2：h(n)偶对称N为偶数，只能用作低通和带通滤波器；类型3：h(n)奇对称N为奇数，只能用作带通滤波器；类型4：h(n)奇对称N为偶数，只能用作高通和带通滤波器。

由前面的分析可知：FIR滤波器的转移函数是复变量的多项式而不是有理式，所以它的设计就不能象IIR滤波器那样先设计模拟滤波器再进行数字化，而是根据给定指标直接找出可实现的理想滤波器的函数，用有限冲激响应来逼近设计指标。2023/2/5622、FIR数字滤波器的窗函数设计法从时域出发，用窗函数截取理想滤波器的单位抽样响应hd(n)；以有限长的h(n)逼近hd(n)；这样得到的滤波器其频率响应H(ejω)将逼近理想滤波器的频率响应Hd(ejω)

。可见，窗函数设计法不能精确地指定滤波器参数ωp，ωs

，αp

，αs

，而只能由通带截止频率ωc以及窗函数的长度和性能来决定滤波器的性能。2023/2/563FIR数字滤波器的窗函数设计法步骤：由设计指标Hg(ω)，确定hd(n);(用傅里叶级数法，hd(n)有无限多项）2.根据对过渡带到阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N，wN(n);3.h(n)=hd(n)·wN(n)4.对h(n)求DTFT得到H(ejω)，与Hd(ejω)比较，合格则设计完毕，不合格则修改窗函数及其参数，重复3、4步骤直到合格为止。2023/2/564

四类FIR数字滤波器的窗口法设计

（1）、低通（LP）数字滤波器:

理想低通模型为：Hg(ω)=|Hd(ejω)|=1

φ(ω)=－Nω/2上式为非因果序列，进行截短（相当于在时域乘窗函数，频域和窗谱相卷积），变成长度为N＋1的因果序列：Hd(ejω)=Hg(ω)ejφ(ω)2023/2/565（2）、高通（HP）数字滤波器的设计:上式为非因果序列，进行加窗函数截短，变成长度为N＋1的因果序列：理想高通模型：2023/2/566（3）、带通（BP）数字滤波器的设计:理想带通模型：上式为非因果序列，进行加窗函数截短，变成长度为N＋1的因果序列：2023/2/567（4）、带阻（BS）数字滤波器的设计:理想带阻模型：上式为非因果序列，进行加窗函数截短，变成长度为N＋1的因果序列：2023/2/5682.3窗函数的选择

在信号处理中经常需要用窗函数对信号进行截短，矩形窗是最简单的窗函数，对信号的自然截短就意味着在时域乘了矩形窗，窗的宽度就是截短后信号数据的长度。窗函数的频谱影响了截短后信号的频谱，对滤波器设计而言，窗函数的频谱影响了滤波器的性能。

窗函数的影响：

（1）平滑了频谱，降低了频率分辨率；（2）造成频谱“泄漏”。

2023/2/569由于窗函数的截短效应，实际的幅频特性曲线中存在通带和阻带内的波纹：N小，通带窄，过渡带大，阻带波纹大；N增大过渡带减小，阻带波纹减小，但通带内出现波纹；过渡带宽度小于等于窗谱主瓣宽度。

随着N增大，通带波纹并不消逝，称为吉布斯(Gibbs)现象。这是因为矩形窗的频谱是sinc函数，有较大旁瓣，矩形窗频谱和Hd(ejω)卷积产生了吉布斯现象，应尽量减小，可以设计和采用旁瓣较小的其它窗。对hd(n)加矩形窗处理后，Hg(ω)与原理想低通Hd(ω)的区别：在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过渡带的宽度近似为WRg(ω)主瓣宽度4π/N通带内产生了波纹，最大的峰值在ωc-2π/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。通带与阻带中波纹的情况与窗函数的幅度谱有关。WRg(ω)旁瓣幅度的大小直接影响Hg(ω)波纹幅度的大小。这两点就是用窗函数直接截断hd(n)而引起的截断相应在频域中的反应，即吉布斯效应。2023/2/570如何减少吉布斯效应？调整窗口长度N可以有效地控制过渡带的宽度。减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的形状上找解决办法。为了消除吉布斯效应，取得较好的频率特性，一般采用其他类型的窗口，这些窗口函数在靠近两端的h(n)逐步衰减到零，使窗口频谱的主瓣包含更多的能量。从而降低通带内的波纹并加大阻带的衰减。2023/2/571几种常用的窗函数矩形窗（RectangleWindow)三角形窗（BartlettWindow)汉宁窗（Hanning)----升余弦窗汉明窗（Hamming)----改进的升余弦窗布莱克曼窗（Blackman)凯泽窗（KaiserWindow)2023/2/5722023/2/573Rectangularwindow：W[n]=100.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBRectangularwindow主瓣宽度为4π/N,第一旁瓣比主瓣低13dB2023/2/574Hanningwindow:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBHanningwindow能量更集中在主瓣中，但主瓣宽度加宽到8π/N2023/2/575Hammingwindow:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBHammingwindow能量更加集中在主瓣中（占99.96%），第一旁瓣的峰值比主瓣小40dB,主瓣宽度仍为8π/N2023/2/576Blackmanwindow:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBBlackmanwindow旁瓣进一步减小,但主瓣宽度变宽为12π/N2023/2/577Kaiserwindow:I0是修正的零阶贝塞尔函数β:控制阻带的重要参数。β加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小。4<β<9（β=0矩形窗）2023/2/578窗函数主瓣宽度第一旁瓣相对主瓣的幅度阻带最小衰减矩形窗4π/N-13dB-21dB三角窗8π/N-25dB-25dB汉宁窗(hanning)8π/N-31dB-44dB汉明窗(hamming)8π/N-41dB-53dBBlackman12π/N-57dB-74dBKaiser(α=7.865)10π/N-57dB-80dB

这些窗函数都是对称的，可以用来设计线性相位FIR滤波器2023/2/579对窗函数的综合要求：

（1）窗谱的主瓣应尽可能窄，以使设计出的滤波器有较陡的过渡带；

（2）窗谱的最大旁瓣相对于主瓣尽可能小，使设计出的滤波器幅频特性中肩峰和余振较小，纹波较小，从而阻带衰减较大。窗函数法的参数选择：

(1)确定截止频率c

(2)利用过渡带宽度的要求确定窗函数的主瓣宽度

(3)选择窗函数形式

(4)利用关系式A/N估计窗口长度N，其中A是常数窗函数法设计简单、实用，但是不能得到最佳效果，而且当理想滤波器的频率响应Hd(ejω)不能用简单的函数式表示的时候，则很难求出hd(n)。窗函数法小结1.由给定的滤波器的幅频响应Hd