郭中珍 2.1.2三角形高、中线及角平分线

——2.1.2

三角形的中线、高和角平分线本节内容2.1

三角形

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.1.怎样的图形叫做三角形？复习回顾

2、小明有两根长度分别为6cm，9cm的木条，他想钉一个三角形的木框,现在有长度分别为2cm，3cm，8cm，15cm的木条供他选择，那么他所选的木条长度应为（).A、2cmB、3cmC、8cmD、15cmC3.三角形的边有哪两个性质？

三角形任何两边的和大于第三边,三角形任何两边的差小于第三边.应用性质:判断三条线段能否构成一个三角形.复习回顾请大家回忆，小学学过三角形的哪些重要线段？你对它有何认识？说一说A（水源）BC从前，有个老农家有一块三角形的水田，有四个儿子。他临终时立下遗嘱，说要将水田平均分给四个儿子。点A处是水源，要求每个儿子的水田都能有水灌溉。聪明的你能否帮助老农实现遗愿呢？考考你新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！ABC...把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C．.DEFG观察移动过程中形成的无数条线段（AD、AE、AF、AG…）中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置?观察学习目标1.说出三角形的高线,中线,角平分线的定义和三角形的重心定义；会画出任意三角形的高线,中线,角平分线.2.用三角形的高线,中线,角平分线的定义能解释一些简单的计算和推理.2.线段中点的定义：3.角平分线的定义：1.垂线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。把一条线段分成两条相等的线段的点。当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。回顾与思考自研自探

阅读课本P44的内容:1.正确理解三角形的高线,角平分线,中线的定义：2.试用直角三角板画出图中三边的高.线:3.三角形的重心:你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?012345678910012345012345画法012345678910012345012345012345678910012345012345

过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?BAC三角形的高A从三角形的一个顶点BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足D之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高.如图,线段AD是BC边上的高.∴∠BDA=∠CDA=90°三角形高的符号语言：∵AD是△ABC的高

任意画一个锐角△ABC,和垂足的字母.ABC请你画出BC边上的高.注意!

标明

垂直的记号D三角形的高合作学习

(1)用三角尺分别作图1-13中锐角三角形ABC,直角三角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高.ABCDEFPQR

(2)观察你所作的图形,比较三个三角形中三条高的位置,与三角形之间有什么关系?图1-13DEFHSNM锐角三角形的三条高

在纸上画一个锐角三角形(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流锐角三角形的三条高交于同一点.O锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高都在三角形的内部。ABCDEF直角三角形的三条高在纸上画一个直角三角形将你的结果与同伴进行交流.ABC(1)画出直角三角形的三条高直角边BC边上的高是

;AB直角边AB边上的高是

;CB(2)它们有怎样的位置关系？直角三角形的三条高交于直角顶点.D斜边AC边上的高是

;BD●钝角三角形的三条高在纸上画一个钝角三角形（1）画出钝角三角形的三条高FE（2）钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点（3）它们所在的直线交于一点吗？钝角三角形的三条高所在直线交于一点ABCD高锐角三角形直角三角形钝角三角形条数位置

垂足交点图形

结论ABCDEFPQR333都在三角形内部直角边上的高分别与另一条直角边重合，还有一条高在三角形内部夹钝角两边上的高在三角形外部，另一条高在内部在相应顶点的对边上①是直角的顶点②在斜边上①在相应顶点的对边的延长线上②在钝角的对边上在三角形内部在直角顶点在三角形外部从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，叫做三角形这边的高。顶点和垂足之间的线段三角形的三条高所在直线交于一点2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形B3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在（）

A.三角形的内部B.三角形的外部

C.三角形的一条边上D.不能确定

D1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC

的高()ADCBABCDABCDABCD(A)(B)(C)(D)D课堂测试:下列各阴影部分的面积有何关系？Ｓ乙>Ｓ甲＝Ｓ丙巩固提高巩固提高如图，AB∥DC,CB⊥AB,若AB=6，△ABC的面积为2，求△ABD中AB边上的高.ADBC解：在△ABC中，∵AB=6，S△ABC=12，BC⊥AB∴S△ABC=三角形的中线在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线.ABCD∵AD是△ABC的中线∴BD=CD=12BC●●三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.三角形中线的符号语言：EFO动手试一试任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形的三条角平分线，你有什么发现？三角形的三条角平分线会交于同一点，称之为三角形的内心．三角形的角平分线ABCD∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD

=

∠CAD=１２∠BAC●在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。●三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部︶︶12动手试一试任意画一个三角形，然后利用刻度尺画出这个三角形的三条中线，你有什么发现？三角形的三条中线会交于同一点，称之为三角形的重心．ACBFEDO∵BE是△ABC的角平分线∴

=

_____

=

_____∴∠ACB=2______=2______∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF∵CF是△ABC的角平分线∠BCF角平分线的符号语言

三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？思考三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线填一填如图，AF是ΔABC的角平分线，AE是BC边上的中线，选择“＞”“＜”或“=”号填空：FECBA（1）BE___EC（2）∠CAF___―∠BAC12（3）∠AFB___∠C+∠FAB（4）∠AEC___∠B===＞练一练如图,在⊿ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的?⌒⌒ABCDE12FGH①AD是⊿ABE的角平分线()②BE是⊿ABD边AD上的中线()③BE是⊿ABC边AC上的中线()④CH是⊿ACD边AD上的高()三角形的高、中线与角平分线都是线段×××√练习拓展AFCDAC3.填空：（1）如图1，AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2

,BD=

,AE=

。

（2）如图2，AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1=

,∠3=

,∠ACB=2

。

∠2

∠ABC∠4拓展练习CEBC∠CAD∠BAC∠AFC4.填空：如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。（1）BE=

=

；（2）∠BAD=

=

；（3）∠AFB=

=

90°拓展练习5.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质()

A.是边BB′上的中线B.是边BB′上的高

C.是∠BAB′的角平分线D.以上三种性质合一D拓展练习6.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是()A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC,BD=EC

D.∠C的对边是DEC例1如图1-14,在△ABC中,AD是△ABC的高,AE是△ABC的角平分线.已知∠BAC=820,∠C=400,求∠DAE的大小.ACBDE图1-1482°40°举例例2如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.

（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来.解（1）图中有6个三角形，它们分别是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.（2）其中哪些三角形的面积相等？解因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC.因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD=S△ADC.又从这个例题中你有什么发现吗?例2如图1-15,在△ABC中,AE,AD分别是BC边上中线和高,说明△ABE的面积与△AEC的面积相等.ABDEC图1-15同高等底的两个三角形面积相等。三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。CABD如图，AD是△BAC的角平分线。已知∠B＝48°，∠C＝63°，求下列各角的度数：（1）∠BAD；（2）∠ADB例题解：（1）∵AD是△BAC的角平分线∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC∵∠BAC＋∠C＋∠B＝180°（根据是什么？）∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝180°－63°－48°＝69°∴∠BAD＝34.5°2.

如图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，

BF是△EBD的角平分线，根据已知条件填空：ADC90AEABEBFDBE练习A（水源）BC从前，有个老农家有一块三角形的水田，有四个儿子。他临终时立下遗嘱，说要将水田平均分给四个儿子。点A处是水源，要求每个儿子的水田都能有水灌溉。聪明的你能否帮助老农实现遗