北京理工大学数值分析课件 3 解线性方程组迭代法

第三章解线性方程组的迭代法迭代法：用某种极限过程去逐步逼近方程组的精确解，优点是需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算机中始终不变，但存在收敛性和收敛速度等问题。它是解大型稀疏系数矩阵方程组的有效方法。迭代的向量序列（收敛到方程组的精确解）作足够多的有限次迭代，得到满足精度要求的近似解要解决的主要问题1.如何构造迭代公式从而产生迭代向量序列2.向量序列是否收敛到精确解的判别3.即使收敛，收敛的速度又如何4.误差估计迭代公式构造的一般思路要解的方程组同解的方程组迭代公式注：称作一阶线性定常迭代公式，称作迭代矩阵向量序列与矩阵序列的收敛性:§1雅可比（Jacobi）迭代法即记Jacobi迭代矩阵计算公式：例1用Jacobi迭代法求解线性方程组解：Jacobi迭代计算公式为x=Jacobi_iter(A,b,20,1e-5,x0)kx1x2x3....1.00007.20008.30008.40002.00009.710010.700011.50003.000010.570011.571012.48204.000010.853511.853412.82825.000010.951011.951012.94146.000010.983411.983412.98047.000010.994411.994412.99338.000010.998111.998112.99789.000010.999411.999412.999210.000010.999811.999812.999711.000010.999911.999912.999912.000011.000012.000013.000013.000011.000012.000013.000014.000011.000012.000013.0000Jacobimethodconvergedx=11.000012.000013.0000写成矩阵形式§2高斯－赛德尔（Gauss－Seidel）迭代法即即

记Gauss－Seidel迭代法的矩阵表示：例2用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组解：G-S迭代计算公式为x=Gauss_Seidel_iter(A,b,20,1e-5,x0)kx1x2x3.....1.00007.20009.020011.64402.000010.430811.671912.82053.000010.931311.957212.97774.000010.991311.994712.99725.000010.998911.999312.99966.000010.999911.999913.00007.000011.000012.000013.00008.000011.000012.000013.0000Gauss_seidelmethodconvergedx=11.000012.000013.0000x=Jacobi_iter(A,b,20,1e-5,x0)kx1x2x3....1.00007.20008.30008.40002.00009.710010.700011.50003.000010.570011.571012.48204.000010.853511.853412.82825.000010.951011.951012.94146.000010.983411.983412.98047.000010.994411.994412.99338.000010.998111.998112.99789.000010.999411.999412.999210.000010.999811.999812.999711.000010.999911.999912.999912.000011.000012.000013.000013.000011.000012.000013.000014.000011.000012.000013.0000Jacobimethodconvergedx=11.000012.000013.0000求G-S的迭代矩阵?换个角度看Gauss-Seidel方法：§4松弛法（SOR法）松弛法的基本思想：SOR计算公式：计算公式：矩阵表示：松弛因子的选取对收敛速度影响极大，最优松弛因子的确定一般根据经验和试算，特别的，当A为对称正定的三对角矩阵时，有：Jacobi:各个分量的计算顺序无关,可用于并行计算G-S:减少了存储量,要求计算顺序,SOR:是G-S的推广,或是G-S的加速迭代法:求解大型稀疏线性方程组的常用方法,

保持矩阵的稀疏性分裂A换一个角度§4迭代法的收敛条件4.1矩阵的谱半径

ReIm(A)x4.2迭代法的收敛条件充分条件严格对角占优非对角占优5.3误差估计§6最速下降法与共轭梯度法Steepestdescentmethod6.1最速下降法6