山西省忻州市黄河小博士学校2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析

山西省忻州市黄河小博士学校2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，集合，则A∩B等于

(

)A.(0,2) B.(0,2] C.(－∞,2] D.R参考答案：B【分析】首先求得集合A,B，然后求解其交集即可.【详解】求解函数的值域可得，求解指数不等式可得，由交集的定义可得：，表示为区间形式即.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知复数z满足（1﹣i）z=i2015（其中i为虚数单位），则的虚部为（）A． B．﹣ C．i D．﹣i参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数、虚部的定义即可得出．解答：解：∵i4=1，∴i2015=（i4）503?i3=﹣i，∴（1﹣i）z=i2015=﹣i，∴==，∴=，则的虚部为．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数、虚部的定义，属于基础题．3.已知等比数列中，，则前9项之和等于（

）Ks5uA．50

B．70

C．80

D．90参考答案：B4.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），若=x+y，则x的取值范围是(

) A．（﹣1，0） B．（0，） C．（0，1） D．（﹣，0）参考答案：A考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，又由=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），利用共面向量基本定理即可得出解答： 解：由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，所以=x+y=x+（1﹣x）=x（）+=x+，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），所以x的取值范围为﹣1＜x＜0；故选：A．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线向量定理、共面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．5.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为A． B． C． D．参考答案：设圆柱的底面半径为，高为，则，则，则侧，全，故圆柱的侧面积与全面积之比为，故选．6.已知都是正实数，函数的图象过(0,1)点，则的最小值是A．

B．

C．4

D．2参考答案：A略7.已知对应的点位于复平面内的

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：答案：C8.函数y=ln(1-x)的大致图象为

(

）参考答案：C9.已知二次函数的图象如图1所示,则其导函数的图象大致形状是

（

）

参考答案：B设二次函数为，由图象可知，，对称轴，所以，，选B.10.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（

）A．1盏 B．3盏

C．5盏

D．9盏参考答案：B设顶层灯数为，，，解得．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如右图放置的边长为2的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点P（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为

；

在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为

.(说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。)参考答案：8略12.如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于的概率为

.参考答案：略13.已知向量，则向量与的夹角的余弦值为__________________.参考答案：略14.已知满足，则的最大值是____________．参考答案：4略15.已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，，，，则平面四边形ABCD面积的最大值为________．参考答案：16.已知函数恒成立，则实数a的取值范围是

。参考答案：a≤2

17.由函数围成的几何图形的面积为参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，（1）求M﹣1；（2）求直线4x﹣9y=1在M2的作用下的新曲线的方程．参考答案：【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】对应思想；定义法；矩阵和变换．【分析】（1）根据矩阵M，求出它的逆矩阵M﹣1；（2）根据题意，求出M2以及对应M2[]的表达式，写出对应新曲线方程．【解答】解：（1）∵M=[]，∴M﹣1=[]；（2）∵M2=[]，∴M2[]=[][]=[]=[]；又∵4x﹣9y=1，∴x′﹣y′=1，即所求新曲线的方程为x﹣y=1．【点评】本题考查了矩阵与逆矩阵的应用问题，也考查了矩阵变换的应用问题，是基础题．19.（12分）已知函数.（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2）设，若函数存在两个零点，且实数满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由.参考答案：解：（1） 由题意，知恒成立，即．

又，当且仅当时等号成立．故，所以．

（2）设在的切线平行于轴，其中结合题意，有

①—②得所以由④得所以⑤

设，⑤式变为设，所以函数在上单调递增，因此，，即也就是，，此式与⑤矛盾．所以在处的切线不能平行于轴．

略20.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CD1的中点，AA1=AD=1，AB=2．（1）求证：EF∥平面BCC1B1；（2）求证：平面CD1E⊥平面D1DE；（3）在线段CD1上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，若存在，求的值，不存在，说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM，推导出EBMF是平行四边形，从而EF∥BM，由此能证明EF∥平面BCC1B1．（2）推导出D1D⊥CE，CE⊥DE，从而CE⊥平面D1DE，由此能证明平面CD1E⊥平面D1DE．（3）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，利用向量法能求出线段CD1上存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，且=．【解答】证明：（1）过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM，∵F是CD1的中点，∴FM∥C1D1，FM=C1D1，又∵E是AB中点，∴BE∥C1D1，BE=C1D1，∴BE∥FM，BE=FM，EBMF是平行四边形，∴EF∥BM又BM在平面BCC1B1内，∴EF∥平面BCC1B1．

（2）∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD内，∴D1D⊥CE在矩形ABCD中，DE2=CE2=2，∴DE2+CE2=4=CD2，∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D1DE，∵CE在平面CD1E内，∴平面CD1E⊥平面D1DE．解：（3）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则C（0，2，0），E（1，1，0），D1（0，0，1）平面D1DE的法向量为=（﹣1，1，0），设=（0，2λ，﹣λ），（0＜λ＜1），则Q（0，2λ，1﹣λ），设平面DEQ的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则=（﹣1，1，），∵二面角Q﹣DE﹣D1为45°，∴cos45°===，由于0＜λ＜1，∴﹣1，∴线段CD1上存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，且=．21.已知函数（）（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）设函数，当时，函数的最小值为，且（），求的最小值.参考答案：（Ⅰ）当时，化为当时，不等式化为，解得当时，不等式化为，解得当时，不等式化为，解得综上不等