山西省忻州市秀容中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析

山西省忻州市秀容中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A． B．5 C． D．参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为边长为1的正方体切去一个三棱锥得到的，共含有7个面．【解答】解：由三视图可知该几何体为边长为1的正方体切去一个三棱锥得到的，三棱锥的底面边长为正方体相邻三个面的对角线长，剩余几何体有3个面为原正方体的面，有3个面为原正方体面的一半，有1个面为等边三角形，边长为原正方体的面对角线长．∴几何体的表面积为1×3++（）2=．故选A．2.下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.关于直线、与平面、，有下列四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若且，则；其中真命题的序号是(

).A．①②

B．②③

C．①④

D．③④参考答案：B4.在△ABC中，已知，则C=（

）A.300

B.1500

C.450

D.1350参考答案：C5.给出下面7个关系式：①②

③④⑤

⑥⑦，其中正确的个数是

A

3

B

4

C

5

D6参考答案：B6.的零点在下列哪个区间内（

）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）参考答案：B7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A．8+4 B．8+4 C．8+16 D．8+8参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，由三视图求出棱长、判断出线面的位置关系，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图和题意知几何体是三棱锥P﹣ABC，直观图如图所示：D是AC的中点，PB⊥平面ABC，且PD=BD=2，∴PB⊥AB，PB⊥BC，PB⊥BD，则PB=2，∵底面△ABC是等腰三角形，AB=BC=2，AC=4，∴PA=PC=2，∴该几何体的表面积S==8+4，故选A．8.设集合和集合都是自然数集，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，则在映射下，像20的原像是（）A.2

B.

3

C.4

D.

5参考答案：C略9.设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.下列命题正确的是().A．若l⊥β，则α⊥β

B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β

D．若α∥β，则l∥m参考答案：A10.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.1参考答案：B【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.【详解】由三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，则cosα=．参考答案：【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】先确定α+的范围，求得cos（α+）的值，进而利用余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵，，∴∈（﹣，），∴cos（）==，∴cosα=cos（α+﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）sin==．故答案为：．12.在等比数列中，已知，，，则项数

.参考答案：

4

略13.已知ABC满足,则ABC的形状是三角形。参考答案：直角三角形

解析：注意到已知等式关于A，B的对称性，为便于推理，我们在这里不妨设A，B为锐角，

则有

故由此可得

∴cosC=0即C=90°∴ABC为Rt14.设函数f（x）=，则f（f（））=

．参考答案：1【考点】函数的值．【分析】先求出==4，从而f（f（））=f（4），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴==4，f（f（））=f（4）==1．故答案为：1．15.已知实数满足，则的最大值为

．参考答案：416.设集合，，若，则a的取值范围为________．参考答案：.【分析】先化简集合A,再根据得到关于a的不等式求出a的取值范围.【详解】由得，∴，由得，∴．又当时，满足，时，也满足，∴.故答案为【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．17.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分）如图，长方体中，,点是棱上一点（I）当点在上移动时，三棱锥的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积（II）当点在上移动时，是否始终有，证明你的结论。参考答案：（I）三棱锥的体积不变,所以（II）当点在上移动时，始终有，证明：连结,四边形是正方形，所以,因为,

19.如图，以坐标原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边分别作角与(0<<<)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(-，)．

(I)求的值；

(II)若，求的值．参考答案：20.已知函数．（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【分析】（1）由f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，得a＜+2x．记g（x）=+2x，在（1，+∞）上是增函数，得g（x）＞g（1）=3，由此能求出a的范围．（2）函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），再由n＞m＞0和0＞n＞m两种情况分别讨论实数a的取值范围．【解答】解：（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，得a﹣＜2x即a＜+2x，记g（x）=+2x，在（1，+∞）上是增函数，得g（x）＞g（1）=3，所以：a≤3（2）函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）ⅰ）当n＞m＞0时，f（x）在[m，n]上是增函数，故，解得：a＞2；ⅱ）当0＞n＞m时，f（x）在[m，n]上是减函数，故，解得：a=0；所以：a∈{0}∪（2，+∞）．21.（本小题满分13分）已知数列，其前项和为．（1）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；（2）如果数列满足，请证明数列是等比数列；（3）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值．参考答案：解：（Ⅰ）当时，，

……………1分当时，．

……………2分又满足，

……………3分

．

………………4分∵

，∴数列是以5为首项，为公差的等差数列．

………………5分

（Ⅱ）由已知得

，

………6分∵

，

……7分又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．

………………8分（Ⅲ）

……10分

∴

．

……11分∵

，∴单调递增．∴．

…12分∴，解得，因为是正整数，∴．………………13分略22.在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．参考答案：【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根