山西省忻州市赵家营学校2023年高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省忻州市赵家营学校2023年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用“辗转相除法”求得360和504的最大公约数是（）A．72 B．36 C．24 D．2520参考答案：A【考点】用辗转相除计算最大公约数．【分析】用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．【解答】解：∵504÷360=1…144360÷144=2…72144÷72=2∴360和504的最大公约数是72故选A．2.对于函数，下列说法正确的是（

）

A．该函数的值域是

B．当且仅当时，

C．当且仅当时，该函数取最大值1

D．该函数是以为最小正周期的周期函数参考答案：B由图象知，函数值域为，A错；当且仅当时，该函数取得最大值，C错；最小正周期为，D错.3.设，直线x=﹣1，x=1，y=0，y=e围成的区域为M，曲线y=f（x）与直线x=1，y=0围成的区域为N，在区域M内任取一点P，则P点在区域N的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】根据题意，画出曲线y=f（x）与直线x=1，y=0围成的区域为N（阴影部分），以及直线x=﹣1，x=1，y=0，y=e围成的区域为M，计算阴影面积与正方形面积比即可．【解答】解：如图，SN=×1×1+exdx=+ex|=+e﹣1=e﹣，SM=2e，∴P点在区域N的概率为==﹣，故选：A4.已知的图象与的图象的相邻两交点间的距离为，要得到的图象，只需把的图象A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：A5.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①，②y=x2，③，④y=x﹣1B．①y=x3，②y=x2，③，④y=x﹣1C．①y=x2，②y=x3，③，④y=x﹣1D．①，②，③y=x2，④y=x﹣1参考答案：B略6.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a=，A=，则b+c的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．2参考答案：C【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理可得：===2，于是b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin=2sin，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：===2，∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin=2sinB+2cosB+=3sinB+cosB=2sin≤2，当且仅当B=时取等号．∴b+c的最大值为2．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.定义域为R的四个函数，，，中，偶函数的个数是(

)A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：8.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B由题意知点P的坐标为（-c,）,或（-c,-），因为，那么，这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为，选B

9.执行如图所示的程序框图，输出的S是（）A．10 B．15 C．20 D．35参考答案：D【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的p，s，i的值，当i=6时，不满足条件i≤5，退出循环，输出s的值为35．【解答】解：执行程序框图，有i=1，p=0，s=0满足条件i≤5，p=1，s=1，i=2满足条件i≤5，p=3，s=4，i=3满足条件i≤5，p=6，s=10，i=4满足条件i≤5，p=10，s=20，i=5满足条件i≤5，p=15，s=35，i=6不满足条件i≤5，退出循环，输出s的值为35．故选：D．10.已知函数,是函数的导函数，且有两个零点和(),则的最小值为A．

B．

C．

D．以上都不对参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若偶函数对定义域内任意都有，且当时，，则

.参考答案：-1

略12.下列命题的说法错误的是（）A．对于命题p：?x∈R，x2+x+1＞0，则?p：?x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定判断A的正误；充要条件判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，命题p：?x∈R，x2+x+1＞0，则?p：?x0∈R，x02+x0+1≤0，满足命题的否定关系，正确；对于B，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，满足“x=1”?“x2﹣3x+2=0”，反之，不成立，所以B正确；对于C，若命题p∧q为假命题，则p，q至少一个是假命题，所以C不正确；对于D，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，满足逆否命题的形式，正确．故选：C．13.投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为____________.参考答案：略14.已知点，当两点间距离取得最小值时，x的值为_________.

参考答案：略15.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则m+n的取值范围为．参考答案：[2，+∞）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，点O是BC的中点，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三点共线，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故m+n的取值范围为[2，+∞），故答案为：[2，+∞）16.已知为等差数列，，为其前n项和，则使达到最大值的n等于___________.参考答案：617.已知F1，F2是椭圆=1的两个焦点，A，B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P在线段AB上，则的最小值为．参考答案：﹣【分析】求得椭圆的焦点和A，B的坐标，以及直线AB的方程，设出P（m，n），求得的坐标表示，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方，运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值．【解答】解∵椭圆=1，∴A（﹣2，0），B（0，1），F1（﹣，0），F2（，0），可得AB的方程为x﹣2y+2=0，设P（m，n），则=（﹣﹣m，﹣n）（﹣m，﹣n）=m2+n2﹣3，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方．可得原点到直线AB的距离取得最小，且为=，即有m2+n2﹣3的最小值为﹣3=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查椭圆方程和性质，考查向量的坐标表示及最值的求法，解题时要认真审题，注意m2+n2的几何意义的合理运用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，，，是常数．⑴求曲线在点处的切线．⑵是否存在常数，使也是曲线的一条切线．若存在，求的值；若不存在，简要说明理由．⑶设，讨论函数的单调性．参考答案：⑴，，……1分，所以直线的方程为。⑵设在处的切线为，则有……4分，解得，即，当时，是曲线在点的切线．⑶．当，时，……7分，在单调递增；当时，……9分，在单调递增，在单调减少；当时，解得，，在和单调递增，在单调减少；当时，解得，（舍去）……13分，在单调递增，在单调减少．19.中学高三文科班学生参加了数学与地理水平测试，学校从测试合格的学生中随机抽取100人的成绩进行统计分析.抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人.（1）若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值；（2）若样本中，求在地理成绩及格的学生中，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.

参考答案：（1），；（2）.

（1）由，得，

3分∵∴，∴，；

6分（2）由题意知，且，∴满足条件的有,共14组.且每组出现的可能性相同.

9分其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有：共6组.

11分∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为.

12分20.（14分）已知函数f（x）=e﹣x（x2+ax）在点（0，f（0））处的切线斜率为2．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设g（x）=﹣x（x﹣t﹣）（t∈R），若g（x）≥f（x）对x∈[0，1]恒成立，求t的取值范围；（Ⅲ）已知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+）an，求证：当n≥2，n∈N时f（）+f（）+L+f（）＜n?（）（e为自然对数的底数，e≈2.71828）．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；从而可得f′（0）=﹣（﹣a）=2，从而解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），从而化简g（x）≥f（x）得﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；从而分x=0与x∈（0，1]讨论，再化恒成立问题为最值问题求解即可．（Ⅲ）由an+1=（1+）an，及a1=1可得an=n；再由当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0知f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0；故f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），从而化简[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]＜f（x）dx；再由f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x得f（x）dx≤g（x）dx=+，从而证明．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e﹣x（x2+ax），∴f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；则由题意得f′（0）=﹣（﹣a）=2，故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），由g（x）≥f（x）得，﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；当x=0时，该不等式成立；当x∈（0，1]时，不等式﹣x+t+≥e﹣x（x+2）在（0，1]上恒成立，即t≥[e﹣x（x+2）+x﹣]max．设h（x）=e﹣x（x+2）+x﹣，x∈（0，1]，h′（x）=﹣e﹣x（x+1）+1，h″（x）=x?e﹣x＞0，∴h′（x）在（0，1]单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）在（0，1]单调递增，∴h（x）max=h（1）=1，∴t≥1．（Ⅲ）证明：∵an+1=（1+）an，∴=，又a1=1，∴n≥2时，an=a1??…?=1??…?=n；对n=1也成立，∴an=n．∵当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，∴f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0．又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示长为f（），宽为的小矩形的面积，∴f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），∴[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]＜f（x）dx．又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，∴f（x）dx≤g（x）dx=+，∴[f（）+f（）+…+f（）]＜+，∴f（）+f（）+…+f（）＜n（+）．【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．21.数列的各项都是正数，前项和为,且对任意，都有.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求数列的通项公式.参考答案：证明：（I）在已知式中，当时，

因为，所以,

所以，解得

(Ⅱ)当时，

①

②

当时，

①

②

①－②得，

因为

所以，

即

因为适合上式

所以(n∈N+)

（Ⅲ）由（I）知③

当时，

④

③－④得－

因为

,所以所以数列是等差数列，首项为1，公差为1，可得略22.（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证：．参考答案：【考点】不等式的证明．【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式．【分析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2