山西省忻州市深沟联校2023年高二数学理测试题含解析

山西省忻州市深沟联校2023年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数=（

）A

2

B

-2

C

D参考答案：A2..如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.

B.

C.

D.

参考答案：C略3.某校从高一学年中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：

加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一学年共有学生600名，据此统计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A.588

B.480

C.450

D.120参考答案：B4.双曲线C:的离心率为，则C的渐近线方程为(

)A、y=±x

（B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x参考答案：C5.当时，下面的程序段输出的结果是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.设，则是成立的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：C7.将标号分别为1，2，3，4，5的5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一球，则不同的方法种数为（

）A．150

B．180

C.240

D．540参考答案：A分析：先将5个小球分为1,1,3和1,2,2两类，然后再进行分配可得结果．详解：①若5个小球分为1,1,3三部分后再放在3个不同的盒子内，则不同的方法为种；②若5个小球分为1,2,2三部分后再放在3个不同的盒子内，则不同的方法为种．所以由分类加法计数原理可得不同的分法有60+90=150种．故选A．

8.已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）?g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：C【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用导数分别求出函数f（x）、g（x）的零点所在的区间，然后再求F（x）=f（x+3）?g（x﹣4）的零点所在区间，即求f（x+3）的零点和g（x﹣4）的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果．【解答】解：∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+﹣…+＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；∵g（1）=1﹣1+﹣+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣＜0．当x∈（1，2）时，g′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2013﹣x2014=＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）?g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，因此F（x）=f（x+3）?g（x﹣3）的零点均在区间[﹣4，6]内，∴b﹣a的最小值为10．故选：C．9.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C10.下列命题错误的是

（

）A.对于命题p：若xy＝0，则x，y中至少有一个为零，则是：若xy≠0，则x，y都不为零B.对于命题p：x∈R，使得x2＋x＋1<0，则是：x∈R，均有x2＋x＋1≥0C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”D.“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对某同学的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为83；③平均数为85；④极差为16；其中，正确说法的序号是

．

参考答案：②④将各数据按从小到大排列为：76，78，83，83，85，91，92．可见：中位数是83，∴①是错误的；众数是83，②是正确的；=84，∴③是不正确的．极差是92﹣76=16，④正确的．故答案为：②④．

12.在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为

参考答案：13.参考答案：14.除以9的余数为______．参考答案：7试题分析：因为，所以除以9的余数为考点：二项式定理应用15.观察下列三个三角恒等式：；；.一般地，若都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为____________

参考答案：,其中略16.已知三点不共线，对平面外一点，给出下列表达式：其中是实数，若点四点共面，则_____________参考答案：17.同时掷四枚均匀的硬币，有三枚“正面向上”的概率是____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的2×2列联表，已知在这50人中随机抽取1人，认为作业量大的概率为.

认为作业量大认为作业量不大合计男生18

女生

17

合计

50（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？附表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：参考答案：解：（Ⅰ）设认为作业量大的共有个人，则，解得；

认为作业量大认为作业量不大合计男生18826女生71724合计252550（Ⅱ）根据列联表中的数据，得.因此有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关.

19.设抛物线，点，过点A的直线l与C交于M，N(M在x轴上方)两点.(Ⅰ)当时，求直线l的方程；(Ⅱ)在x轴上是否存在点B，使得,若存在，求B点出坐标，若不存在，说明理由．参考答案：（1）（或）

（2）

设,

直线，...........................................2分.∵∴............................................5分.∴直线的方程为（或.........................................................6分.（2）若存在，.........................................................8分.

∴.............................................10分.∴存在坐标为...............................................12分20.已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，由此能求出椭圆C1的标准方程；又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，由此能求出抛物线C2的标准方程．（II）设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△FPQ的面积．【解答】解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为．…（3分）又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，∴F（0，2），∴p=4，故抛物线C2的标准方程为x2=8y．…（II）由题意得直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴，…（6分）即（*）联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，…（7分）将x1+x2和x1?x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去）．…（8分）联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得．…（10分）经检验，，m=﹣1符合要求．此时，，∴．…（12分）【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．21.已知等差数列的前项和为，公差成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.

参考答案：（1）依题意得

解得，

．（2），

Ks5u

∴

22.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知侧面，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=.

(1)求证：C1B⊥平面ABC；

（2）设=l(0≤l≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角

的大小为30°，试