山西省忻州市南王联校2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析

山西省忻州市南王联校2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设随机变量服从正态分布：，记，给出下列四个结论：①；②；③；④其中正确结论的序号是

．参考答案：答案：①②③2.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（

）宋人扑枣图轴A. B. C. D.参考答案：B【分析】依题意，基本事件的总数为24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件A包含1214个基本事件，故P（A）可求．【详解】依题意，基本事件的总数为24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，①若甲模仿“扶”，则A包含16个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则A包含28个基本事件，综上A包含6+8＝14个基本事件，所以P（A），故选：B．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题．3.已知集合A={x|1＜x2＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（﹣1，2） D．[﹣1，2）参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】解不等式化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x2＜4}={x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：A．4.若直线不过第二象限，则实数的取值范围是A．

B．

C．k≥1

D．

参考答案：C5.在的展开式中，的系数是

（）A．－55

B．45

C．－25

D．25参考答案：答案：A6.设a，b∈R，则“a+b1=2-1”是“ab=-2”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A7.（5分）（2015?丽水一模）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增参考答案：A【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．解：由于f（x）=sin（ωx+?）+cos（ωx+?）=，由于该函数的最小正周期为π=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．【点评】：本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．8.已知函数构造函数，定义如下：当，那么（

）A．有最小值0，无最大值

B．有最小值-1，无最大值C．有最大值1，无最小值

D．无最小值，也无最大值参考答案：B9.已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得a1+an=70，从而得到，由此能求出结果．【解答】解：因为a1+an=a2+an﹣1=a3+an﹣2，所以3（a1+an）=94+116=210，所以a1+an=70，所以，所以n=8．故选：D．【点评】本题考查等差数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．10.在等差数列中，，，则椭圆：的离心率为（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过双曲线的右焦点且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为

．参考答案：由题意得点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12.的展开式中，的系数是______(用数字作答).参考答案：84

本题主要考查对二项展开式的通项公式以及计算能力，难度一般.

因为的展开式中的系数即为的展开式中的系数，而的展开式中的第r+1项为，当，是含的项，其系数为，即原展开式中的系数为84.13.如图，正方体的棱长为，分别为棱，上的点．下列说法正确的是__________.（填上所有正确命题的序号）①平面；②在平面内总存在与平面平行的直线；③在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；④当为中点时，平面截该正方体所得的截面图形是五边形；⑤当为中点时，平面与棱交于点，则．

参考答案：②③④⑤略14.已知a=,b=,c=,执行如图所示的程序框图，则输出的结果为

参考答案：

15.计算：=

．（为虚数单位）参考答案：因为.16.函数的最小值为 。.参考答案：117.如图2-1，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2-2），则图2-1中的水面高度为；

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校共有学生1600人，其中男生1000人，女生600人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集40位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这40个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．从样本数据中每周平均体育运动时间不超过2小时和多于10小时的同学中抽取2人作典型发言，求每周平均体育运动时间不超过2小时和多于10小时的同学各有1人的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的方法，能求出应收集多少位女生的样本数据．（Ⅱ）先由频率分布直方图得样本数据中每周平均体育运动时间不超过2小时的学生和样本数据中每周平均体育运动时间多于10小时的学生各有2人，从中抽取2人作典型发言，先求出基本事件总数，再求出每周平均体育运动时间不超过2小时和多于10小时的同学各有1人包含的基本事件个数，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）∵某校共有学生1600人，其中男生1000人，女生600人，采用分层抽样的方法，收集40位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），∴应收集：600×=15位女生的样本数据．（Ⅱ）由频率分布直方图得样本数据中每周平均体育运动时间不超过2小时的学生有40×0.025×2=2人，样本数据中每周平均体育运动时间多于10小时的学生有40×0.025×2=2人，从中抽取2人作典型发言，基本事件总数n==6，每周平均体育运动时间不超过2小时和多于10小时的同学各有1人包含的基本事件个数m==4，∴每周平均体育运动时间不超过2小时和多于10小时的同学各有1人的概率p===．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质和等可能事件概率计算公式的合理运用．19.（12分）已知函数f（x）=，（1）证明函数f（x）是R上的增函数；（2）求函数f（x）的值域；（3）令g（x）=，判定函数g（x）的奇偶性，并证明．参考答案：考点： 函数奇偶性的性质；函数的值域；函数单调性的判断与证明．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）用定义法，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数；当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数．（2）利用函数的单调性求函数的值域；（3）用函数奇偶性的定义进行判断．解答： 解：（1）设x1＜x2∈R，f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵x1＜x2，∴2（＜0∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）是R上的增函数；（2）∵f（x）==1﹣，∵2x＞0，∴2x+1＞1，∴0＜＜2，∴﹣1＜1﹣＜1，f（x）的值域为（﹣1，1）；（3）因为g（x）==，所以g（x）的定义域是{x|x≠0}，g（﹣x）===g（x），函数g（x）为偶函数．点评： 本题主要考查函数奇偶性的判断，一般用定义；还考查了证明函数的单调性，一般用定义和导数，用定义时，要注意变形到位，用导数时，要注意端点．20.为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，“动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：（单位：人）(1）求a,b，c的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率．参考答案：略21.已知数列中各项均为正数，是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式

（2）对，试比较与的大小.参考答案：解：，当时，，又中各项均为正数解得，………2分当时，………4分，即即，，中各项均为正数，即（），，（），………6分又时，，数列的通项公式是，（）.…………8分(2)对，是数列的前项和，，

………………10分…12分，…………14分略22.已知△ABC的面积S满足，且?=6，与的夹角为α．（1）求α的取值范围；（2）若函数f（α）=sin2α+2sinαcosα+3cos2α，求f（α）的最小值，并指出取得最小值时的α．参考答案：【考点】向量在几何中的应用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】（1）利用两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，求出tanα的范围，从而求出α的取值范围．（2）由二倍角的三角函数公式及同角三角函数的基本关系，把f（α）化为2+sin（2α+），由α的范围得到2α+的范围，进而得到2+sin（2α