山西省太原市王答乡第二中学2021年高三数学理期末试卷含解析

山西省太原市王答乡第二中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．2.定义在上的偶函数，当时，.若存在，使方程

的实数根，则的取值集合是（

）

参考答案：D3.若函数的图象关于原点对称，当时，单调递减且最小值是-1，那么=

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.若函数恰有两个零点，则实数m的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】令，然后进行分离常数，利用数形结合的数学思想方法画出图像，结合图像求得的取值范围.【详解】，故不是的零点.当时，令得.令，，设，则，所以在上递增，而，所以当时，，即；当时，，即.即在上递减，在上递增，所以当时，.结合二次函数的图像与性质，画出的图像如下图所示，由图可知，当或时，与的图像有两个交点，也即恰有两个零点.故选：C.【点睛】本小题主要考查根据零点个数求参数的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性、和最值，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5.已知集合,,则(

)A． B． C． D．参考答案：C略6.将函数图像所有点横坐标缩短为原来一半，再向右平移，得到函数的图像，那么关于的论断正确的是（

）（A）周期为，一个对称中心为

（B）周期为，一个对称中心为（C）最大值为2，一个对称轴为

（D）最大值为1，一个对称轴为参考答案：C7.如图，己知双曲的左、右焦点分别为F1，F2，，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是A．3

B．2

C．

D．参考答案：B8.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，是以F2P为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有

(

)

A、0个

B、1个

C、2个

D、3个参考答案：B10.设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】不等式+≥m恒成立，转化为求+的最小值，可得m的最大值．将分母转化为整数，设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），a＞0，b＞0．那么：+==（当且仅当a=b=1即x=2，y=1时取等号．∴+的最小值为8，则m的最大值为8．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于的不等式()的解集为,且,则__________. （）参考答案：12.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则

参考答案：1略13.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知该几何体的直观图为：即从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体，∵四棱锥P﹣ABCD底面是边长为2的正方形、高为2，圆锥底面圆的半径是1、高为2，顶点是P，∴所求的体积V==，故答案为：．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．14.用三个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由字母开始，相邻两个字母不能相同.例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,…….记这种含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的个数为,则,

,

．参考答案：

略15.已知在平面直角坐标系中，为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是

.参考答案：略16.如图，在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，E、F是AB上的两个三等分点，G、H是AC上的两个三等分点，，则的最小值为

.

参考答案：117.已知双曲线的渐近线方程是，那么此双曲线的离心率为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（Ⅰ）求不等式的解集M；（Ⅱ）当时，证明：.参考答案：略19.（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最小值；（2）已知，求证：。参考答案：（1）又

故在上为增函数的最小值为（2）

由（1）得

即即（*）下面证明又

即由（*）式得，即得证.20.已知矩阵，在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵A对应的变换下得到直线，求实数a，b的值.参考答案：【分析】设直线上任意一点在矩阵对应的变换下得到直线l上任意一点，根据得代入，化简后与直线，对比，最后求出实数的值.【详解】由题意可得直线上任意一点在矩阵对应的变换下得到直线l上任意一点，，，代入，化简后得：，与直线对比可得：，.【点睛】本题考查了变换，考查了数学运算能力、代入思想、坐标变换思想.21.

以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．

(I)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；

(Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;(Ⅲ)当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．参考答案：解：（1）依题意，得，

解得.

…………4分（2）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，

依题意，共有10种可能.

由（1）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．

……8分（3）设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件，

当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，

所有可能的成绩结果有种，

它们是：，，，，，，，

，，

事件的结果有7种，它们是：，，，，，，.

因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率……12分

略22.（本小题满分14分）已知函数．

（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；

（2）若函数在不单调，求实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，判断过点可作曲线多少条切线，并说明理由．

参考答案：（1）

……………1分

∵

∴∴

…………2分

∴，显然在附近符号不同，∴是函数的一个极值点

……………3分∴…………………4分（2）若函数在不单调，则应有二不等根