山西省忻州市办事处联校2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

山西省忻州市办事处联校2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数f(x)=logax(0＜a＜1)在区间［a,2a］上的最大值是最小值的3倍,则a等于()a.

b.

c.

d.参考答案：A本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在［a,2a］上的最大值与最小值.f(x)=logax(0＜a＜1)在(0,+∞)上是减函数,当x∈［a,2a］时,f(x)max=f(a)=1,f(x)min=f(2a)=loga2a.根据题意,3loga2a=1,即loga2a=,所以loga2+1=,即loga2=-.故由=2得a=.2.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4 B．2 C．4 D．8参考答案：D【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是长方体的三分之二，依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是2×2×3=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的三分之二，如图所示，则这个几何体的体积为12×=8．故选D．【点评】此题考查了棱柱的体积和表面积，由三视图判断几何体，考查三视图的读图能力，计算能力，空间想象能力．3.将自然数按如下规律排数对：(0,1)，(1,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，…，则第60个数对是（

）A．(6,4)

B．(5,5)

C.(4,6)

D．(3,7)参考答案：B通过观察可以发现：两数和为1的数对有2个，两数和为2的数对有3个，两数和为3的数对有4个，，以此类推，两数和为n的数对有个，因为，则第55个到65个数对的两数之和为10，第55个到60个数对依次为：，即第60个数对为.

4.若三个平面两两相交，且三条交线相互平行，则这三个平面把空间分成（

）

A．5部分

B．6部分

C．7部分

D．8部分参考答案：C5.如图在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是（

）A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面参考答案：D6.设函数f（x）=ax﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0，则实数a，b的值为（）A．a=1，b=3 B．a=3，b=1 C．a=，b= D．a=，b=参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得a，b的方程组，解方程即可得到a，b的值．【解答】解：函数f（x）=ax﹣的导数为f′（x）=a+，可得y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为a+，切点为（2，2a﹣），由切线方程7x﹣4y﹣12=0，可得a+=，2a﹣=，解得a=1，b=3．故选：A．7.水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形参考答案：A【考点】平面图形的直观图．【分析】由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，且AO=，故三角形为正三角形．【解答】解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形．故选A【点评】本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质，把握好直观图与原图形的关系，是个基础题．8.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意确定流程图的功能，然后计算其输出值即可.【详解】由题意可知，流程图的功能为计算的值，裂项求和可得：.故选：A.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A.或 B.或C. D.参考答案：D略10.若坐标原点到抛物线的准线的距离为2，则（）A．8

B．±8

C.

D．参考答案：D因，故由题设可得，所以，应选答案D。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点(4,0)的直线与双曲线的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（

）A．|k|≥1 B．|k|>

C．|k|≤ D．|k|<1参考答案：B略12.已知两直线l1：ax﹣y+2=0和l2：x+y﹣a=0的交点在第一象限，则实数a的取值范围是．参考答案：a＞2【考点】两条直线的交点坐标．【分析】联立方程组解出交点坐标，解不等式即可解决．【解答】解：由直线l1：ax﹣y+2=0和l2：x+y﹣a=0，得x=，y=．∵两直线l1：ax﹣y+2=0和l2：x+y﹣a=0的交点在第一象限，∴＞0，．＞0，解得：a＞2．故答案为a＞2．13.已知抛物线C：，过点的直线交抛物线C于A，B两点.若，则

．参考答案：314.抛物线x2+y=0的焦点坐标为．参考答案：（0，﹣）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线x2=﹣2py的焦点坐标为（0，﹣），求出抛物线x2+y=0的焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x2+y=0，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．15.已知是等比数列，，则____________.参考答案：16.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是_________。参考答案：略17.如图，AO⊥平面，O为垂足，B∈α，BC⊥BO，BC与平面所成的角为，AO=BO=BC=1，则AC的长等于

▲

.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价（元）8.98.78.68.48.38.1销量（件）707580838488（Ⅰ）求回归直线方程，其中=－20，=－；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）参考答案：（１）∵∴＝－＝80＋208.5＝250∴所求回归直线方程为：=－２０x＋250

…………（6分）（2）设工厂获得的利润为L（x）元，则∴当x＝＝8.25时L(x)最大361.25注：∴为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为8.25元

…………（12分）19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，点P（，）在椭圆C上．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过F2作互相垂直的两直线AB，CD分别交椭圆于点A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点，求△MNF2面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得到关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M，N的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H，则△MNF2面积为S=|F2H|?|yM﹣yN|，化简整理，再令m+=t（t≥2），由于函数的单调性，即可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，∴，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为；（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，联立，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，∴x1+x2=（my1+1）+（my2+1）=m（y1+y2）+2=，由中点坐标公式得M（），将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（），kMN=，直线MN的方程为y+=（x﹣），即为y=，令，可得x=，即有y=0，则直线MN过定点H，且为H（，0），∴△F2MN面积为S=|F2H|?|yM﹣yN|=（1﹣）?||=||=||，令m+=t（t≥2），由于2t+的导数为2﹣，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S==在[2，+∞）递减，∴当t=2，即m=1时，S取得最大值，为；则△MNF2面积的最大值为．20.某射击队的队员为在射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率如表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.300.280.180.12求该射击队员射击一次，（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”的事件分别为A、B、C、D（1）在一次射击中射中10环或9环，即射中10环和射中9环，由互斥事件的概率公式，再分别相加即可．（2）在一次射击中至少射中8环，即射中10环，射中9环，射中8环，再将对应的概率相加即可．（3）在一次射击中射中环数不足8环，即射中7环和射中7环以下，再利用互斥事件概率计算即可．【解答】解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”的事件分别为A、B、C、D（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.30+0.28=0.58，即射中10环或9环的概率为0.58．（2）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.30+0.28+0.18=0.76，即至少射中8环的概率为0.76．（3）1﹣P（A+B+C）=1﹣0.76=0.24，即射中环数不足8环的概率为0.24．21.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2．从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP'，求线段PP’中点M的轨迹．参考答案：解：设点M的坐标为，点的坐标为，则，．因为在圆上，所以 ①将，代入方程①得

即1所以点M的轨迹是一