山西省忻州市关县陈家营中学2023年高三数学理期末试卷含解析

山西省忻州市关县陈家营中学2023年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x|﹣1＜x＜5}，B={x|x2≥4}，则?R（A∪B）=（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，5） C．（﹣2，﹣1] D．（﹣∞，2）∪[5，+∞）参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，根据并集和补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜5}，B={x|x2≥4}={x|x≤﹣2或x≥2}，则A∪B={x|x≤﹣2或x＞﹣1}，所以?R（A∪B）={x|﹣2＜x≤﹣1}=（﹣2，﹣1]．故选：C．2.

给出平面区域（图中阴影部分）作为可行域．其中A（5，3），B（2，1），C（1，5）。若目标函数（>0）取得最大值的最优解有无穷多个．则的值为

（

）

A．4

B．2C．

D．

参考答案：答案:C解析:由题：。3.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B当共线时，，，此时方向相同夹角为，所以要使与的夹角为锐角，则有且不共线。由得，且，即实数的取值范围是，选B.4.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，则（?UA）∪B为（）A．{1} B．{1，5} C．{1，4} D．{1，4，5}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}先求出CUA={1，5}，再由B={1，4}，能求出（CUA）∪B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，∴CUA={1，5}，∵B={1，4}，∴（CUA）∪B={1，4，5}．故选：D．【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5.已知则

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.下列说法正确的是A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题是“若x2=1,则x≠1”B.命题“x∈R,x2﹣x＞0”的否定是“x∈R,x2﹣x＜0”C.命题“若函数f（x）=x2﹣ax+1有零点，则a≥2或a≤-2”的逆否命题为真命题D.“x=-1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用.L4

【答案解析】C解析：对于A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，故A错；对于B．命题“x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“x∈R，x2﹣x≤0”，故B错；对于C．命题“若函数f（x）=x2﹣ax+1有零点，则a≥2或a≤﹣2”即有△=a2﹣4≥0，则a≥2或a≤﹣2，故原命题为真，由于互为逆否命题为等价命题，故其逆否命题为真命题，故C对；对于D．“x=﹣1”可推出“x2﹣x﹣2=0”，反之不能推出，故为充分不必要条件，故D错．故选C．【思路点拨】由命题的否命题是既对条件否定，又对结论否定，即可判断A；由命题的否定是对结论否定，即可判断B；先判断原命题的真假，再由互为逆否命题为等价命题，即可判断C；由充分必要条件的定义，即可判断D.7.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A．

B．C．

D．参考答案：D9.已知实数x，y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m等于A．7 B．5 C．4 D．3参考答案：B选项代入不等式组中，验证当时成立.10.已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是(

) A．3π B．2π C．π D．参考答案：A考点：正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得?=π，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期是的值．解答： 解：由题意可得sin（wx+θ）=的解为两个不等的实数x1，x2，且?=π，求得ω=，故f（x）的最小正周期是=3π，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平行四边形ABCD中，，，，且，则平行四边形ABCD的面积的最大值为

．参考答案：12.点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则参考答案：做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线过定点，由图象可知点D到直线的距离最大，此时，解得。13.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=．参考答案：50【考点】等比数列的性质．

【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．14.的展开式中常数项是

．参考答案：615.设x，y满足约束条件，则的最小值是__________．参考答案：-2.【分析】画出约束条件所表示平面区域，结合图象，确定目标函数最优解，代入即可求解，得到答案.【详解】画出约束条件所表示平面区域，如图所示，目标函数化为，当直线过点A时，此时在y轴上的截距最大，目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．16.已知,,，且，则

．参考答案：略17.已知函数有两个极值，则实数a的取值范围为．参考答案：a≤﹣2【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由原函数有两个极值，可知其导函数有两个不同的实数根，转化为直线y=﹣ax﹣a与曲线y=2ex有两个不同交点求解．【解答】解：由，得f′（x）=2ex+ax+a，要使有两个极值，则方程2ex+ax+a=0有两个不同的实数根，即2ex=﹣ax﹣a有两个不同的实数根，令y=2ex，y=﹣ax﹣a，直线y=﹣a（x+1）过点（﹣1，0），设直线y=﹣a（x+1）与y=2ex的切点为（），则y′=，则切线方程为，代入（﹣1，0），得，解得：x0=0．∴切点为（0，2），则过（﹣1，0），（0，2）切线的斜率为k=，由﹣a≥2，得a≤﹣2．∴实数a的取值范围为a≤﹣2．故答案为：a≤﹣2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表:(单位:人)

年级相关人数抽取人数高一99高二27高三182(Ⅰ)求,;(Ⅱ)若从高二、高三年级抽取的人中选人,求这二人都来自高二年级的概率.参考答案：略19.已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．∴f（x）=sin（x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．∴S△ABC==≤．∴△ABC面积的最大值是．20.（本小题满分15分）如图，设P是抛物线：上的动点。过点做圆的两条切线，交直线：于两点。

（Ⅰ）求的圆心到抛物线准线的距离。（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）解：因为抛物线C1的准线方程为：

所以圆心M到抛物线C1准线的距离为：

（Ⅱ）解：设点P的坐标为，抛物线C1在点P处的切线交直线于点D。

再设A，B，D的横坐标分别为

过点的抛物线C1的切线方程为：

（1）

当时，过点P（1，1）与圆C2的切线PA为：

可得

当时，过点P（—1，1）与圆C2的切线PA为：

可得

所以

设切线PA，PB的斜率为，则

（2）

（3）

将分别代入（1），（2），（3）得

从而

又

即

同理，

所以是方程的两个不相等的根，从而

因为

所以

从而

进而得

综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为21.已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交圆于点，．（Ⅰ）求证：平分；（Ⅱ）求的长．

参考答案：解：（Ⅰ）连结，因为，所以， 2分

因为为半圆的切线，所以，又因为，