山西省忻州市上寺联合学校高三数学文测试题含解析

山西省忻州市上寺联合学校高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数的共轭复数是（）A． B． C．﹣i D．i参考答案：C【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C2.已知数列{an}为等差数列，若a2+a6+a10=，则tan（a3+a9）的值为（）A．0 B． C．1 D．参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得．从而a3+a9=2a6=，由此能求出tan（a3+a9）的值．【解答】解：∵数列{an}为等差数列，a1+a6+a10=，∴a2+a6+a10=3a6=，解得．∴a3+a9=2a6=，∴tan（a3+a9）=tan=．故选：D．【点评】本题考查正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．3.已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是 A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.若，则的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：A略5.执行右面的程序框图，如果输入＝4，那么输出的n的值为

(A)2(B)3(C)4(D)5参考答案：B

6.函数的零点个数A.3

B.2

C.1

D.0参考答案：B7.将函数y＝2cos2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为(

)A．y＝cos2x B．y＝－2cosx C．y＝－2sin4x D．y＝－2cos4x参考答案：D略8.已知函数，则不等式的解集为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D9.（5分）已知i是虚数单位，则=（）A．1B．iC．﹣iD．﹣1参考答案：B【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简括号内部的代数式，然后利用虚数单位i的运算性质得答案．解：∵，∴=（﹣i）3=i．故选：B．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10.如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积为（

）A.20π

B.18π

C. 16π D.8π参考答案：A则此外接球的直径为,所以其表面积为，故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线y＝x3－1在点P(1，0)处的切线方程为

.参考答案：y=3x-312.对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0，使得当x∈D且x>x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”。给出定义域均为D=的四组函数如下：①；②；③；④。其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是

.参考答案：②④13.某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资收入，并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样方法从调查的1000人中抽出100人作电话询访，则（百元）月工资收入段应抽出

人.参考答案：1514.已知函数y=f（x）是定义在R上的单调递增函数，且1是它的零点，若f（x2+3x﹣3）＜0，则实数x的取值范围为． 参考答案：（﹣4，1）【考点】函数单调性的性质． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】利用函数单调性的性质，将不等式进行转化求解即可． 【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的单调递增函数，且1是它的零点， ∴不等式f（x2+3x﹣3）＜0等价为f（x2+3x﹣3）＜f（1）， 即x2+3x﹣3＜1，即x2+3x﹣4＜0， 解得﹣4＜x＜1， 故答案为：（﹣4，1） 【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用函数零点的关系将不等式进行转化是解决本题的关键． 15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

．参考答案：由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，梯形的周长为，所以四个侧面积为，所以该几何体的表面积为。16.在等比数列{an}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2=

．参考答案：3【考点】集合的含义；等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】直接利用等比数列的性质，a3a6=a4a5，结合已知条件求解即可．【解答】解：在等比数列{an}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，∵a3a6=a4a5，∴a2×9=27，∴a2=3．故答案为：3．【点评】本题考查等比数列的基本性质的应用，基本知识的考查．17.若数列满足(为常数，,)，则称数列为等方差数列，为公方差，已知正数等方差数列的首项，且，，成等比数列，，设集合，取的非空子集，若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为

．参考答案：63根据等方差数列的即时定义得，，令，则，由得可取1,2,3……6，即集合中有六个整数，于是中的完美子集的个数为个．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的各项均为正数，前项和为，已知(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；(2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在请说明理由；(3)证明：对任意，都有．参考答案：（文）(1)∵，∴当时，．

两式相减得，

∴

…………2分

∵，∴，又，∴

∴是以为首项，为公差的等差数列．……2分

∴

…………1分

(2)由(1)知，

…………2分假设正整数满足条件，

则

∴，

解得；

…………3分

(3)

…………2分

于是

…………2分

…………3分

∴

…………1分19.已知椭圆E：的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，由A，M，N三点共线，求得N点坐标，y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线BN⊥l．【解答】解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2﹣10x﹣15=0，则x1+x2=，x1x2=﹣，则丨AB丨=?=，|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1）=，==0，∴直线BN∥x轴，∴BN⊥l．【答案】20.已知函数.（1）求函数的最小值a；（2）根据（1）中的结论，若，且，求证:.参考答案：（1）解：，当且仅当时取等号，所以，即.（2）证明:假设:，则.所以. ①由（1）知，所以. ②①与②矛盾，所以.21.（本小题满分10分）函数的图象过点()（Ⅰ）求的解析式，并求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，其中是面积为的锐角的内角，且，求边的长.参考答案：解：（1）函数的图象过点

……………3分

函数的最小正周期

………5分（2）

，

，

∵A是面积为的锐角的内角，

……………8分

……………10分略22.

已知函数处取得极值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，

请说明理由.参考答案：

（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，

∴f′(x)=3x2－x+b.

……2分

∵f(x)在x=1处取得极值，

∴f′(1)=3－1+b=0.

∴b=－2.

……3分

经检验，符合题意.

……4分

（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.

∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，

…5分x

1(1,2)

2f′(x)

+

0

－

0

+f(x)

……7分

∴当x=－时